帶異質(zhì)線性趨勢(shì)的二元選擇面板模型估計(jì)

帶異質(zhì)線性趨勢(shì)的二元選擇面板模型偏誤糾正估計(jì)摘要：由于冗余參數(shù)問題，帶異質(zhì)線性趨勢(shì)的二元選擇面板模型的極大似然估計(jì)量存在嚴(yán)重偏誤。為此，本文給出了公共參數(shù)和平均邊際效應(yīng)極大似然估計(jì)偏誤主導(dǎo)項(xiàng)的解析形式，并以此得到解析形式的偏誤糾正估計(jì)量和Jackknife偏誤糾正估計(jì)量。小樣本模擬發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較小的T，偏誤糾正估計(jì)量可以顯著提高極大似然估計(jì)量的偏誤。關(guān)鍵詞：二元選擇；面板模型；異質(zhì)趨勢(shì)；偏誤糾正Abstracts:TheMLEestimatorsshowseverelybiasbecauseofincidentalparameterproblemsinbinarychoicepaneldatamodelswithheterogeneouslineartrends.Thispapergivestheleadingtermsofthebiasforcommonparametersandaveragemarginaleffects.BytheseresultswecanobtainthepanelJackknifeandanalyticalbias-correctedestimatorsofcommonparametersandaveragemarginaleffects.MonteCarlosimulationsfindthatthebias-correctedestimatorsshowgreatimprovementtotheMLEestimatorsofcommonparameters.Keywords:BinaryChoice;PanelModel;Heterogeneoustrend;Biascorrection一、引言在面板模型的實(shí)證研究中，由于個(gè)體在不同時(shí)間所面臨的環(huán)境不同，我們常常需要設(shè)定時(shí)變的異質(zhì)性。在線性面板模型中，帶時(shí)變異質(zhì)性的模型已經(jīng)得到大量研究。但在非線性面板模型中，帶時(shí)變異質(zhì)性的模型估計(jì)研究還非常欠缺。在模型設(shè)定中包含時(shí)變異質(zhì)性有時(shí)是有必要的，可以使模型更加靈活和一般性。例如女性勞動(dòng)力在其子女學(xué)齡增加時(shí)會(huì)更傾向于工作，廠商對(duì)新技術(shù)的應(yīng)用等（Fernández-Val（2009）、Comin&Hobijin(2004)）。Fama&French(2001)發(fā)現(xiàn)上市公司現(xiàn)金分紅行為呈現(xiàn)逐漸消失的特點(diǎn)，且這個(gè)趨勢(shì)并非由某個(gè)可觀測(cè)變量的變化引起的。這類問題的特點(diǎn)在于個(gè)人或廠商會(huì)隨著時(shí)間變化逐漸向某個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，最終停留在那個(gè)狀態(tài)不再發(fā)生變化（或近似的有這種趨勢(shì)）。此時(shí)，我們可以在模型中引入帶異質(zhì)趨勢(shì)項(xiàng)，使模型設(shè)定更加合理。另外，如果存在某個(gè)不可觀測(cè)的時(shí)變（增加或減?。┙忉屪兞繒?huì)影響個(gè)體或廠商的決策行為，那么帶異質(zhì)趨勢(shì)項(xiàng)的設(shè)定可以減小模型遺失變量導(dǎo)致的內(nèi)生性問題。Thomas(2006)針對(duì)帶異質(zhì)線性趨勢(shì)的二元選擇面板模型提出了兩種估計(jì)方法。一種是條件似然函數(shù)估計(jì)方法，但只適用于Logit模型，對(duì)Probit模型不適用。第二種方法是在Maski(1987)、Horowitz(1992)以及Kyriazidou(1995)的基礎(chǔ)上提出的平滑極大得分估計(jì)。這種估計(jì)方法由于操作上的復(fù)雜性，如核函數(shù)的選取和最優(yōu)解的不唯一性，使其很少得到應(yīng)用。另外，這兩種的方法共同缺點(diǎn)是無法得到平均邊際效應(yīng)的估計(jì)。Carro(2007)和Fernández-Val（2009）研究了無異質(zhì)趨勢(shì)的二元選擇面板模型的偏誤糾正估計(jì)，模擬結(jié)果非常好。其他見Hahn&Newey（2004）、Lancaster(2002)、Woutersen(2002)和HahnandKuersteiner(2004)等，Arellano&Hahn(2007)對(duì)非線性面板模型的偏誤糾正估計(jì)有較為詳盡的綜述。但是據(jù)我們所查文獻(xiàn)來看還未見到帶異質(zhì)趨勢(shì)非線性面板模型的偏誤糾正估計(jì)。為此，我們將Hahn&Newey（2004）提出的偏誤糾正方法擴(kuò)展到帶線性異質(zhì)趨勢(shì)的二元面板模型。本文研究了帶異質(zhì)線性趨勢(shì)二元選擇面板模型的偏誤糾正估計(jì)。我們給出了公共參數(shù)的極大似然估計(jì)量的漸進(jìn)偏誤解析形式以及平均邊際效應(yīng)估計(jì)的偏誤解析形式。同時(shí)我們也研究了公共參數(shù)和平均邊際效應(yīng)的Jackknife偏誤糾正估計(jì)量。小樣本模擬表明本文提出的偏誤糾正估計(jì)方法對(duì)較小的T的效果也非常好。第二部分介紹了參數(shù)的偏誤糾正；第三部分給出了平均邊際效應(yīng)的偏誤解析式和Jackknife偏誤糾正；第四部分是小樣本實(shí)驗(yàn)部分；最后是結(jié)論。二、估計(jì)方法介紹本文考察的帶異質(zhì)趨勢(shì)二元面板數(shù)據(jù)模型如下：(1)其中，，和是k維列向量。是不可完全觀測(cè)的被解釋變量，是其可觀測(cè)部分。為示性函數(shù)，括號(hào)內(nèi)為真時(shí)值為1否則為0。模型（1）的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為（2）其中，，為的分布函數(shù)。我們可以利用Greene(2004)介紹的方法可以得到公共參數(shù)和異質(zhì)性參數(shù)的極大似然估計(jì)。即（3）但是對(duì)于固定的T，冗余參數(shù)問題（Incidentalparametersproblem,Neyman&Scott(1948)）會(huì)導(dǎo)致公共參數(shù)估計(jì)的不一致性。雖然這個(gè)優(yōu)化過程涉及個(gè)參數(shù)，但是其信息矩陣的逆矩陣求解較為簡(jiǎn)單，可以分解為低階逆矩陣的表達(dá)式（Greene,2004）。利用通常的Newton-Raphson迭代方法可以求得最優(yōu)解。從Heckman(1981)、Hsiao(1986)以及Greene(2004)等對(duì)無異質(zhì)趨勢(shì)模型的模擬結(jié)果來看，對(duì)于較小的T，通常的極大似然估計(jì)量的偏誤是很嚴(yán)重的Abrevaya(1997)證明了面板logit模型的極大似然估計(jì)量為條件極大似然估計(jì)量的2倍，即當(dāng)N足夠大時(shí)，近似為真實(shí)值的2倍。。直覺上，帶異質(zhì)趨勢(shì)模型的冗余參數(shù)個(gè)數(shù)成倍的增長(zhǎng)應(yīng)該會(huì)導(dǎo)致更大的偏誤。Thomas(2006)模擬了帶線性趨勢(shì)的面板Logit模型的極大似然估計(jì)偏誤Abrevaya(1997)證明了面板logit模型的極大似然估計(jì)量為條件極大似然估計(jì)量的2倍，即當(dāng)N足夠大時(shí)，近似為真實(shí)值的2倍。（4）則對(duì)于固定T，時(shí)，Amemiya(1973)證明（5）通常情況下，對(duì)固定的T，和是不一致的，這種不一致性會(huì)通過（3）式傳導(dǎo)至估計(jì)量，導(dǎo)致，此即Neyman&Scott(1948)的冗余參數(shù)問題（Incidentalparametersproblem）。只有當(dāng)時(shí)，這種不一致性才會(huì)消失，即。Hahn&Newey(2004)指出，對(duì)于光滑的似然函數(shù)，存在某個(gè)常數(shù)，使得（6）對(duì)于固定的T，當(dāng)時(shí)，根據(jù)（4）式和（5）式我們有（7）結(jié)合（6）式和（7）式可得其中，所以即使T與N有相同的增長(zhǎng)速度，仍然是不一致的。為了減?。?）式估計(jì)量的偏誤，我們需要估計(jì)偏誤常數(shù)，此即偏誤糾正估計(jì)方法。Hahn&Newey(2004)得到了一般的非線性面板模型偏誤的解析形式，并提出Jackknife間接偏誤糾正估計(jì)方法。通過的解析形式我們可以得到其估計(jì)量，從而相應(yīng)的偏誤糾正估計(jì)量可表示為（8）如果Hahn&Newey指出，這種情況下只需要是Hahn&Newey指出，這種情況下只需要是的連續(xù)函數(shù)。（9）即偏誤糾正估計(jì)量是一致的且漸進(jìn)服從正態(tài)分布。Hahn&Newey(2004)指出如果的偏誤非常嚴(yán)重的話，那么的偏誤可能仍然很大。為此，Hahn&Newey(2004)建議利用迭代過程減小偏誤，即（10）這種方法是直接糾正產(chǎn)生偏誤的估計(jì)量。遵循Hahn&Newey(2004)的思路，下面我們分析帶異質(zhì)線性趨勢(shì)二元面板模型極大似然估計(jì)量偏誤的解析形式。令，另外，多余的下標(biāo)表示對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)，如，。根據(jù)Rilstone、Srivastava和Ullah(1996)中命題1的結(jié)果，我們可以得到異質(zhì)性參數(shù)極大似然估計(jì)的偏誤，當(dāng)時(shí)（11）其中表示對(duì)給定個(gè)體求期望，表示矩陣的Kronecker積，。從（11）式可以看出，是有偏誤的，從而利用得到的估計(jì)量也會(huì)存在偏誤。下面我們來分析這兩個(gè)偏誤之間的關(guān)系。由于是方程的解，將其在真實(shí)值處一階泰勒展開可得（12）因?yàn)樗裕?3）由于的估計(jì)是有偏誤的（見（11）式），所以，這也說明了公共參數(shù)的極大似然估計(jì)是有偏誤的。但我們無法得到的封閉形式，所以上述偏誤糾正方法不可行。下面我們通過（11）式來推導(dǎo)（13）的可行形式。將在真實(shí)值處展開可得（14）其中為k階單位陣，，結(jié)合，可得（15）上述公式都是針對(duì)一般非線性面板模型得到的，下面我們將其應(yīng)用到帶異質(zhì)趨勢(shì)的Probit模型。此時(shí)擾動(dòng)項(xiàng)分布。令，，，，，，，，利用期望迭代定律并經(jīng)過一些計(jì)算可得如下命題（證明過程見附錄）。命題1：在一定的假設(shè)下（如Fernández-Val，2009），有其中利用，，，，我們可得偏誤糾正估計(jì)量偏誤糾正估計(jì)的另一個(gè)思路是通過Jackknife或Bootstrap重新對(duì)樣本抽樣，構(gòu)造新的估計(jì)量對(duì)原估計(jì)量進(jìn)行糾正。Jackknife偏誤糾正估計(jì)量可以表示為（16）其中表示去除第個(gè)觀測(cè)值后得到的公共參數(shù)極大似然估計(jì)量。為了說明這個(gè)思路，我們首先將（6）式進(jìn)一步展開從而（17）可以看出，與（6）式相比，（17）式的偏誤具有更低的階數(shù)，所以會(huì)以更快的速度收斂到真實(shí)值。Hahn&Newey(2004)證明了當(dāng)，解析形式的偏誤糾正估計(jì)量仍然是一致且漸進(jìn)正態(tài)的。同時(shí)Hahn&Newey(2004)猜想Jackknife估計(jì)量也有同樣的收斂速度。但從Fernández-Val（2009）對(duì)無異質(zhì)趨勢(shì)Probit模型的模擬結(jié)果來看，Jackknife估計(jì)量的收斂速度要稍微差一些。三、邊際效應(yīng)偏誤糾正實(shí)證研究中，我們常常關(guān)心的不僅僅是解釋變量對(duì)被解釋變量的影響趨勢(shì)及顯著性，還有解釋變量的邊際效應(yīng)。即解釋變量變化一個(gè)單位時(shí)，被解釋變量從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)概率變化幅度是多少。由于面板模型中存在異質(zhì)性參數(shù)，對(duì)于不同的個(gè)體，其值是不同的，從而不同個(gè)體的解釋變量的邊際效應(yīng)是不同的，所以通常關(guān)心的是平均邊際效應(yīng)（見Wooldridge(2002,2005),Fernández-Val（2009），Arellano&Hahn(2007)）。設(shè)，其中為標(biāo)量，是我們所關(guān)心的解釋變量。如果是連續(xù)的，那么其邊際效應(yīng)為如果是離散的，那么其邊際效應(yīng)為從而我們可得平均邊際效應(yīng)（18）即使我們知道參數(shù)的真實(shí)值，并利用其估計(jì)上式，即（19）但仍然可能會(huì)產(chǎn)生偏誤，因?yàn)榇嬖陔A偏誤。按照第二部分的思路，下面我們來分析（19）式的漸進(jìn)偏誤形式。(20)將（20）展開，類似于命題1根據(jù)期望迭代定律有命題2：在一定的假設(shè)下（如Fernández-Val，2009），有其中，證明略。結(jié)合第二部分的偏誤糾正估計(jì)量，可得平均邊際效應(yīng)的偏誤糾正估計(jì)令和分別為去掉第觀測(cè)樣本后得到的公共參數(shù)和異質(zhì)性參數(shù)的極大似然估計(jì)量，并記我們可得平均邊際效應(yīng)的Jackknife偏誤糾正估計(jì)量四、小樣本性質(zhì)這部分我們研究了前面兩部分提出的參數(shù)偏誤糾正估計(jì)量和平均邊際效應(yīng)偏誤糾正估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。模擬次數(shù)都是200次。數(shù)據(jù)生成過程沿用了Fernández-Val（2009）的設(shè)計(jì)Heckman(1981)最早研究了類似的數(shù)據(jù)生成過程，Greene(2004)和Hahn&Newey(2004)也對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)生成過程就行了模擬研究。，在此Heckman(1981)最早研究了類似的數(shù)據(jù)生成過程，Greene(2004)和Hahn&Newey(2004)也對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)生成過程就行了模擬研究。，其中=1是標(biāo)量，，，，，，。表1中我們比較了三種估計(jì)方法的區(qū)別。第一種估計(jì)方法是無偏誤糾正極大似然估計(jì)；第二種估計(jì)方法是本文提出的解析形式偏誤糾正估計(jì)；第三種是Jackknife偏誤糾正估計(jì)這里的偏誤糾正只進(jìn)行了一步。。我們分別給出了三種樣本容量的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的四個(gè)不同指標(biāo)的比較。從表中結(jié)果來看，當(dāng)T較小時(shí)，通常的極大似然估計(jì)量的偏誤非常嚴(yán)重。例如當(dāng)時(shí)，偏誤達(dá)到了30%，比無趨勢(shì)模型更為嚴(yán)重Greene(2004)對(duì)無異質(zhì)趨勢(shì)Probit模型的模擬結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)，通常的極大似然估計(jì)偏誤達(dá)到20%左右。。而本文提出的解析形式的偏誤糾正估計(jì)量很好的糾正了極大似然估計(jì)量的偏誤。這里的偏誤糾正只進(jìn)行了一步。Greene(2004)對(duì)無異質(zhì)趨勢(shì)Probit模型的模擬結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)，通常的極大似然估計(jì)偏誤達(dá)到20%左右。表2給出了平均邊際效應(yīng)估計(jì)的模擬結(jié)果。我們不僅估計(jì)了無偏誤糾正時(shí)的平均邊際效應(yīng)、兩種偏誤糾正模型的平均邊際效應(yīng)，還估計(jì)了線性概率模型（LPM）模型的平均邊際效應(yīng)這里的線性概率模型的平均邊際效應(yīng)估計(jì)利用了所有樣本。?？傮w來說，幾個(gè)估計(jì)量的差異不大，偏誤糾正估計(jì)量的中值和均值表現(xiàn)要稍好，但其方差要大一些。從平均絕對(duì)偏誤（MAE）來看，偏誤糾正方法都不是最好的，差異卻極小。從Fernández-Val（2009）的研究中可以這里的線性概率模型的平均邊際效應(yīng)估計(jì)利用了所有樣本。表1：模擬次數(shù)是200次。帶異質(zhì)線性趨勢(shì)Probit模型的公共參數(shù)估計(jì)。表中的估計(jì)量為無偏誤糾正估計(jì)（Probit）、解析形式偏誤糾正（Probit_BC）以及Jackknife偏誤糾正（Probit_JK）。分別給出了200次估計(jì)的均值（meanvalue）、中值（medianvalue）、平均絕對(duì)偏誤（MAE，meanabsoluteerror）、標(biāo)準(zhǔn)偏誤（SD）以及平均標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏誤的比值（SE/SD）。N=100;T=10均值中值SDSE/SDMAEProbit1.341.310.400.840.33Probit_BC0.990.950.301.080.19Probit_JK0.930.930.340.960.24N=100;T=12均值中值SDSE/SDMAEProbit1.271.270.320.920.29Probit_BC0.980.980.251.120.16Probit_JK0.930.910.271.050.18N=100;T=16均值中值SDSE/SDMAEProbit1.181.180.270.940.23Probit_BC0.970.970.221.090.15Probit_JK0.940.930.280.890.18表2：模擬次數(shù)是200次。帶異質(zhì)線性趨勢(shì)Probit模型平均邊際效應(yīng)估計(jì)。這里的估計(jì)量是，其中為真實(shí)的平均邊際效應(yīng)（見（18）式），為估計(jì)的平均邊際效應(yīng)，分別為無偏誤糾正估計(jì)（Probit）、解析形式偏誤糾正（Probit_BC）、Jackknife偏誤糾正（Probit_JK）以及線性概率模型（LPM）。表中給出了200次估計(jì)的均值（meanvalue）、中值（medianvalue）、平均絕對(duì)偏誤（MAE，meanabsoluteerror）、標(biāo)準(zhǔn)偏誤（SD）以及平均標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏誤的比值（SE/SD）。N=100;T=10均值中值SDSE/SDMAEProbit0.940.950.260.860.18Probit_BC0.950.920.280.830.19Probit_JK1.031.000.310.740.20LPM0.940.930.260.870.18N=100;T=12均值中值SDSE/SDMAEProbit0.960.960.240.840.15Probit_BC0.970.970.250.810.17Probit_JK1.011.010.260.780.18LPM0.950.950.240.820.17N=100;T=16均值中值SDSE/SDMAEProbit0.950.960.210.830.15Probit_BC0.970.970.220.810.15Probit_JK0.980.980.250.710.18LPM0.930.930.210.820.14五結(jié)論本文研究了帶異質(zhì)線性趨勢(shì)的二元選擇面板模型偏誤糾正估計(jì)，得到了公共參數(shù)和平均邊際效應(yīng)極大似然估計(jì)偏誤的解析形式。同時(shí)我們也討論了Jackknife偏誤糾正方法。從小樣本實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，即使對(duì)較小的T，本文提出的偏誤糾正方法很好的糾正了參數(shù)極大似然估計(jì)的偏誤。對(duì)平均邊際效應(yīng)的估計(jì)沒有有效的提高，偏誤糾正方法和無偏誤糾正方法的中值、均值都很接近真實(shí)值，平均絕對(duì)偏誤差異也不大。這背后是否存在某種必然性還有待研究。參考文獻(xiàn)：[1]Abrevaya,J.,1997.TheEquivalenceofTwoEstimatorsoftheFixedEffectsLogitModel.EconomicsLetters,55(1):41-44.[2]Arellano,M.,Hahn,J.,2007.Understadingbiasinnonlinearpanelmodels:Somerecentdevelopments.In:Blundell,R.,Newey,W.K.,Persson,T.(Eds.),AdvancesinEconomicsandEconometrics:TheoryandApplications,NinthWorldCongress,Vol.3.CambridgeUniversityPress,Cambridge.[3]Carro,J.M.,2007.Estimatingdynamicpaneldatadiscretechoicemodelswithfixedeffects.JournalofEconometrics,140(2):503-528.[4]Comin,D.andB.Hobijn,2004.Cross-countrytechnologyadoption:Makingthetheoryfacethefacts.JournalofMonetaryEconomics,51(1):39-83.[5]Fama,E.,French,K.,2001.Disappearingdividends:changingfirmcharacteristicsorlowerpropensitytopay?JournalofFinancialEconomics,60(1):3-43.[6]Greene,W.H.,2004.Thebehaviorofthefixedeffectsestimatorinnonlinearmodels.EconometricsJournal,7:98-119.[7]Hahn,J.,Kuersteiner,G.,2004.Biasreductionfordynamicnonlinearpanelmodelswithfixedeffects.UCLA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