北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2016-2017學(xué)年北京市西城區(qū)高三(上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合A={x|0＜x＜2｝,B=｛x｜x2﹣1≤0｝，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1｝ B．{x｜﹣1≤x＜2｝ C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x｜1≤x＜2｝2．下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．已知雙曲線x2﹣=1（b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是（2，0）,則其漸近線的方程為（)A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P（2，），則過(guò)點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是（）A．ρsinθ=1 B．ρsinθ= C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面的面積中最大的是（)A．3 B． C．6 D．6．設(shè)，是非零向量，且≠±．則“||=｜|”是“（）⊥()”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．實(shí)數(shù)x,y滿足若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a﹣3，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0］ B．［0,1] C．［﹣1，1] D．（﹣∞,﹣1］∪[1，+∞）8．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中．正四面體P﹣ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸,y軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是2,則｜OP｜的取值范圍是（）A．[﹣1，+1] B．［1，3] C．[﹣1，2］ D．[1，+1］二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分．9．復(fù)數(shù)等于．10．設(shè)等比數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前Sn項(xiàng)和為a1=1，a3=4，則an=；S6=．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為．12．在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，則a=．13．設(shè)函數(shù)f(x）=，其中a＞0①若a=3，則f[f（9）］=;②若函數(shù)y=f(x)﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．14．10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)擅x手比賽一場(chǎng)）．規(guī)定兩人對(duì)局勝者得2分，平局各得1分，負(fù)者得0分,并按總得分由高到低進(jìn)行排序．比賽結(jié)束后,10名選手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的．則第二名選手的得分是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期為π(Ⅰ)求ω的值;（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0,］上的最大值和最小值．16．（14分)如圖，在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2,AB=BC=1（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E為PD的中點(diǎn)，求證:CE∥平面PAB(Ⅲ)若DC與平面PAB所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．17．（13分）手機(jī)完全充滿電量,在開(kāi)機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱(chēng)為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間．為了解A，B兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣(mài)場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各7臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：手機(jī)編號(hào)1234567A型待機(jī)時(shí)間（h)120125122124124123123B型待機(jī)時(shí)間(h)118123127120124ab其中，a，b是正整數(shù)，且a＜b(Ⅰ）該賣(mài)場(chǎng)有56臺(tái)A型手機(jī)，試估計(jì)其中待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)的臺(tái)數(shù);(Ⅱ)從A型號(hào)被測(cè)試的7臺(tái)手機(jī)中隨機(jī)抽取4臺(tái),記待機(jī)時(shí)間大于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅲ）設(shè)A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等，當(dāng)B型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的方差最小時(shí),寫(xiě)出a，b的值（結(jié)論不要求證明)．18．（13分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a?sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率是﹣1，求a的值；(Ⅱ)如果f(x）在區(qū)間(0，1)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．19．（14分）已知直線l：x=t與橢圓C：=1相交于A,B兩點(diǎn),M是橢圓C上一點(diǎn)（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí),求△MAB面積的最大值；(Ⅱ）設(shè)直線MA和MB與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，O為原點(diǎn)．證明:｜OE|?｜OF｜為定值．20．（13分）數(shù)字1，2，3,…,n(n≥2）的任意一個(gè)排列記作（a1，a2，…,an),設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．集合An={（a1，a2，…,an)∈Sn｜任意整數(shù)i，j,1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn=｛(a1，a2，…，an｝∈Sn｜任意整數(shù)i，j，1≤i＜n,都有ai+i≤aj+j}．（Ⅰ）用列舉法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù);（Ⅲ）記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn．證明：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列．

2016—2017學(xué)年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合A={x｜0＜x＜2}，B={x｜x2﹣1≤0｝,那么A∪B=（）A．{x｜0＜x≤1｝ B．{x|﹣1≤x＜2} C．｛x｜﹣1≤x＜0} D．{x|1≤x＜2}【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解:∵集合A=｛x|0＜x＜2},B=｛x|x2﹣1≤0｝={x|﹣1≤x≤1},∴A∪B={﹣1≤x＜2｝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意并集定義的合理運(yùn)用．2．下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．y=x2+1是偶函數(shù)，不滿足條件．B．y=tanx是奇函數(shù)，但函數(shù)的定義域不是R，不滿足條件．C．y=2x為增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．D．y=x+sinx是奇函數(shù),滿足條件．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，利用函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．3．已知雙曲線x2﹣=1（b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是（2，0）,則其漸近線的方程為（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可得c=2，即1+b2=4,解得b，進(jìn)而得到雙曲線的方程，即可得到漸近線方程．【解答】解:由題意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得漸近線方程為y=±x．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的基本量的關(guān)系和漸近線方程與雙曲線的方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題．4．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，），則過(guò)點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是（）A．ρsinθ=1 B．ρsinθ= C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】求出點(diǎn)P(2，）的直角坐標(biāo)，可得此點(diǎn)到極軸的距離為1，從而求得所求直線的極坐標(biāo)方程．【解答】解：∵點(diǎn)P（2,)的直角坐標(biāo)為(，1），此點(diǎn)到x軸的距離為1，故經(jīng)過(guò)此點(diǎn)到x軸的距離為1的直線的方程是y=1，故過(guò)點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是ρsinθ=1,故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，求簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面的面積中最大的是(）A．3 B． C．6 D．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖得幾何體是四棱錐并畫(huà)出直觀圖，由三視圖判斷出線面的位置關(guān)系，并求出幾何體的高和側(cè)面的高，分別求出各個(gè)側(cè)面的面積，即可得到答案．【解答】解：由三視圖得幾何體是四棱錐P﹣ABCD，如圖所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形,AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，則△PDC的高為=，所以△PDC的面積為：×4×=2，因?yàn)镻E⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可證AD⊥PD,則兩個(gè)側(cè)面△PAD、△PBC的面積都為：×2×3=3,側(cè)面△PAB的面積為:×4×=6，所以四棱錐P﹣ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大是：6，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求幾何體側(cè)面的面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體、判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．6．設(shè)，是非零向量，且≠±．則“｜｜=||”是“（）⊥（）"的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若“(）⊥(）”，則“(）?（）=0，即“｜｜2=|｜2”,即||=|｜,反之當(dāng)|｜=||,則（）?（）=｜｜2﹣|｜2=0，即()⊥（）,故“||=｜|"是“（）⊥(）"的充要條件，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．實(shí)數(shù)x,y滿足若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a﹣3，則a的取值范圍是（)A．［﹣1，0] B．［0，1］ C．［﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1］∪[1，+∞）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，確定過(guò)B點(diǎn)取得最大值，故A點(diǎn)取得最小值，利用數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)斜率的范圍，即可得到結(jié)論【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值為3a+9,最小值為3a﹣3，∴當(dāng)直線y=﹣ax+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，9)時(shí)直線截距最大，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,﹣3）時(shí)，直線截距最?。畡t直線y=﹣ax+z的斜率﹣a滿足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．8．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中．正四面體P﹣ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸,y軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是2，則｜OP｜的取值范圍是（）A．[﹣1，+1］ B．[1，3] C．[﹣1，2] D．［1，+1]【考點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形，固定正四面體P﹣ABC的位置，則原點(diǎn)O在以AB為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O到點(diǎn)P的最近距離等于PM減去球的半徑,最大距離是PM加上球的半徑．【解答】解:如圖所示，若固定正四面體P﹣ABC的位置，則原點(diǎn)O在以AB為直徑的球面上運(yùn)動(dòng),設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則PM==;所以原點(diǎn)O到點(diǎn)P的最近距離等于PM減去球M的半徑,最大距離是PM加上球M的半徑;所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范圍是［﹣1，+1]．故選:A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分．9．復(fù)數(shù)等于i．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式即可．【解答】解:復(fù)數(shù)===i．故答案為:i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn),考查計(jì)算能力．10．設(shè)等比數(shù)列｛an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前Sn項(xiàng)和為a1=1，a3=4，則an=2n﹣1;S6=63．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)正數(shù)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0,∵a1=1,a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．則an=2n﹣1．S6==63．故答案為：2n﹣1；63．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為﹣3．【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，k的值，可得當(dāng)k=4時(shí)不滿足條件k≤3，退出循環(huán)，輸出S的值為﹣3．【解答】解:模擬程序的運(yùn)行，可得k=1,S=1滿足條件k≤3，執(zhí)行循環(huán)體，S=1，k=2滿足條件k≤3,執(zhí)行循環(huán)體,S=0，k=3滿足條件k≤3,執(zhí)行循環(huán)體，S=﹣3，k=4不滿足條件k≤3，退出循環(huán)，輸出S的值為﹣3．故答案為:﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時(shí),常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎(chǔ)題．12．在△ABC中，角A,B，C的對(duì)邊分別為a,b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，則a=．【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用由正弦定理可得b=2a,再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab?cosC，由此求得a的值．【解答】解:△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab?cosC，即9=a2+4a2﹣2a?2a?cos，求得a=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．13．設(shè)函數(shù)f（x）=,其中a＞0①若a=3，則f［f（9）］=；②若函數(shù)y=f（x）﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是[4，9）．【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①代值計(jì)算即可，②分別畫(huà)出y=f（x）與y=﹣2的圖象,如圖所示，函數(shù)y=f（x）﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得4≤a＜9．【解答】解：①當(dāng)a=3時(shí)，f(9）=log39=2,∴f（2)=,∴f[f(9）]=,②分別畫(huà)出y=f（x)與y=﹣2的圖象,如圖所示，函數(shù)y=f(x)﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得4≤a＜9,故a的取值范圍是[4，9)故答案為:，［4，9）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合．14．10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)擅x手比賽一場(chǎng))．規(guī)定兩人對(duì)局勝者得2分，平局各得1分，負(fù)者得0分，并按總得分由高到低進(jìn)行排序．比賽結(jié)束后，10名選手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的．則第二名選手的得分是16．【考點(diǎn)】概率的意義．【分析】有10個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，勝隊(duì)得2分，負(fù)隊(duì)得0分，平局的兩隊(duì)各得1分．即每場(chǎng)產(chǎn)生2分，每個(gè)隊(duì)需要進(jìn)行10﹣1=9場(chǎng)比賽，則全勝的隊(duì)得18分，而最后五隊(duì)之間賽5×（5﹣1)÷2=10場(chǎng)至少共得20分，所以第二名的隊(duì)得分至少為20×=16分．【解答】解：每個(gè)隊(duì)需要進(jìn)行9場(chǎng)比賽，則全勝的隊(duì)得:9×2=18(分）,而最后五隊(duì)之間賽10場(chǎng)，至少共得：10×2=20（分）,所以第二名的隊(duì)得分至少為20×=16（分）．故答案是：16【點(diǎn)評(píng)】完成本題主要求出最后五隊(duì)之間賽的場(chǎng)次以及至少共得的分?jǐn)?shù)，然后抓住了“第二名的得分是最后五名所得總分和的"這個(gè)關(guān)健點(diǎn)進(jìn)行分析的．三、解答題：本大題共6小題,共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）(2016秋?西城區(qū)期末）已知函數(shù)f（x)=sin(2ωx﹣)+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期為π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f(x）在區(qū)間［0，]上的最大值和最小值．【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．（Ⅱ）求出角的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可．【解答】解:（Ⅰ)因?yàn)閒(x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+），所以f(x）的最小正周期T=，解得ω=1．(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x）=sin(2x+)，因?yàn)?≤x≤,所以≤2x+≤,所以，當(dāng)2x+=,即x=時(shí)，f（x）取得最大值為1；當(dāng)2x+=,即x=時(shí)，f（x）取得最小值為﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．16．(14分）（2016秋?西城區(qū)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°,PA=PD，AB⊥PA，AD=2,AB=BC=1（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E為PD的中點(diǎn),求證：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC與平面PAB所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【分析】(Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥PA,由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．(Ⅱ)取PA的中點(diǎn)F，連接BF,EF．推導(dǎo)出四邊形BCEG是平行四邊形，從而EC∥BF，由此能證明CE∥平面PAB．(Ⅲ)過(guò)P作PO⊥AD于O，連接OC．建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz利用向量法能求出四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)椤螧AD=90°，所以AB⊥AD，(1分）又因?yàn)锳B⊥PA，所以AB⊥平面PAD．所以平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)F，連接BF,EF．因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以EF∥AD，,又因?yàn)锽C∥AD,，所以BC∥EF，BC=EF．所以四邊形BCEG是平行四邊形，EC∥BF．（7分）又BF?平面PAB，CE?平面PAB,所以CE∥平面PAB．(8分）（Ⅲ）過(guò)P作PO⊥AD于O，連接OC．因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)為AD中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．(9分）設(shè)PO=a．由題意得,A（0,1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1,0），P（0,0，a）．所以=（1，0，0），=（0,1,﹣a）,=（1，1，0）．設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z）,則，令z=1，則y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因?yàn)镈C與平面PAB所成角為30°,所以|cos＜＞｜===sin30°=，解得a=1．（13分）所以四棱錐P﹣ABCD的體積．(14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明,考查四棱錐的體積的求法，是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．17．(13分)（2016秋?西城區(qū)期末）手機(jī)完全充滿電量,在開(kāi)機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱(chēng)為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間．為了解A，B兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣(mài)場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各7臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：手機(jī)編號(hào)1234567A型待機(jī)時(shí)間（h)120125122124124123123B型待機(jī)時(shí)間（h)118123127120124ab其中，a，b是正整數(shù)，且a＜b（Ⅰ）該賣(mài)場(chǎng)有56臺(tái)A型手機(jī)，試估計(jì)其中待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)的臺(tái)數(shù);（Ⅱ)從A型號(hào)被測(cè)試的7臺(tái)手機(jī)中隨機(jī)抽取4臺(tái),記待機(jī)時(shí)間大于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅲ)設(shè)A,B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等，當(dāng)B型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的方差最小時(shí)，寫(xiě)出a,b的值（結(jié)論不要求證明）．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）被檢測(cè)的7臺(tái)手機(jī)中有5臺(tái)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)?估計(jì)56臺(tái)A型手機(jī)中有臺(tái)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)．（II）由表格可知,A型號(hào)被測(cè)試的7臺(tái)手機(jī)中待機(jī)時(shí)間大于123小時(shí)的臺(tái)數(shù)為有3臺(tái)，利用超幾何分布概率計(jì)算法則，求解概率．（Ⅲ）由A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的平均值相等，列方程，求出a,b．【解答】解：（Ⅰ）被檢測(cè)的7臺(tái)手機(jī)中有5臺(tái)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)，因此，估計(jì)56臺(tái)A型手機(jī)中有臺(tái)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間不少于123小時(shí)．(Ⅱ）X可能的取值為0，1,2，3，；；;．所以，X的分布列為：X0123P（Ⅲ）若A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的平均值相等,當(dāng)B型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的方差最小時(shí)，a=124,b=125．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽樣方法的基本性質(zhì)，及古典概型的分布列、期望，屬于基礎(chǔ)題．18．（13分)（2016秋?西城區(qū)期末)已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a?sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲線y=f(x）在x=1處的切線的斜率是﹣1，求a的值;（Ⅱ）如果f(x）在區(qū)間(0，1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】(Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線的斜率求出f′(1)=﹣1,求出a的值即可；(Ⅱ)求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到g（x）＜g（1）=1，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），［（1分）］導(dǎo)函數(shù)為．[（2分）］因?yàn)榍€y=f（x）在x=1處的切線的斜率是﹣1，所以f’(1)=﹣1，即1﹣a=﹣1,［］所以a=2．［］(Ⅱ）因?yàn)閒（x)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，所以對(duì)任意x∈(0，1），都有．［]因?yàn)閤∈（0，1）時(shí)，cos（x﹣1）＞0，所以．［（8分）］令g（x）=x?cos(x﹣1），所以g'（x)=cos（x﹣1）﹣x?sin（x﹣1）．[（10分）]因?yàn)閤∈（0，1）時(shí)，sin（x﹣1)＜0，所以x∈（0,1）時(shí)，g'（x)＞0,g（x）在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增,所以g（x）＜g（1）=1．［(12分）]所以a≤1．即a的取值范圍是(﹣∞，1］．[（13分)］【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題．19．(14分）（2016秋?西城區(qū)期末）已知直線l：x=t與橢圓C：=1相交于A，B兩點(diǎn),M是橢圓C上一點(diǎn)(Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求△MAB面積的最大值;（Ⅱ）設(shè)直線MA和MB與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，O為原點(diǎn)．證明：|OE｜?|OF|為定值．【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）將x=1代入，求得，當(dāng)M為橢圓C的頂點(diǎn)（﹣2,0）時(shí),M到直線x=1的距離取得最大值3，即可求得△MAB面積的最大值;（Ⅱ）由題意可知:設(shè)M（x0,y0），則有，則直線MA的方程為,令y=0,得,從而，同理即可求得，則===4．【解答】解:(Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí),將x=1代入,解得:，∴．[（2分)］當(dāng)M為橢圓C的頂點(diǎn)（﹣2，0)時(shí)，M到直線x=1的距離取得最大值3，[］∴△MAB面積的最大值是．［］(Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（t，n）,B（t,﹣n）,從而t2+2n2=4．［]設(shè)M(x0，y0)，則有,x0≠t，y0≠±n．［(7分）］直線MA的方程為，[（8分）］令y=0,得，從而．[（9分）]直線MB的方程為,［(10分）］令y=0，得，從而．［（11分）］所以=,=，[(13分）]==4．∴|OE｜?｜OF｜為定值．［（14分）]【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查三角形的面積公式,直線的點(diǎn)斜式方程,考查計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（13分)（2016秋?西城區(qū)期末）數(shù)字1，2，3，…，n（n≥2)的任意一個(gè)排列記作（a1,a2,…，an)，設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．集合An=｛（a1，a2，…，an)∈Sn｜任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn=｛（a1，a2，…，an｝∈Sn｜任意整數(shù)i，j，1≤i＜n,都有ai+i≤aj+j｝．(Ⅰ）用列舉法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù)；（Ⅲ）記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn．證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定；集合的表示法．【分析】（Ⅰ）集合A3屬于單調(diào)遞增排列，集合B3屬于實(shí)數(shù)對(duì)，利用列舉法表示集合A3,B3即可；（Ⅱ）根據(jù)題意知An={（1，2，3，…,n）｝、（1，2，3，…，n）∈Bn,所以An?Bn．所以集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù)為1．（Ⅲ）由（Ⅱ)知，bn≠0．因?yàn)锽2={（1，2），（2，1)｝，所以b2=2．當(dāng)n≥3時(shí),考慮Bn中的元素（a1，a2,a3，…，an）．分類(lèi)討論：(1）假設(shè)ak=n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+(k+1)，依此類(lèi)推，若ak=n，則ak+1=n﹣1，ak+2=n﹣2，…，an=k．①若k=1，則滿足條件的1，2，3,…，n的排列（a1，a2