邏輯學(北大課)02課件

ACourseinLogic主講人：何向東--進入--邏輯學教程ACourseinLogic主講人：何向東--進入--第二章命題邏輯第一節(jié)命題邏輯概述第二章命題邏輯第一節(jié)21九月20233命題（1）西南大學在重慶。（2）閃光的東西都是金子。（3）如果小王有作案動機，那么他就會作案。符合實際的命題是真命題，不符合實際的命題是假命題。上述（1）是真命題;而（2）、（3）是假命題。命題是通過語句來反映事物情況的思維形態(tài)。例如：命題的主要特征：命題有真假03八月20233命題（1）西南大學在重慶。命題是通過語21九月20234命題和語句首先，有的語句不能直接表達命題，如：（1）西南大學在重慶嗎?（2）請把門關上！一般來講：陳述句與反詰句可以直接表達命題。其次，同一命題可以用不同的語句來表達，如：“所有的鳥都會飛”與“沒有鳥不會飛”表達了相同的命題。

此外，同一命題可用不同的民族語言的語句來表達。再次，同一語句，可以表達不同的命題，如：小張將書還給小王，因為他要回家了。

任何命題都是通過語句來表達的，但語句和命題并非一一對應：語句(陳述句和反詰句)有內涵也有外延:語句的內涵即它表達的命題；語句的外延即真、假這兩個真值。采用這種觀點的邏輯理論，稱為二值外延邏輯或經典邏輯。邏輯學上所說的命題，一般指這種或者為真或者為假的抽象語句。03八月20234命題和語句首先，有的語句不能直接表達命21九月20235命題和判斷

一個命題是否能成為判斷，與斷定者的知識、立場等有關。如：“杜甫是偉大的詩人”能否被斷定就與斷定者的知識水平有很大關系。充分假言命題被斷定是前后件的關系，而不是支命題。如：“如果物體受到摩擦，那么物體發(fā)熱”這個命題，我們既沒有斷定“物體受到摩擦”，也沒有斷定“物體發(fā)熱”，我們所斷定的只是前件是后件的充分條件。判斷：就是被斷定者斷定了的命題。判斷的主要特征：有所斷定。03八月20235命題和判斷一個命題是否能成為判斷，與21九月20236命題的分類模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡單命題復合命題03八月20236命題的分類模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡單命21九月20237命題分析的層次將聯(lián)結詞所聯(lián)結的命題作為一個完整的單位來看待

——研究關于聯(lián)結詞的推理(命題邏輯)深入到命題內部，把命題分析為主項、謂項、量項和聯(lián)項

——研究關于量項和聯(lián)項的推理(傳統(tǒng)詞項邏輯)深入到命題內部，把命題分析為個體詞、謂詞、量詞及聯(lián)結詞

——研究關于量詞的推理(現(xiàn)代謂詞邏輯)把命題中包含的模態(tài)詞分析出來

——研究關于模態(tài)詞的推理(模態(tài)邏輯)03八月20237命題分析的層次將聯(lián)結詞所聯(lián)結的命題作為21九月20238邏輯語形學與邏輯語義學邏輯語形(語法)學:研究符號與符號關系的邏輯理論。邏輯語義學:研究符號及其解釋的邏輯理論，如:把p、q、r解釋為取真假值的命題變元，把∧、∨、→解釋為真值集上的運算，把p∧q、p∨q、p→q解釋為真值函數的表達式。推理是由前提和結論組成的，前提和結論之間的關系稱為推出（推論、推理）關系。例如：

小王既有缺點，又有優(yōu)點，所以，小王有優(yōu)點。在推理中，前提是“小王既有缺點，又有優(yōu)點”，結論是“小王有優(yōu)點”，“所以”標志前提和結論之間的推出關系。

推理形式：p且q，所以，q。邏輯學是從語形和語義兩個方面來研究推理的：

(1)從前提和結論的形式方面進行

(2)從前提和結論的真假方面進行

語形和語義對推出關系的雙重刻畫03八月20238邏輯語形學與邏輯語義學邏輯語形(語法)第二章命題邏輯第二節(jié)復合命題及其推理第二章命題邏輯第二節(jié)21九月202310負命題(1)并非選修邏輯的學生都是文科生。(2)這個班的學生不都學英語。(3)如果它是三角形，則內角和等于180°，這個觀點不對。注：負命題的支命題可以是簡單命題，也可以是復合命題。負命題的形式:?p。其中p稱為?的轄域。負命題的邏輯性質：負命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。負命題由否定聯(lián)結詞(如“并非”)聯(lián)結支命題而形成的復合命題。例如：03八月202310負命題(1)并非選修邏輯的學生都是文21九月202311負命題真值表：真值集合只有兩個元素｛T，F(xiàn)｝，其中T表示命題為真，而F表示命題為假。因此，可用列表的方式表示真值運算的過程，這種表稱為真值表。真值函數：當p在真值集合｛T，F(xiàn)｝上取真值后，

p的真值也唯一確定。所以，

p是p的函數，表達形式為f(p)=p，這種函數稱真值函數。

的真值表如下：FT?pp

根據這個真值表，也可以給f(p)=

p這個一元真值函數作如下定義：

p為真當且僅當p為假；

p為假當且僅當p為真。TF真值表的作用03八月202311負命題真值表：真值集合只有兩個元素｛21九月202312負命題根據負命題的邏輯性質，可對?p再否定得到??p，其真值與p相同，真值表如下：FTFTFT??p?pp由上真值表知，對任意公式A，有等值關系：A

??A負命題的推導規(guī)則:雙重否定引入規(guī)則（??+）：從A可推出

A。圖示：A——??A雙重否定消去規(guī)則（??-）：從A可推出A。圖示：??A——A03八月202312負命題根據負命題的邏輯性質，可對?p21九月202313聯(lián)言命題（1）小張歌唱得好并且舞跳得好。（2）這樣建立的邏輯系統(tǒng)既有可靠性，又有完全性。聯(lián)言命題的形式：p并且q（p∧q）。p稱為∧的左轄域，q稱為∧的右轄域。p∧q是二元真值函數：

f(p,q)=p∧q?！氖窃趦蓚€真值變元p和q上進行運算的二元運算。聯(lián)言命題是由聯(lián)言聯(lián)結詞(如“并且”)聯(lián)結支命題而形成的復合命題，又稱合取命題。例如：03八月202313聯(lián)言命題（1）小張歌唱得好并且舞跳得21九月202314FFTFFTTTp∧qqp從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質：當p、q同時為真時，p∧q才為真；只要p、q其中一個為假，則p∧q為假。合取詞∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧運算的規(guī)律:（1）∧的交換律：p∧q

q∧p（2）∧的結合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（冪等）律：p∧pp03八月202314FFTFFTTTp∧qqp從上表可以21九月202315合取引入規(guī)則（∧+）：從A和B可推出A∧B。圖示如下：AB——A∧B合取消去規(guī)則（∧-）：從A∧B可推出A，從A∧B可推出B。圖示如下：

A∧BA∧B

——

——AB小張喜愛音樂，小張喜愛體育，所以，小張不但喜愛音樂，也喜愛體育。根據∧+作出一個形式正確的推理，推理形式為：p,q├p∧q。小張既有優(yōu)點，也有缺點，所以，小張是有優(yōu)點的。根據∧_作出一個形式正確的推理，推理形式為：p∧q├p。聯(lián)言命題的推導規(guī)則03八月202315合取引入規(guī)則（∧+）：從A和B可推出21九月202316選言命題選言命題分為“相容選言命題”和“不相容選言命題”兩種。相容選言命題的選言支可以同時為真，如：(1)小王或者是班干部，或者是學生會干部(二者可以得兼)。(2)這份統(tǒng)計材料，或者是原始材料有錯誤，或者是計算有錯誤，或者兩種情況都存在。而不相容選言命題的選言支不能同時為真，如：(1)魚，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。(2)要么選老王當村長，要么選小李當村長。

選言命題用選言聯(lián)結詞聯(lián)結支命題而形成的復合命題。03八月202316選言命題選言命題分為“相容選言命題”21九月202317相容選言命題的形式：p或者q(p∨q)∨的真值表：相容選言命題的邏輯特征：相容選言命題為真，則它的選言支至少有一個為真；反過來講，當選言命題至少有一個選言支為真，選言命題一定為真。FFTFFTTTp∨qqpTFTT相容選言命題及推理03八月202317相容選言命題的形式：p或者q(p∨q21九月202318∨的運算規(guī)律∧和∨的混合運算規(guī)律(1)∧對∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。(2)∨對∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。(3)吸收律：p∧(p∨q)p；p∨(p∧q)p。(4)德·摩根律：

?(p∧q)?p∨?q；?(p∨q)?p∧?q。(1)∨的交換律：p∨q

q∨p，(2)∨的結合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。03八月202318∨的運算規(guī)律(1)∧對∨的分配律:21九月202319用真值表檢驗德·摩根律：從上真值表，可得：?(p∧q)<=>?p∨?q應用德·摩根律的實例:并非這件衣服物美(而且)價廉

這件衣服或者物不美，或者價不廉。并非小李或者喜歡音樂，或者喜歡體育

小李既不喜歡音樂，也不喜歡體育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTT

p∨q

(p∧q)p∧q

q

pqp03八月202319用真值表檢驗德·摩根律：TTFTTF21九月202320析取消去規(guī)則(∨－)從A∨B和?A可推出B；從A∨B和?B可推出A。A∨BA∨B?A?B——

——BA

（只討論有兩個選言支的選言命題，下同）析取消去規(guī)則的應用實例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式為：

p∨q,?p├q肯定一個選言支，不能否定另一個選言支。下述推理形式均錯誤：A∨B,A├?B；A∨B，B├?A規(guī)則：否定一個選言支，就要肯定另一個選言支。03八月202320析取消去規(guī)則(∨－)規(guī)則：否定一個21九月202321析取引入規(guī)則(記為∨＋)：從A可推出A∨B；從B可推出A∨B。

AB————A∨BA∨B析取引入規(guī)則的應用實例：小王是醫(yī)生；所以，小王是醫(yī)生，或者小王是教師。其推理形式為：p├p∨q03八月202321析取引入規(guī)則(記為∨＋)：21九月202322FFTFFTTTpqqp的真值表的運算規(guī)律的交換律：pq

qP(qr)

(pq)的結合律：prFTTF形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧

(p∧q)p不相容選言命題及推理邏輯性質：不相容選言命題為真，當且僅當兩個選言支有且只有一個為真。03八月202322FFTFFTTTpqqp21九月202323消去規(guī)則(記為_):從AB和A可推出

B；從AB和B可推出

A；ABA——

BABB——

A從AB和

A可推出B；從AB和

B可推出A；AB

A——BAB

B——A03八月202323消去規(guī)則(記為_):從A21九月202324假言命題（1）如果寒潮到來，那么氣溫就會下降。（2）只有你去，我才放心。（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。在（1）、（2）中由“如果”、“只有”引出的支命題稱為前件，由“那么”、“才”引出的支命題稱為后件。假言命題的種類一、充分條件假言命題二、必要條件假言命題三、充分必要條件假言命題

假言命題是由假言聯(lián)結詞(如“如果，那么”、“只有，才”、“當且僅當”等)聯(lián)結支命題而形成的復合命題，例如：03八月202324假言命題（1）如果寒潮到來，那么氣溫21九月202325充分條件假言命題(1)如果你不斷地堅持鍛煉，你的身體就會康復。(2)假如語言能創(chuàng)造財富，那么，夸夸其談的人就會成為世界上最富有的人。

充分條件假言命題的形式：如果p，那么q(p→q)在蘊涵式p→q中，p稱為→的前件(左轄域)，q稱為→的后件(右轄域)。充分條件假言命題亦稱條件命題或者實質蘊涵命題,是用“如果，那么”等聯(lián)結詞聯(lián)結前、后件形成的假言命題，例如：03八月202325充分條件假言命題充分條件假言命題亦稱21九月202326→的真值表

充分條件假言命題的邏輯性質是：除了前件為真而后件為假時充分條件假言命題是假的以外,在其它三種情況下,充分條件假言命題都是真的。FFTFFTTTp→qqpTTTF03八月202326→的真值表FFTFFTTTp→qq21九月202327必要條件假言命題

(1)只有由細菌引起的疾病，才能用抗生素治療。(2)我不去，除非你去。必要條件假言命題的形式：只有p,才q(p←q)用“只有，才”聯(lián)結前、后件形成的假言命題，例如：在蘊涵式p←q中，p稱為←的前件(左轄域)，q稱為←的后件(右轄域)。03八月202327必要條件假言命題

用“只有，才”聯(lián)結21九月202328←的真值表必要條件假言命題的邏輯性質是：除了前件為假而后件為真時充分條件假言命題是假的之外,其它情況下,充分條件假言命題都是真的。pqp←qTTTTFTFTFFFT03八月202328←的真值表pqp←qTTTTFTF21九月202329充分必要條件假言命題

(1)a和b平行,當且僅當它們的同位角相等。(2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。充要條件假言命題的形式：p當且僅當q(p

q)在充要條件式p

q中，稱p為的前件(左轄域)，稱q為的后件(右轄域)。充分必要條件假言命題又稱雙條件命題，簡稱充要條件假言命題，是用“當且僅當”等作為聯(lián)結詞的命題，例如：03八月202329充分必要條件假言命題

充分必要條件假21九月202330

的真值表

的邏輯性質：當p和q的真值相同時，pq的真值為真；當p和q的真值不相同時，pq的真值為假。除上述已有規(guī)則外，→、←、還有一些運算規(guī)律FFTFFTTTp

qqpFFTT03八月202330的真值表FFTFFTTTpq21九月202331關于→的推理規(guī)則(1)蘊涵消去規(guī)則,也稱分離規(guī)則(略縮為M.P.)或肯定前件式(記為→_)從A→B和A可推出B。圖示：A→BA——B(2)否定后件式(略縮為M.T.)

從A→B和

B可推出A。圖示：

A→B

B——

A規(guī)則：肯定前件就要肯定后件規(guī)則：否定后件就要否定前件03八月202331關于→的推理規(guī)則(1)蘊涵消去規(guī)則,21九月202332關于→的推理規(guī)則的應用（1）如果甲方付給了定金,乙方就得按時發(fā)貨。甲方已付給了定金。所以乙方得按時發(fā)貨。其推理形式為：p→q，p├q（2）如果這部電影受觀眾歡迎，那么買票的人就多。買票的人不多。所以這部電影不受觀眾歡迎。其推理形式為：p→q,

q├

p規(guī)則：肯定前件就要肯定后件規(guī)則：否定后件就要否定前件03八月202332關于→的推理規(guī)則的應用（1）如果甲方21九月202333關于→的推理的錯誤應用在日常思維中，關于→的推理，容易發(fā)生的錯誤是：從A→B和B推出A；從A→B和

A推出

B。例如如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K有槍。所以，他是持槍殺人兇手。如是小K是持槍殺人兇手，那么他肯定有槍。小K不是持槍殺人兇手。所以，他肯定沒有槍。為避免錯誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定后件不能肯定前件；否定前件不能否定后件。03八月202333關于→的推理的錯誤應用在日常思維中，21九月202334(2)肯定后件規(guī)則:從A←B和B可推出A

圖示：

A←

BB——A(1)否定前件規(guī)則:從A←B和

A可推出

B圖示：A←

B

A——

B規(guī)則：否定前件就要否定后件規(guī)則：肯定后件就要肯定前件關于←的推理規(guī)則03八月202334(2)肯定后件規(guī)則:從A←B和B21九月202335關于←的推理規(guī)則應用(1)只有你學習努力，才能取得好成績。你學習不努力，所以，你不能取得好成績。其推理形式為：p←q，

p├

q(2)除非發(fā)生了意外情況，這趟列車不會停在這個地方。它既然停在這個地方，可見，發(fā)生了意外情況。其推理形式為：p←q,q├p03八月202335關于←的推理規(guī)則應用(1)只有你學習21九月202336關于←的推理的錯誤應用在日常思維中，關于←的推理的錯誤應用，容易發(fā)生的錯誤是:從A←B和A推出B；從A←B和

B推出

A。例如:

只有小A在作案現(xiàn)場，他才是殺人兇手。有人證明小A在作案現(xiàn)場，所以，小A是殺人兇手。只有小A在作案現(xiàn)場，他才是殺人兇手。小A不是殺人兇手，所以，小A不在作案現(xiàn)場。為避免錯誤，制定了這樣的規(guī)則：肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。03八月202336關于←的推理的錯誤應用在日常思維中，21九月202337關于

的推理規(guī)則(1)等值引入規(guī)則(記為

+)：從A→B和B→A可推出AB。圖示：A→BB→A——AB(2)等值消去規(guī)則(記為

－)：從AB可推出A→B；從AB可推出B→A。圖示：AB——A→BAB——B→A03八月202337關于的推理規(guī)則(1)等值引入規(guī)則(21九月202338其他常見的推理1.假言易位推理：

A→B├┤

B→A；A→B├┤B→A；A→B├┤B→A2.二難推理：簡單構成式：A→C,B→C,A∨B├C

復雜構成式：A→C,B→D,A∨B├C∨D

簡單破壞式：A→B,A→C,

B∨C├A

復雜破壞式：A→C,B→D,C∨D├A∨B3.假言三段論：A→B，B→C├A→C4.反三段論：(A∧B)→C├┤(A∧C)→B

(A∧B)→C├┤(B∧C)→A5.反證法：

A→B，A→B├A6.歸謬法：A→B，A→B├A03八月202338其他常見的推理1.假言易位推理：第二章命題邏輯第三節(jié)：

命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP第二章命題邏輯第三節(jié)：21九月202340自然演繹系統(tǒng)NP

命題邏輯的自然演繹系統(tǒng)NP是由形式語言L′和一組推導（變形）規(guī)則構成的。其中形式語言L′包括初始符號、形成規(guī)則和定義。一、初始符號(1)甲類符號：p1,p2,p3,…；(2)乙類符號：

，∧，∨，→；(3)丙類符號：(，)。這些符號構成的有窮長的序列叫做符號串，例如:

p,p∧q，p∨q,p→q；(p∧q)→r，p∧(q→r)，…

其中p、

p都稱

p的子公式。

構建命題邏輯的形式系統(tǒng)，可以采用公理化方法，也可采用自然演繹的方法。為接近人們的日常思維，現(xiàn)采用自然演繹的方法來構建命題邏輯的一個形式系統(tǒng)NP。03八月202340自然演繹系統(tǒng)NP命題邏輯的自21九月202341自然演繹系統(tǒng)NP二、形成規(guī)則(1)任何單個的命題變元p是合式公式；(2)如果A是合式公式，則

A是合式公式；(3)如果A和B是合式公式，則A∧B、A∨B、A→B是合式公式；只有（1）----（3）形成的符號串是合式公式。三、定義：用來表示縮寫的，定義兩邊的符號串可以相互代替。如：(A

B)=df(A→B)∧(B→A)。形式語言L′的全體合式公式記為Form(L′)。形式語言L′是我們的研究對象，叫對象語言。討論對象語言的語言叫元語言或語法語言。形成規(guī)則的作用03八月202341自然演繹系統(tǒng)NP二、形成規(guī)則21九月202342NP系統(tǒng)的推導規(guī)則1.合取引入規(guī)則(記為∧+)：從A和B推出A∧B；2.合取消去規(guī)則(記為∧_):

從A∧B推出A；從A∧B推出B；3.析取引入規(guī)則(記為∨+)：從A推出A∨B；從B推出A∨B；4.析取消去規(guī)則(記為∨_):

從A∨B和

A推出B；從A∨B和B推出A；5.蘊涵引入規(guī)則(記為→+)：如果從公式集Γ和A推出B，則從Γ推出A→B；6.蘊涵消去規(guī)則(記為→_)：從A→B和A推出B；

7.否定消去規(guī)則(記為_)：如果從Γ和A推出B∧B，則從Γ推出A。又稱條件證明規(guī)則或演繹定理，是把從Γ推出A→B的推理轉化為從Γ和臨時的假設A推出B的推理。(即移出律)又稱間接證明或反證法，是把由Γ推出A的推理轉化為由Γ和臨時的假設A推出B∧B的推理。03八月202342NP系統(tǒng)的推導規(guī)則1.合取引入規(guī)則(21九月202343NP系統(tǒng)有前提的形式推演

一個有窮的公式序列B1,B2,…，Bm是從前提集Γ(Γ不是空集)到結論B的有前提的形式推演，如果每一個公式Bi(1≤i≤m)滿足以下條件之一：

(1)Bi∈Γ(即Bi是前提集Γ中的一個公式)；

(2)Bi是一個據→+或

-臨時引入的假設；

(3)Bi是該序列中在前的若干公式應用NP系統(tǒng)的推導規(guī)則得到的公式；

(4)B=Bm。則我們稱Γ和B具有語法推出關系，B從Γ中可演繹的，或者說，從Γ可以推出B，記為：Γ├NPB。03八月202343NP系統(tǒng)有前提的形式推演一個有21九月202344NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系

我們以T1，T2，…來給由基本推導規(guī)則確立的語法推出關系的編號，用(1)，(2)，…

，(m)給形式推理過程中的公式序列中的每一個公式編號。T1A├A(肯定前提)(1)A前提A既是該序列的第1個公式，也是第m個公式(m=1)。T2A，B├A(肯定前提)T3A，B├B(1)AA1(2)BA2

B是第2個公式，也是第m個公式(m=2)。03八月202344NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系21九月202345NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T4A，B├A∧BT5(a)A∧B├AT5(b)A∧B├BT6(a)A├A∨BT6(b)B├A∨BT7(a)A∨B,

A├BT7(b)A∨B,B├AT8A→B,A├B03八月202345NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T421九月202346NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T8:A→B,A├B(1)A→BA1(2)AA2

(3)B(1)，(2)，→_T9

(假言三段論，記為H.S.)：A→B，B→C├A→C(1)A→BA1

(2)B→CA2

(3)AH1(→+的假設)(4)B(1)，(3)，→_(5)C(2)，(4)，→_(6)A→C(3)—(5)，→+(消去H1)03八月202346NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T821九月202347NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T10(雙重否定消去規(guī)則，記為

_)：

A├A(1)AA(2)AH（_的假設）

(3)A∧A(1)，(2)，∧+(4)A(2)—(3)，_(消去H)T11(雙重否定引入規(guī)則，記為

+):A├A(1)AA(2)AH（_的假設）

(3)A(2)

，_

(4)A∧A(1)，(3)，∧+(5)A(2)—(4)，_（消去H）03八月202347NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202348NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T12A，

Ａ├

B

T13

Ａ，A├B

只證T12：(1)AA1(2)AA2

(3)A∨B(1),∨+(4)B(3)，(2)，∨_T14A→B，A→

B├A(歸謬法，記為+)

(1)A→BA1

(2)A→BA2

(3)AH1(_的假設)(4)A(3)，_

(5)B(1)，(4)，→_(6)B(2)，(4)，→_(7)B∧B(5)，(6)，∧+(8)A(3)—(7)，_（消去H1）03八月202348NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202349NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T15(a)A→B├

B→A(假言易位)T15(b)

B→A├A→B只證T１5(a)：(1)A→BA(2)BH1（→+的假設）

(3)AH2(_的假設)(4)A(3)，_

(5)B(1)，(4)，→_(6)B∧B(2)，(5)，∧+(7)A(3)—(6)，_（消去H2）(8)B→A(2)—(7)，→+（消去H1）T15(c)A→

B├┤B→AT15(d)

A→B├┤B→A03八月202349NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202350NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系可證等價關系也稱演繹等值關系,如果A├B且B├A，A和B就具有可證等價關系，記為A≡B。據T15(a)和T15(b)，有如下可證等價關系：

A→B≡

B→A。

可證等價置換規(guī)則(記為R．P．)：如果A≡B，則在A出現(xiàn)的公式C中(即A是C的子公式)，可以用B代替A，在B出現(xiàn)的公式C中(即B是C的子公式)，可以用A代替B。03八月202350NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系可證21九月202351NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T16A→B，B├A(否定后件,記為M.T.)(1)A→BA1

(2)BA2

(3)B→A(1)，R．P．(4)A(2)，(3)，→_T17A∨B，A→C，B→C├C(二難推理,記為D.C.)(1)A∨BA1(2)A→CA2

(3)B→CA3

(4)

CH1（_的假設）

(5)A(2)，(4)，M．T．

(6)B(1)，(5)，∨_(7)C(3)，(6)，→_(8)C∧C(4)，(7)，∧+(9)C(4)—(8)，_（消去H1）03八月202351NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202352NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B(記為DeM.)T18(b)

(A∨B)├┤A∧B(記為DeM.)T19(a)

(A∨B)├AT19(b)

(A∨B)├BT20(a)

A├(A∧B)T20(b)

B├(A∧B)03八月202352NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202353NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T18(a)

(A∧B)├┤

A∨

B的證明先證(A∧B)├A∨B:

(1)(A∧B)A(2)(

A∨B)H1(_的假設)(3)AH2(_的假設)(4)A∨B(3)，∨+(5)(A∨B)∧(

A∨B)(2),(4),∧+(6)A(3)—(5),_(消去H2)(7)BH3(_的假設)(8)A∨B(7)，∨+(9)(A∨B)∧(

A∨B)(2)，(8)，∧+(10)B(7)—(9)，_(消去H3)(11)A∧B(6)，(10),∧+(12)(A∧B)∧(A∧B)(1)，(11),∧+(13)A∨B(2)—(12)，_(消去H1)03八月202353NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202354NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T18(a)

(A∧B)├┤

A∨

B的證明再證A∨B├(A∧B)：

(1)A∨BA(2)(A∧B)H(_的假設)(3)A∧B(2)，_

(4)A(3)，∧_(5)B(3)，∧_(6)A(4)，+(7)B(1),(6),∨_(8)B∧B(5),(7),∧+(9)(A∧B)(2)—(8),_(消去H)03八月202354NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T121九月202355NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系交換律T21(a)A∧B├┤B∧AT21(b)A∨B├┤B∨A結合律T22(a)A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨CT22(b)A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C分配律T23(a)A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)T23(b)A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)03八月202355NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系交換21九月202356NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系

T21(b)A∨B├┤B∨A的證明先證A∨B├B∨A(1)A∨BA(2)AH1(→+的假設)(3)B∨A(2)，∨+(4)A→B∨A(2)—(3)，→+（消去H1）(5)BH2(→+的假設)(6)B∨A(5)，∨+(7)B→B∨A(5)—(6)，→+（消去H2）(8)B∨A(1)，(4)，(7)，D.C.同理，可證B∨A├A∨B。03八月202356NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系

T21九月202357NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T24(a)

A→B├┤

(A∧B)T24(b)

(Ａ→B)├┤A∧BT25(a)A→B├┤A∨B

(蘊析律)T25(b)A∨B├┤A→ＢT26(a)

(A∧B)├┤A→Ｂ

T26(b)A∧Ｂ├┤(A→Ｂ)T27(a)A∧Ｂ├┤(

A∨Ｂ)T27(b)A∨Ｂ├┤(

A∧Ｂ)T28(b)A→B,A→C,B∨C├A(二難推理)T28(c)A→C，B→D，A∨B├B∨DT28(d)A→C，B→D，C∨D├A∨B03八月202357NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T221九月202358NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T29(a)A∧B→C├┤A∧

C→B(反三段論)T29(b)A∧B→C├┤B∧C→A

T30A∧B→C├A→(B→C)(條件輸出)T31A→(B→C)├A∧B→C(條件輸入)T32A→(B→C)├┤B→(A→C)(條件互易)T33A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)T34A→(A→B)├┤A→B(條件融合)T35(a)A→B├A∧C→B∧C(前件附加)T35(b)A→B├A∨C→B∨CT35(c)A→B├(C→A)→(C→B)T36

（A→B）→C├B→C03八月202358NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T221九月202359NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T37A→B，B→A├A

B(+)T38(a)AB├A→B(_)

T38(b)AB├B→AT39A→C,B→C├A∧B→C(前件合取)T40A→B,A→C├A→B∧C(后件合取)T41A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C)T42A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C)T43A→B∧C├┤(A→B)∧(A→C)T44A→B∨C├┤(A→B)∨(A→C)……

03八月202359NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系T321九月202360NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用實例(一)如果不換8號上場（p），或者換12號上場(q)，甲隊的形勢不會好轉(r)。教練沒有換8號上場，也沒有換12號上場。所以，甲隊的形勢不會好轉。首先，將前提和結論形式化：

A1：

(p∨q)→rA2：p∧q

B：r

(1)(p∨q)→rA1

(2)p∧qA2(3)(p∨q)(2)，DeM.(4)r(1)，(3)，→_03八月202360NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用21九月202361NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用實例(二)如果線段L有存在無窮多個點，那么，如果這些點有長度，則線段L將無窮長，而且，如果這些點都沒有長度,則線段L也不會有長度。但是，一條線段既不會無窮長,也不會沒有長度。所以L上不會有無窮多個點。前題和結論符號化：A1：p→(q→r)∧(

q→s)A2：r∧sB：p03八月202361NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用21九月202362(1)p→(q→r)∧(

q→s)A1

(2)r∧sA2

(3)pH（_的假設)(4)p(3),_

(5)(q→r)∧(q→s)(1)，(4)，→_(6)q→r(5),∧_(7)q→s(5),∧_(8)r(2),∧_(9)s(2),∧_(10)q(6),(8),M.T.(11)q(7),(9),M.T.(12)q∧q(10),(11),∧+(13)p(3)—(12)，_,(消去H)03八月202362(1)p→(q→r)∧(q→s21九月202363NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用實例(三)如果貨幣供應量保持現(xiàn)狀，而貨幣需求量增加，則銀行利率就會上升。如果貨幣需求量增加導致銀行利率上升，則在銀行存款更被看好。主管部門已宣布貨幣供應總是保持不變。因此，在銀行存款更被看好。A1：p∧q→rA2：(q→r)→sA3：pB：s03八月202363NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用21九月202364NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用實例(三)方法一：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3(4)qH1（→+的假設)(5)p∧q(3)，(4)，∧+(6)r(1)，(5)，→_(7)q→r(4)—(6)，→+(消去H1)(8)s(2)，(7)，→_03八月202364NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用21九月202365NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用實例(三)方法二：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3 (4)

sH（→_的假設) (5)（q→r）(2),(4)M.T. (6)q∧r(5),R.P. (7)r(6)，∧_ (8)(p∧q)(1),(7)M.T. (9)p∨q(8),R.P. (10)q(6)，∧_ (11)q(10),+ (12)p(9),(11),∨_ (13)p∧p(3),(12),∧+(14)s(4)—(13),

_(消去H)03八月202365NP系統(tǒng)中的語法(語形)推出關系應用21九月202366證明公式集不一致

包括邏輯矛盾的公式(命題)集稱為不相容(不一致,不協(xié)調)的公式集.判定公式集｛A∨B→C，(A→C)→D，B∧

D｝是否為不一致的公式集.(1)A∨B→CA1(2)C→DA2

(3)A∧DA3

(4)A(3)，∧_(5)D(3)，∧__(6)A∨B(4)，∨+(7)C(1)，(6)，→_(8)D(2)，(7)，→_(9)D∧D(5)，(8)，∧+故原公式集是不一致的公式集。03八月202366證明公式集不一致

包括邏輯矛盾的公式第二章命題邏輯第四節(jié)：命題邏輯有效性的判定第二章命題邏輯第四節(jié)：21九月202368真值指派和真值賦值真值指派（簡稱指派）：給每個命題變元指定一個真值的過程，記為ρ。從直觀上講，真值指派實質上可看成是給構成復合命題的支命題（表示為命題變元）指定真值的過程。ρ(p)=T（ρ(p)=F）就是把p解釋為一個真（假）命題。真值賦值（簡稱賦值）:給定一個真值指派以后，給每個公式確定一個唯一的真值的過程。這個過程稱為由該真值指派導出的真值賦值，記為δ。公式A在賦值δ下的值，記為δ(A)。真值指派ρ導出真值賦值δ，實質上可看成由支命題（表示為命題變元）的真值確定復合命題（表示為公式）的真值的過程。03八月202368真值指派和真值賦值真值指派（簡稱指派21九月202369形式語言L′的基本語義解釋設ρ為任一指派，δ是由ρ導出的賦值：(Ⅰ)對任何命題變元p，δ(p)=ρ(p)，其中ρ(p)已有定義。(Ⅱ)δ(

A)=T當且僅當δ(A)=F;(Ⅲ)δ(A∧B)=T當且僅當δ(A)=T并且δ(B)=T;(Ⅳ)δ(A∨B)=T當且僅當δ(A)=T或者δ(B)=T;(Ⅴ)δ(A→B)=T當且僅當δ(A)=F或者δ(B)=T。給定一個真值指派ρ:ρ(p)=T,ρ(q)=F,ρ(r)=T,…。根據基本語義解釋，可以導出一個真值賦值δ,以確定由這些命題變元構成的任何公式在δ下的真值。例如：δ(

p)=F,δ(p∧r)=T,δ(p∨q→r)=T,δ(p∨r→q)=F，…。真值條件語義學：上述基本基本語義解釋，實質上是以嚴格的形式陳述了真值表所表示的真值運算或真值函數，陳述了命題變元或子公式與公式的真值對應關系或真值條件聯(lián)系，因此，我們也把這種對形式語言L′所作的語義解釋，稱為真值條件語義學。形式語言L′的語義解釋，就是根據基本語義解釋來確定L′的全體公式的真值。03八月202369形式語言L′的基本語義解釋設ρ為21九月202370重要的語義概念可滿足性：對任何公式A，如果存在賦值δ,使得δ(A)=T，則稱A是可滿足的。如果對任何賦值δ，都有δ(A)=F，則稱A為不可滿足的。協(xié)調性：對公式集Γ(Γ={A1,A2,…,An})中的任一公式Ai(i=1,2,…,n)，如果存在賦值δ,使得δ(Ai)=T，則稱公式集Γ是協(xié)調的。語義后承：設Γ是一個公式集，B是一個公式，如果對任何賦值δ都有：如果δ(Γ)=T(即δ（A1）=T，δ（A2）=T，…，δ（An）=T)，則δ（B）=T，則稱B是Γ的語義后承（或Γ邏輯蘊涵B，Γ能有效地推出B，Γ與B具有語義推出關系），記為：Γ

=B。語義等值：如果A=B并且B=A，則稱A語義等值于B（或A邏輯等值于B），記為AB。03八月202370重要的語義概念可滿足性：對任何公式A21九月202371基本推導規(guī)則的保真性邏輯的中心任務是從語形方面和語義方面刻畫前提和結論之間的推出關系。從語義方面看,任何推導規(guī)則的根本作用在于保證從真前提能而且只能得出真結論?！?的保真性

1.∧+:從A，B推出A∧B(A,B├A∧B)

對任何賦值δ，如果δ（A）=T,δ（B）=T，那么，根據基本語義解釋(Ⅲ)，δ（A∧B）=T，因此：A，B

=A∧B。故∧+能保證從真前提必然得出真結論。類似地，∨_、→_、→+、

－也都具有保真性。03八月202371基本推導規(guī)則的保真性邏輯的中心任務是21九月202372基本推導規(guī)則的保真性應用舉例證明A→B，

A

≠

B(1)假如A→B，A

≠B,即存在δ,使得(A→B)=T,δ(A)=T,但是δ(B)=F;(2)由δ(A)=T,得δ(A)=F，從δ(B)=F得δ(B)=T;(3)從δ(A)=F,δ(B)=T,得δ(A→B)=T，與假設δ(A→B）=T不矛盾；(4)這就是說，存在δ：δ(A)=F，δ(B)=T，在此賦值δ下，δ（A→B）=T，δ（A）=T，但是，δ（B）=F。所以，A→B，A

≠

B。03八月202372基本推導規(guī)則的保真性應用舉例21九月202373用真值表檢驗語義推出關系

例1：判定A→B，

B├A是否有語義推出關系。

從真值表可知：(A→B)∧

B→A是一個永真蘊涵式。這就是說，對任何賦值δ，都有如果δ(A→B)=T且δ(B)=T，那么有δ(A)=T，也就是說有：A→B，B

=

AAB

A

B(A→B)∧

B(A→B)∧

B→ATTFFFTTFFTFTFTTFFTFFTTTT判定A1∧A2∧…∧An→B是否永真（重言）式，就可以判定{A1，A2，…，An}是否邏輯蘊涵B。03八月202373用真值表檢驗語義推出關系

例1：判定21九月202374用真值表檢驗語義推出關系

例2：判定（A∨B）∧A├B是否有語義推出關系。從真值表可知，（A∨B）∧A→

B不是永真式蘊涵式.存在何賦值δ：δ(A)=T，δ(B)=T使得δ（A∨B）=T，δ(A)=T，但是δ(B)=F。所以，我們有：（A∨B）∧A=BTFFTFFTFFFTFTFTTFTFTTFTT（A∨B）∧A→

BA∨B（A∨B）∧A

BBA03八月202374用真值表檢驗語義推出關系

例2：判定21九月202375可靠性定理可靠性定理：凡NP系統(tǒng)中的語法推論關系都是語義推論關系。NP系統(tǒng)內的所有語法推論關系原則上都可以由7條基本推導規(guī)則生成。根據語義解釋的方法，這7條基本推導規(guī)則能保證從真前提能而且只能推出真結論。其它語法推出關系原則上都可以由這7條基本推導規(guī)則生成，因此，它們也是語義推出關系?？煽啃远ɡ淼淖饔茫篜系統(tǒng)具有可靠性，這意味著當我們把NP系統(tǒng)運用到其它領域的理論研究和日常思維中進行推理或論證時，決不會從真前提推出假結論甚至邏輯矛盾。03八月202375可靠性定理可靠性定理：凡NP系統(tǒng)中的21九月202376完全性定理完全性定理：凡NP系統(tǒng)中的語義推出關系都是語法推出關系。NP系統(tǒng)完全性的證明要涉及相容性、可滿足性以及極大相容集等概念。證明的主要思路是證明：（1）Γ├B當且僅當?！葅

B}不相容；（2）如果Γ=B則?！葅B}不可滿足；因此，只要證明：（3）如果?！葅B}不可滿足，則?！葅B}不相容，就可以證明：如果Γ=B,則Γ├B。完全性定理的作用：凡是關于聯(lián)結詞的從真前提必然得出真結論的推理形式，都包含在NP系統(tǒng)中了，都表現(xiàn)為NP系統(tǒng)的語法推出關系了。03八月202376完全性定理完全性定理：凡NP系統(tǒng)中的21九月202377本章小結基本內容命題的概念、復合命題的推理規(guī)則。自然演繹系統(tǒng)NP,七條基本推導規(guī)則。系統(tǒng)NP的語義解釋。重難點運用七條基本推導規(guī)則進行形式推演。語法推出關系與語義推出關系；可靠性和完全性。03八月202377本章小結基本內容21九月202378復合命題復合命題是由聯(lián)結詞聯(lián)結若干命題而形成的命題，例如:（1）萊布尼茨既是數學家，又是哲學家。（2）如果明天天氣好，我可能去泡北溫泉，也可能去登縉云山。構成復合命題的命題，稱為復合命題的支命題。支命題可以是簡單命題也可以是復合命題。03八月202378復合命題復合命題是由聯(lián)結詞聯(lián)結若干命21九月202379簡單命題簡單命題是不包含其它命題的命題，例如:（1）所有有教養(yǎng)的人都有禮貌。（2）有的學生通過了這次考試。

簡單命題的成分：主項、謂項、量項和聯(lián)項。(從詞項邏輯的角度)個體詞、謂詞、量詞和聯(lián)結詞。(從謂詞邏輯的角度)03八月202379簡單命題簡單命題是不包含其它命題的命21九月202380模態(tài)命題模態(tài)命題是包含了“必然”、“應當”等模態(tài)詞的命題，例如:（1）長期不懈的努力必然有收獲。（2）任何公民都應當遵紀守法。。（3）如果所有人不種田，那么所有人會餓死，這是可能的。03八月202380模態(tài)命題模態(tài)命題是包含了“必然”、“21九月202381推出關系的雙重刻畫從語形方面來刻畫推出關系從語義方面來刻畫推出關系根據L的推理規(guī)則能夠從A1,A2,…，An推導出B；A1,A2,…，An├LB(n≥1);具有語法推出關系的推理稱為形式正確的推理；語形推出關系可表示為：

p∧q├Lq。如果在A1,A2,…，An為真的一切解釋C中B都是真的。A1,A2,…，Aｎ

=C

B(n≥1);具有語義推出關系的推理稱為有效的推理；語義推出關系可表示為：

p∧q=Cq。03八月202381推出關系的雙重刻畫從語形方面來刻畫推21九月202382邏輯系統(tǒng)的可靠性和完全性如果有A1,A2,…,An├B當且僅當A1,A2,…，An

=B(n≥1)，我們就說這樣的形式系統(tǒng)既可靠又完全。這樣的邏輯系統(tǒng)能保證從真前提推出真的結論，決不會推出假結論甚至邏輯矛盾。凡是從真前提推出真結論的推出關系都包含在這個邏輯系統(tǒng)中，在系統(tǒng)之外，沒有從真前提推出真結論的推出關系?？煽啃裕赫Z法推出關系都是語義推出關系。完全性：語義推出關系都是語法推出關系。03八月202382邏輯系統(tǒng)的可靠性和完全性如果有A1,21九月202383真值表的作用真值表在命題邏輯中是一種重要的工具，它的作用有：一、定義作用：(1)定義邏輯聯(lián)接項的性質，如:?、∧、∨、、→、

。(2)定義命題的類型，如:重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、協(xié)調式（有真有假）。03八月202383真值表的作用真值表在命題邏輯中是一種21九月202384真值表的作用二、判定作用：(1)判定命題間的關系，如：

p→q與?(p∧?q)

?p∨q與p→qp→q與p∧?q(2)判定推理是否有效，如：

(p→q)∧p→q(p→q)∧q→p03八月202384真值表的作用二、判定作用：21九月202385真值表的作用三、總結正確推理形式及其規(guī)則：