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第5章
三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)誘導(dǎo)公式二~四【導(dǎo)入】如圖,設(shè)坐標(biāo)系內(nèi)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P
(1)做P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q,以O(shè)Q為終邊的角β與角α
有什么關(guān)系?角β,α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?(2)如果作P點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)橫軸和縱軸的對(duì)稱點(diǎn)R和T,又
會(huì)得到什么結(jié)論?【分析】設(shè)P,由對(duì)稱關(guān)系有Q,根據(jù)三角函數(shù)的定義得,,;
公式二:
誘導(dǎo)公式二~四【回顧1】誘導(dǎo)公式一的內(nèi)容和作用是什么?【答】?jī)?nèi)容:
作用:把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0~2π上角的三角函數(shù)值.【思考】通過公式一及公式二你有什么發(fā)現(xiàn)?【答】
【回顧2】點(diǎn)P關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是什么?
【答】關(guān)于軸對(duì)稱:;關(guān)于軸對(duì)稱:;關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:
誘導(dǎo)公式二~四【拓展】進(jìn)一步,通過作出P點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)和關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn),我們可以得出如下結(jié)論:
【公式三】
【公式四】
誘導(dǎo)公式二~四【總結(jié)】對(duì)于公式一~四的概括:【1】α+2kπ,-α,(π±α)的三角函數(shù)值,在絕對(duì)值上
等于α的同名函數(shù)值,正負(fù)取決于把α看成銳角時(shí)
原函數(shù)值的符號(hào).即“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限.”【2】對(duì)于正弦與余弦的誘導(dǎo)公式,α可以為任意角;對(duì)
于正切的誘導(dǎo)公式,α的終邊不能落在y軸上,即
誘導(dǎo)公式二~四【問題1】如何用公式二和公式三推導(dǎo)出公式四?【答】
【問題2】關(guān)于“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”的理解.【答】①“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名;②“符號(hào)看象限”是指把原角看成銳角時(shí)新角在原函數(shù)下的符號(hào),由
新角所在象限確定符號(hào).如sin(α+π),若把α看成銳角,則π+α在
第三象限,所以取負(fù)值,故sin(α+π)=-sinα誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【利用誘導(dǎo)公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)的步驟】任意負(fù)角的三角函數(shù)用公式一或公式三任意正角的三角函數(shù)0~2π的角的三角函數(shù)用公式二或公式四銳角的三角函數(shù)用公式一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的一般思路:切化弦,負(fù)化正、大化小;異名化同名,異角化同角.誘導(dǎo)公式五~六【問題1】
【分析】作角α的終邊關(guān)于的對(duì)稱邊,根據(jù)集合
對(duì)稱關(guān)系,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為
,由三角函數(shù)的定義有:
同理我們有
誘導(dǎo)公式五~六【總結(jié)1】公式五和公式六可以概括如下:
的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于角α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面
加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).簡(jiǎn)記為:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限”【總結(jié)2】六組誘導(dǎo)公式各有什么用?
公式一:將任意角轉(zhuǎn)化成0~2π之間的角求值公式二:將0~2π之間的角轉(zhuǎn)化成0~π之間的角求值公式三:將負(fù)角轉(zhuǎn)化成正角求值公式四:將之間的角轉(zhuǎn)化成
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