廈門大學(xué)許文彬-高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)全套講義（共744可修改）

高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論AdvancedMicroeconomicTheoryGeoffreyA.JehlePhilipJ.Reny課案簡(jiǎn)介底本編寫者：夏紀(jì)軍Email：網(wǎng)頁(yè)：財(cái)大主頁(yè)公共信息教師主頁(yè)修訂者：許文彬Email：hsuwenbin@1632課程簡(jiǎn)介教材：G.A.Jehle&P.Reny

AdvancedMicroeconomicTheory參考書：H.R.Varian

MicroeconomicAnalysisA.Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.GreenMicroeconomicTheory

3Ch0.導(dǎo)論主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架四個(gè)分析層次經(jīng)濟(jì)環(huán)境個(gè)體行為分析最優(yōu)化原那么個(gè)體互動(dòng)結(jié)果均衡分析福利分析5微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變古典經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際革命〔1870年代，門格爾，瓦爾拉斯，杰文斯〕6微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心是初創(chuàng)于李嘉圖，綜合于穆勒的生產(chǎn)本錢價(jià)值論。在很大的意義上，馬克思的勞動(dòng)價(jià)值論和剩余價(jià)值論同樣歸屬于這一體系。邊際革命的意義在于力圖把經(jīng)濟(jì)理論建立在主觀意義之上，納入主觀心理的范疇。邊際主義者認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)該是研究享樂并使其最大化的科學(xué)；消費(fèi)是實(shí)現(xiàn)和追求享樂的直接領(lǐng)域，因此消費(fèi)才是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的根底和出發(fā)點(diǎn)。而消費(fèi)又是通過個(gè)人的行為得以實(shí)現(xiàn)的，個(gè)人是消費(fèi)的主體，于是，個(gè)人的消費(fèi)行為被視為研究的重點(diǎn)。分析個(gè)人消費(fèi)心理成為經(jīng)濟(jì)分析的根本出發(fā)點(diǎn)和理論支點(diǎn)。7微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際主義者宣稱，效用是人對(duì)物品滿足自己欲望的一種估價(jià)，它純粹是一種主觀現(xiàn)象，決不存在于人的意識(shí)之外。物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供給存在確定上限。效用和稀缺性結(jié)合，就產(chǎn)生了價(jià)值現(xiàn)象。所謂價(jià)值，就是人對(duì)物品主觀效用的評(píng)價(jià)，它顯然也是純粹的主觀現(xiàn)象。8微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變門格爾在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法上，強(qiáng)調(diào)以抽象演繹法為主，輔以經(jīng)驗(yàn)歸納法。這一主張是以成認(rèn)經(jīng)濟(jì)規(guī)律的存在和能夠被認(rèn)識(shí)為前提的。杰文斯和瓦爾拉斯主張并實(shí)際進(jìn)行了將數(shù)學(xué)方法引入經(jīng)濟(jì)學(xué)的嘗試，成為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驅(qū)。二者對(duì)此后經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論的開展起到了極其深遠(yuǎn)的影響。9微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際革命的擴(kuò)展：〔1〕對(duì)邊際效用價(jià)值論的深化和通俗化〔2〕從基數(shù)效用論轉(zhuǎn)向序數(shù)效用論〔3〕邊際生產(chǎn)力論的完成〔4〕對(duì)包括邊際效用論和邊際生產(chǎn)力論在內(nèi)的整個(gè)邊際主義的不同形式的綜合闡述。對(duì)邊際革命不同方向的擴(kuò)展形成了不同的學(xué)派，瑞典洛桑學(xué)派、奧地利學(xué)派，以及所謂新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)派，都是對(duì)邊際革命的不同方向的擴(kuò)展結(jié)果。10微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變邊際主義學(xué)說與原本它要反對(duì)的英國(guó)古典學(xué)派傳統(tǒng)的融合，最終形成了新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)。這使邊際主義從異端走向正宗，新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)也成為近現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的主流學(xué)派。這一學(xué)派的創(chuàng)始者是馬歇爾〔1890，?經(jīng)濟(jì)學(xué)原理?〕。馬歇爾的理論將價(jià)值論和供求論統(tǒng)一起來，提出“供求均衡價(jià)值論〞，從而使原本針鋒相對(duì)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)和邊際主義理論相互融合，并以此為軸線建立起自己的學(xué)說體系。馬歇爾的理論體系直到1930年代受到來自于凱恩斯的挑戰(zhàn)，二戰(zhàn)后，凱恩斯主義局部取代了馬歇爾理論中關(guān)于宏觀的方面，從而使得新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)在當(dāng)代條件下采取了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的形式。11微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變薩繆爾森根本上全盤繼承了馬歇爾的理論體系，并吸收了凱恩斯關(guān)于有效需求的論述，從而建立起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論體系。如果說邊際主義革命是現(xiàn)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的肇始的話，那么，博弈論的興起和迅猛開展，就是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)“二次革命〞的契機(jī)。博弈論的興起，“正在改寫著微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)〞。12微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變一個(gè)粗略的學(xué)術(shù)譜系：門格爾龐巴維克維塞爾杰文斯維斯蒂德瓦爾拉斯帕累托奧地利學(xué)派洛桑學(xué)派古典經(jīng)濟(jì)學(xué)馬歇爾薩繆爾森新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際革命13數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)提高經(jīng)濟(jì)學(xué)爭(zhēng)論的效率，加速理論的創(chuàng)新。形成統(tǒng)一的知識(shí)體系，便于交流、傳承，以及知識(shí)的積累。14數(shù)學(xué)根底〔一〕集合

實(shí)數(shù)集n維歐氏空間iffxi>yi,i=1,2,…,n15數(shù)學(xué)根底〔一〕ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一個(gè)集合包含了該集合中每對(duì)點(diǎn)的所有凸組合，它才是凸的。當(dāng)且僅當(dāng)我們可把集合內(nèi)的兩點(diǎn)用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內(nèi)的情況下，這一集合才是凸的。16數(shù)學(xué)根底〔一〕:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss與t存在特定關(guān)系或17數(shù)學(xué)根底〔一〕Completeness〔完備性〕ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（傳遞性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。18數(shù)學(xué)根底〔一〕度量與度量空間歐氏空間歐氏度量：19數(shù)學(xué)根底〔一〕開鄰域閉鄰域20數(shù)學(xué)根底〔一〕例1：在R1上的鄰域

21數(shù)學(xué)根底〔一〕上的鄰域：22數(shù)學(xué)根底〔一〕開集如果，都使，那么是上的開集。23數(shù)學(xué)根底〔一〕閉集S如果S的補(bǔ)集Sc是開集，那么S是閉集。24數(shù)學(xué)根底〔一〕定理：一個(gè)集合是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有的序列，如果對(duì)任意的m有，那么，就有。25數(shù)學(xué)根底〔一〕BoundedSets〔有界集〕AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,26數(shù)學(xué)根底〔一〕upperandlowerboundofSinRupperbound:u最小上界：上確界〔l.u.b.〕lowerbound:l最大下界：下確界〔g.l.b.〕27數(shù)學(xué)根底〔一〕定理1.5：實(shí)數(shù)子集的上界與下界1、有界開集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。28數(shù)學(xué)根底〔一〕Compactset〔緊集〕有界閉集29Ch1消費(fèi)者理論1.消費(fèi)者理論消費(fèi)集偏好關(guān)系與效用函數(shù)消費(fèi)者問題間接效用函數(shù)與支出函數(shù)需求函數(shù)性質(zhì)311.1消費(fèi)集商品i及其數(shù)量種類有限性數(shù)量無(wú)限可分消費(fèi)組合（束）321.1消費(fèi)集商品定義時(shí)點(diǎn):

今天的面包VS昨天的面包地點(diǎn):

上海的面包與北京的面包狀態(tài):生產(chǎn)期為1天的面包與生產(chǎn)期為2天的面包331.1消費(fèi)集例：跨期消費(fèi)決策兩種商品：第一期消費(fèi)第二期消費(fèi)341.1消費(fèi)集消費(fèi)集：消費(fèi)者可以想象自己可能消費(fèi)的各種消費(fèi)組合的集合?！从匙匀坏募s束以及消費(fèi)者關(guān)于商品的信息351.1消費(fèi)集休閑時(shí)間24面包·自然約束(physicalconstraint)：總量約束(i)361.1消費(fèi)集132汽車汽油(ii)·自然約束(physicalconstraint)：?jiǎn)挝患s束371.1消費(fèi)集更具一般性的消費(fèi)集381.1消費(fèi)集消費(fèi)集根本假設(shè)Nonempty：isclosed凸性(convex)

391.1消費(fèi)集可行集B在給定環(huán)境約束下，所有消費(fèi)者實(shí)際上可以選擇的消費(fèi)束。——反映制度、技術(shù)、個(gè)人能力等因素401.2偏好與效用如何描述消費(fèi)者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法那么需求規(guī)律——基數(shù)效用論411.2偏好與效用序數(shù)效用論P(yáng)areto(1896)、Slutsky〔1915〕Hicks〔1939〕:ValueandCapitalDebru〔1959〕:TheoryofValue——公理化方法421.2偏好與效用理性假設(shè)theconsumercanchoose能夠判斷自己喜歡什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性431.2.1偏好關(guān)系二元關(guān)系(binaryrelation):如果，有,那么至少與一樣好。讀作：偏好于。441.2.1偏好關(guān)系偏好公理1：完備性

偏好公理2：傳遞性

451.2.1偏好關(guān)系定義1.1：如果在消費(fèi)集上的二元關(guān)系滿足公理1和2，那么我們稱它為偏好關(guān)系。461.2.1偏好關(guān)系定義1.2：strictpreferencerelation而且讀作：嚴(yán)格偏好于

定義1.3：indifferencerelation而且讀作：與無(wú)差異471.2.1偏好關(guān)系消費(fèi)集的分劃弱偏好集：嚴(yán)格偏好集：無(wú)差異集：481.2.1偏好關(guān)系消費(fèi)集的分劃491.2.1偏好關(guān)系公理3：連續(xù)性,如果都有而且有和，那么就有和是閉集。連續(xù)定理：501.2.1偏好關(guān)系511.2.1偏好關(guān)系例1：字典序偏好設(shè)，如果

或，并且如：奧運(yùn)會(huì)金牌榜521.2.1偏好關(guān)系證明：字典序偏好不連續(xù)(反證法)連續(xù)性假設(shè)：該偏好關(guān)系具有連續(xù)性假設(shè)不成立（1）——與結(jié)論(1)矛盾531.2.1偏好關(guān)系公理:局部非飽和性,,使得?！偞嬖诟倪M(jìn)福利的可能性541.2.1偏好關(guān)系X1不滿足公理55局部非飽和性

無(wú)差異集合是一條曲線，

不存在無(wú)差異區(qū)域。1.2.1偏好關(guān)系56X3〔好的〕商品越多越好?。2571.2.1偏好關(guān)系公理4：嚴(yán)格單調(diào)性，如果有那么有，如果有，那么有嚴(yán)格單調(diào)性局部非飽和性58X2X3X11.2.1偏好關(guān)系無(wú)差異曲線斜率為負(fù)嚴(yán)格單調(diào)性591.2.1偏好關(guān)系公理：凸性如果，那么60X2X1Xt1.2.1偏好關(guān)系611.2.1偏好關(guān)系公理5：嚴(yán)格凸性如果和，那么621.2.1偏好關(guān)系X1Xt嚴(yán)格單調(diào)、凸性偏好凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線63

X1Xt嚴(yán)格單調(diào)、嚴(yán)格凸性偏好嚴(yán)格凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線1.2.1偏好關(guān)系641.2.1偏好關(guān)系邊際替代率無(wú)差異曲線的斜率凸偏好邊際替代率非遞增嚴(yán)格凸偏好邊際替代率遞減65Ch1.2.2效用函數(shù)數(shù)學(xué)根底：函數(shù)連續(xù)性如果定義域的一個(gè)“微小運(yùn)動(dòng)〞并不導(dǎo)致值域的“大跳躍〞，那么，函數(shù)根本上可以判斷是連續(xù)的。嚴(yán)格定義：PP427R到R的函數(shù)的連續(xù)性概念可以推廣到兩個(gè)度量空間之間的函數(shù)中。函數(shù)67數(shù)學(xué)根底：函數(shù)連續(xù)性〔Cauchy〕在此定義中，函數(shù)的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個(gè)子集中取值。68數(shù)學(xué)根底：函數(shù)象與原象〔inverseimage〕

連續(xù)性與原象〔定理A1-6〕69數(shù)學(xué)根底：函數(shù)定理A1.7：連續(xù)函數(shù)在緊集上的象〔image)是緊集70數(shù)學(xué)根底：函數(shù)極值存在性定理〔Weierstrass〕證明：根據(jù)定理A1-7，f〔x〕在R上是一個(gè)緊集，所以f〔x〕是閉且有界的，令a為其上確界，那么a是f〔x〕的極限點(diǎn)；又因?yàn)閒〔x〕是閉的，所以a屬于f〔x〕，即在S中存在某點(diǎn)xd，使得f〔xd〕=a。71數(shù)學(xué)根底：多變量函數(shù)的微分梯度(gradient)：一階微分：二階微分：〔海賽矩陣〕72數(shù)學(xué)根底：矩陣定義：

N×N矩陣M，如果都有半負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是0或負(fù)數(shù)；負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是負(fù)數(shù)。那么，稱M是半負(fù)定矩陣；如果不等號(hào)嚴(yán)格成立，那么稱M為負(fù)定矩陣。73數(shù)學(xué)根底：擬凹函數(shù)定義域是凸集的函數(shù)，若其任一上等值集（Superiorset,定義域中使函數(shù)值不小于某值的子集）是凸集，則該函數(shù)是擬凹的。74數(shù)學(xué)根底：擬凹函數(shù)證明：充分性定理

f(x)是擬凹函數(shù)75數(shù)學(xué)根底：擬凹函數(shù)必要性：

S(y)是凸集76數(shù)學(xué)根底：擬凹函數(shù)77數(shù)學(xué)根底：擬凹函數(shù)定理：連續(xù)可微函數(shù)f,以下三個(gè)命題等價(jià)：1、f是凹的，2、對(duì)于D中所有x，H〔x〕是負(fù)半定的，3、對(duì)于一切x0屬于D，781.2.2效用函數(shù)定義1.5：實(shí)值函數(shù)u:R??

R是表示偏好關(guān)系的效用函數(shù)，如果存在性唯一性791.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1(P14)：代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性定義在的偏好關(guān)系滿足連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性，那么就存在一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)表示.。801.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1證明思路先構(gòu)造一個(gè)實(shí)值函數(shù)然后證明它滿足效用函數(shù)的條件81I、效用函數(shù)的構(gòu)造0連續(xù)性

是非空閉集(上一講公理3)82I、效用函數(shù)的構(gòu)造嚴(yán)格單調(diào)性那么都有

如果

那么都有

如果

完備性

〔A是有下界閉集〕〔B是有界閉集〕83I、效用函數(shù)的構(gòu)造而且是唯一的。因?yàn)椋杭僭O(shè)〔嚴(yán)格單調(diào)性〕〔傳遞性〕

存在唯一的使得84I、效用函數(shù)的構(gòu)造0u(x)e~x85至此我們證明出，對(duì)于每個(gè)x屬于R，正好存在一個(gè)函數(shù)u〔x〕，使得u(x)e~x。到此為止,我們構(gòu)造了一個(gè)效用函數(shù),它給X中的每一消費(fèi)束分配一個(gè)數(shù)字。以下我們將說明這一效用函數(shù)代表偏好關(guān)系。86II、是效用函數(shù)由式得到〔傳遞性〕〔嚴(yán)格單調(diào)性〕——u(x)是表示偏好關(guān)系效用函數(shù)87III、是連續(xù)函數(shù)效用函數(shù)u(x)在開區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象)〔定義〕〔單調(diào)性〕〔傳遞性〕是開集（因?yàn)榈难a(bǔ)集是閉集）88III、是連續(xù)函數(shù)定理A1.6：〔P429〕連續(xù)是開集，在任意開集的逆映射在是開集連續(xù)891.2.2.2效用函數(shù)的唯一性正單調(diào)變化其中在的取值范圍上是嚴(yán)格遞增函數(shù)。901.2.2.2效用函數(shù)的唯一性定理1.2：效用函數(shù)對(duì)正單調(diào)變化的不變性實(shí)值函數(shù)u(x)能夠表示偏好關(guān)系，那么，當(dāng)且僅當(dāng)v(x)是u(x)的正單調(diào)變換,v(x)也能夠表示該偏好關(guān)系。911.2.2.2效用函數(shù)的唯一性設(shè)表示的是偏好關(guān)系的結(jié)構(gòu)。

92效用函數(shù)與無(wú)差異曲線無(wú)差異集：1.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)93上等值集(SuperiorSet)【嚴(yán)格上等值集】1.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)941.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)

嚴(yán)格遞增嚴(yán)格單調(diào)951.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)

擬凹具有凸性嚴(yán)格擬凹具有嚴(yán)格凸性

961.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)處處具有可導(dǎo)性無(wú)差異曲線光滑〔smooth〕無(wú)差異關(guān)系是XⅹX上的光滑流形。邊際效用〔偏好單調(diào)性〕〔偏好嚴(yán)格單調(diào)性〕【幾乎處處成立】971.2.2.3效用函數(shù)的性質(zhì)是凹函數(shù)擬凹邊際效用遞減981.2.2.3效用函數(shù)性質(zhì)海塞矩陣滿足本章PPT，P13凹991.2.2.4效用函數(shù)實(shí)例2X1X12X0X0位似偏好(homotheticpreference)1001.2.2.4效用函數(shù)實(shí)例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次效用函數(shù)來表示。位似偏好：證明：1011.2.2.4效用函數(shù)實(shí)例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次函數(shù)的正單調(diào)變換來表示。1021.2.2.4效用函數(shù)實(shí)例擬線性偏好(quasilinearpreference)偏好關(guān)系是相對(duì)于商品1的擬線性偏好，如果~~其中1031.2.2效用函數(shù)實(shí)例擬線性偏好效用函數(shù)1041.2.2效用函數(shù)實(shí)例CES〔constantelasticityofsubstitution〕效用函數(shù)105作業(yè)2：1.12、1.13、1.14、1.15106Ch1.3消費(fèi)者問題Ch1.3消費(fèi)者選擇問題最優(yōu)解的性質(zhì)最優(yōu)解的充分必要條件108數(shù)學(xué)根底約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法受約束于可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，用無(wú)拘束三變量函數(shù)替代兩變量函數(shù)：

109拉格朗日定理〔定理A2-16〕設(shè)f〔x〕與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*是f的一個(gè)最優(yōu)值點(diǎn)〔最大值或最小值〕；f受到的約束，如果梯度向量是線性獨(dú)立的，那么總會(huì)存在m個(gè)不同的數(shù)使得110定理A2-19受非負(fù)性條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的必要條件：設(shè)f(x)是連續(xù)可微的1.如果在的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿足:

111定理A2-19,續(xù)2.如果在的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿足:112Kuhn-Tucker條件〔定理A2-20〕受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的〔Kuhn-Tucker〕必要條件設(shè)f〔x〕與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*受到條件約束的f的最優(yōu)解〔最大值或最小值解〕。如果與所有束緊約束相關(guān)的梯度向量是線性獨(dú)立的，那么必存在唯一的向量使得〔x*，〕滿足Kuhn-Tucker條件：113Ch1.3消費(fèi)者選擇問題分析框架偏好關(guān)系：消費(fèi)集：可行集：最優(yōu)化選擇：114Ch1.3消費(fèi)者選擇問題假設(shè)1.2消費(fèi)者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性。消費(fèi)者的效用可以由一連續(xù)、嚴(yán)格遞增的擬凹實(shí)值函數(shù)表示。形式理性115Ch1.3消費(fèi)者選擇問題可行集預(yù)算行動(dòng)規(guī)那么制度、政府規(guī)制等交易規(guī)那么：完全競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)可行集：116Ch1.3消費(fèi)者選擇問題例：跨期消費(fèi)選擇117Ch1.3消費(fèi)者選擇問題收入：利率：例：跨期消費(fèi)選擇預(yù)算約束：〔未來值形式〕118Ch1.3消費(fèi)者選擇問題借不到錢融資約束貸款利率rc存款利率rs<119Ch1.3消費(fèi)者選擇問題消費(fèi)者問題120Ch1.3.1解的性質(zhì)：存在性如果定義域D是一個(gè)緊集，那么連續(xù)實(shí)值函數(shù)u(x)那么存在最大值。是上的連續(xù)函數(shù)非空是有界、閉集是緊集存在最大值滿足假設(shè)1.2

121Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性如果偏好關(guān)系滿足嚴(yán)格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一證明：是凸集

是嚴(yán)格擬凹函數(shù)

——與假設(shè)矛盾假設(shè)不成立解是唯一的122Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非凸偏好x1x2123Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非嚴(yán)格凸偏好x1x2124Ch1.3.1解的性質(zhì)：瓦爾拉斯法那么瓦爾拉斯法那么偏好的遞增性當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件時(shí)效用函數(shù)取到最大值：125Ch1.3.1解的性質(zhì)偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴(yán)格凸性偏好的遞增性效用最大化問題的解就是馬歇爾需求函數(shù)。存在性唯一性瓦爾拉斯法那么——馬歇爾需求函數(shù)126Ch1.3.2解的充要條件偏好具有良好性質(zhì)，可導(dǎo)127解的充要條件I、II、III、根據(jù)Kuhn-Tucker條件128Ch1.3.2解的充要條件偏好的嚴(yán)格單調(diào)性（幾乎處處成立）內(nèi)點(diǎn)解必要條件129Ch1.3.2解的充要條件定理1.4：內(nèi)點(diǎn)解必要條件的充分性如果效用函數(shù)連續(xù)擬凹，在可導(dǎo)，而且，。那么滿足以下必要條件的解一定是消費(fèi)者的效用最大化解。130Ch1.3.2解的充要條件擬凹設(shè)有：證明131Ch1.3.2解的充要條件假設(shè)不是消費(fèi)者的效用最大化選擇,即連續(xù)性——與u(x)擬凹性矛盾132Ch1.3.2解的充要條件定理1.5：需求函數(shù)的可微性設(shè)為在下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。如果有

在點(diǎn)上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。是上的二階連續(xù)可微函數(shù)在可微。那么133例134角點(diǎn)解如果那么最優(yōu)解位于可行集的角上135角點(diǎn)解擬線性偏好136角點(diǎn)解線性偏好2442x1137角點(diǎn)解138角點(diǎn)解1、2、139角點(diǎn)解3、140作業(yè)31.20、1.22、1.23、1.24、1.25、1.26、1.27141Ch1.4間接效用與支出數(shù)學(xué)根底值函數(shù)〔Valuefunction〕MP：143最大化定理如果目標(biāo)函數(shù)與約束條件關(guān)于參數(shù)是連續(xù)的,并且如果定義域是一個(gè)緊集,那么,M(a)與x(a)是參數(shù)a的連續(xù)函數(shù).進(jìn)一步,如果目標(biāo)函數(shù),約束條件與解均對(duì)參數(shù)可微,那么有包絡(luò)定理.144包絡(luò)定理〔定理A2.21〕〔MP〕中，如果f(·),g(·)對(duì)a連續(xù)可微，并且對(duì)任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對(duì)a可微。為該問題的拉格朗日函數(shù)，是滿足kuhn-Tucker條件的解。那么有

〔等式右邊表示拉格朗日函數(shù)關(guān)于參數(shù)aj的偏導(dǎo)數(shù)，它在點(diǎn)〔x(a)，(a)〕處取值〕145包絡(luò)定理的含義定理說明了如下情況：當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)〔并且假設(shè)因此變化而使整個(gè)最優(yōu)化問題被重新賦值〕，它對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化值產(chǎn)生的總效應(yīng)可用如下方式來推導(dǎo)：給拉格朗日函數(shù)求參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并接著可在原問題的一階庫(kù)恩-塔克條件的解處給該導(dǎo)數(shù)取值。證明：略1461.4.1間接效用函數(shù)1471.4.1間接效用函數(shù)定義在消費(fèi)集上的效用函數(shù)直接效用函數(shù)u(x)定義在(p,y)上的函數(shù)間接效用函數(shù)v(p,y)——當(dāng)價(jià)格、收入變化時(shí)，消費(fèi)者福利會(huì)發(fā)生怎樣的變化？1481.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)1：在上連續(xù)最大化定理約束函數(shù)是p,y的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)2：是(p,y)的0次齊次函數(shù)1491.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)3、4：是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)，p的遞減函數(shù)。證明：構(gòu)建拉格朗日函數(shù)令為最大化問題的解，那么根據(jù)拉格朗日定理得出存在一個(gè)使得下式成立：

易得>0150性質(zhì)3、4根據(jù)包絡(luò)定理,因此v(p,y)關(guān)于y是遞增的.同樣根據(jù)包絡(luò)定理有:因此v(p,y)關(guān)于p是遞減的.1511.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)5：是(p,y)的擬凸函數(shù)擬凸令1521.4.1間接效用函數(shù)假設(shè)不成立，那么即—與矛盾153性質(zhì)6:Roy恒等式：消費(fèi)者對(duì)物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數(shù)關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)與其關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)的比率的負(fù)數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，根據(jù)性質(zhì)3，有1541.4.1間接效用函數(shù)例1551.4.2支出函數(shù)在給定價(jià)格(p1,p2)下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，至少需要多少預(yù)算〔支出〕？ux1x2u(x1,x2)=u等支出線1561.4.2支出函數(shù)支出最小化問題(EMP)——?？怂剐枨蠛瘮?shù)1571.4.2支出函數(shù)?？怂剐枨蠛瘮?shù)xh(p,u)在價(jià)格p下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，支出最小的消費(fèi)束。158x1x2xh補(bǔ)償需求曲線159Hicksiandemandfunction對(duì)于不同的無(wú)差異曲線，——對(duì)于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲線，它們中的每一個(gè)的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條?？怂剐枨笄€上的每一點(diǎn)，其給消費(fèi)者帶來的效用都相等。顯然，在給定價(jià)格體系p和效用水平U(x)之后，相應(yīng)的?？怂剐枨蟛灰姷么嬖冢词勾嬖?，也不見得唯一，要使其具有存在性和唯一性，還須運(yùn)用相應(yīng)的假設(shè)。1601.4.2支出函數(shù)支出最小化問題解的存在性、唯一性支出函數(shù)的性質(zhì)161存在性定理設(shè)消費(fèi)集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，那么對(duì)任何價(jià)格向量及任何，都有〔即希克斯需求集合非空〕。因此理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫谴嬖诘?。162唯一性定理設(shè)消費(fèi)集X是凸集,?是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好,那么對(duì)于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價(jià)格體系p和消費(fèi)向量,希克斯需求集合中最多只有一種消費(fèi)方案.因此,理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫俏ㄒ坏?163存在性定理的證明是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是閉集164續(xù)

E有下界是閉集2.1.

存在最小值，即165唯一性定理的證明u(x)是嚴(yán)格擬凹函數(shù)假設(shè)x1,x2都是EMP的最優(yōu)解

u(xt)>up·xt=p·x2=e

存在k<1使得

u(kxt)>u

p·kxt<e如果偏好滿足假設(shè)1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一證明：u(x)是連續(xù)函數(shù)—與假設(shè)矛盾166支出函數(shù)e(p,u)的性質(zhì)如果u(.)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的,那么由最小值函數(shù)定義的e(p,u)那么是:性質(zhì)1：當(dāng)效用水平取最低值時(shí)，支出函數(shù)值為0。偏好〔嚴(yán)格〕遞增性質(zhì)2：在是連續(xù)函數(shù)(最大化定理)1671.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3:對(duì),是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無(wú)上界。證明:假設(shè)非嚴(yán)格遞增，令u1<u2記x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——與x1＝xh(p,u1)矛盾1681.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3：證明〔微分方法：包絡(luò)定理〕假設(shè)1.而且可微u(·)可微u(·)連續(xù)，嚴(yán)格遞增性2.I.1691.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)根據(jù)拉格朗日定理，必然存在一個(gè)λ*，使得：由于u(x)是遞增的,,所以λ*>0根據(jù)包絡(luò)定理：性質(zhì)4：支出函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù)。1701.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5：價(jià)格的一次齊次函數(shù)1711.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)6：是價(jià)格的凹函數(shù)證明：1721.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)7:Shephardlemma證明見性質(zhì)4.1731.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)例:求與對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)解:求拉格朗日函數(shù)的一階條件并消去,得到,于是可得支出函數(shù)1741.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定義

定義

〔1.17〕〔1.16〕1、2、1751.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系支出最小化→要到達(dá)效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時(shí)效用最大取值為u→支出為y時(shí)總能實(shí)現(xiàn)效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能到達(dá)的最大效用是u支出最小化→實(shí)現(xiàn)效用u的最小開支取值為e(p,u)→當(dāng)開支取值為e時(shí)總能實(shí)現(xiàn)u→開支取值為e(p,u)時(shí)帶來的效用v(p,y)u1761.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.8：假設(shè)連續(xù)且嚴(yán)格遞增，如果和分別是消費(fèi)者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，那么，對(duì)有：

1771.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

假設(shè)e(·)連續(xù)性(1.17)

這是不可能的證明：v(·)是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)1781.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

〔1.17〕:假設(shè)證明：v(·)連續(xù)

這是不可能的1791.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.9：馬歇爾需求與希克斯需求的對(duì)偶性在假設(shè)1.2下，對(duì)于所有有:

1801.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

證明：定理1.8

181對(duì)偶性的內(nèi)涵從外表上看,效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化的問題,支出最小化的?？怂剐枨鬀]有考慮效用最大化的問題,但事實(shí)并非如此.馬歇爾需求與?？怂剐枨笫腔ハ嘁恢碌?或者說,效用最大化蘊(yùn)涵著支出最小化,支出最小化也蘊(yùn)涵著效用最大化.因此,消費(fèi)最優(yōu)選擇不僅可以看做一個(gè)選擇與預(yù)算線相切的最高無(wú)差異曲線的問題,也可以看做是一個(gè)選擇與既定的無(wú)差異曲線相切的最低預(yù)算線的問題.1821.5需求函數(shù)性質(zhì)Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.1841.5需求函數(shù)的性質(zhì)定理1.10:0次齊次和預(yù)算平衡在假設(shè)1.2下x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數(shù)x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0滿足預(yù)算平衡：p·x(p,y)=y1851.5需求函數(shù)的性質(zhì)相對(duì)價(jià)格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相對(duì)價(jià)格：實(shí)際收入：對(duì)n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個(gè)相對(duì)價(jià)格與消費(fèi)者的實(shí)際收入。1861.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)?？怂狗纸馓娲?yīng)(SE)：在保持消費(fèi)者最大化效用不變前提下，相對(duì)價(jià)格變化所引起的需求量的變化。收入效應(yīng)(IE)：總效應(yīng)(TE)與替代效應(yīng)的差。TE=SE+IE187x1x2xhTEIESE1.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)1881.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)

Slutsky

方程收入效應(yīng)替代效應(yīng)189Slutsky方程對(duì)偶性

記：對(duì)偶性

Shepard引理

190Slutsky方程1911.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)是p的凹函數(shù)(支出函數(shù)性質(zhì)6)定理1-12：負(fù)的自替代效應(yīng)Shepard引理

1921.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoods1931.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoods194需求規(guī)律定理1-13:正常商品自身價(jià)格的下降將導(dǎo)致需求的增加。如果自身價(jià)格下降導(dǎo)致需求減少，那么該商品必定是劣質(zhì)商品。195IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.196Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGood1971.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1-14:對(duì)稱性替代項(xiàng)e(p,u)二次連續(xù)可微

Shepard引理

1981.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.15：負(fù)半定替代矩陣1991.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)是p的凹函數(shù)

負(fù)半定2001.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.16：負(fù)半定對(duì)稱斯勒茨基矩陣201Application定理1-10和1-16可用于對(duì)理論或?qū)嵶C模型進(jìn)行檢驗(yàn).消費(fèi)者需求滿足齊次性和預(yù)算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩陣必須是對(duì)稱的和負(fù)半定的要求,為實(shí)際估算馬歇爾需求方程組中參數(shù)的設(shè)定規(guī)定了一系列嚴(yán)格的限制(當(dāng)然,在這種情況下,消費(fèi)者必須是理性的價(jià)格接受者).2021.5.3彈性分析收入彈性價(jià)格彈性收入份額203消費(fèi)者需求的加總定理1-17:設(shè)x(p,y)是消費(fèi)者的馬歇爾需求,那么如下關(guān)系必須在收入份額,需求的價(jià)格彈性與收入彈性間成立:1.Engelaggregation:它說明收入份額加權(quán)的收入彈性之和為1.2.Cournotaggregation:它說明加權(quán)的自身需求價(jià)格彈性與交叉需求價(jià)格彈性總可以某種特殊方式加總.204恩格爾加總205古諾加總206Tosumup定理共同給出了一個(gè)有關(guān)效用最大化行為的邏輯含義的說明:齊次性告訴我們需求必將對(duì)等比例的價(jià)格與收入的同時(shí)變動(dòng)做出反響,預(yù)算平衡性那么要求需求耗盡消費(fèi)者的收入.斯勒茨基方程告訴我們,針對(duì)一般性的價(jià)格變化,需求的變化數(shù)量和方向?qū)⒃鯓?它還考察了那些不可觀測(cè)到的需求變化是如何具體影響需求總量,從而使需求量表現(xiàn)為我們最終觀測(cè)到的實(shí)際變化).最后,加總關(guān)系提供了有關(guān)需求量如何在整個(gè)需求函數(shù)方程組中被“放到一起〞的技巧.207作業(yè)29、38、45、46、50、54、60、62、63208Ch2消費(fèi)者理論專題數(shù)學(xué)根底超平面〔hyperplane〕ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.210歐拉定理當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立時(shí)，f(x)是k次齊次性的:211Ch2對(duì)偶性可積性顯示偏好不確定性2122.1對(duì)偶性－深入分析偏好EMPUMP2132.1.1支出與偏好

它可能是、也可能不是一個(gè)支出函數(shù)。滿足什么條件時(shí)是支出函數(shù)？從消費(fèi)者的支出行為能否復(fù)原其偏好關(guān)系？在前面一章，我們的支出函數(shù)構(gòu)造思路是：效用函數(shù)→EMP→支出函數(shù)而在本章我們的思路正相反：支出函數(shù)→效用函數(shù)214定理1.7：支出函數(shù)的性質(zhì)1.在連續(xù)2.對(duì),是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無(wú)上界。3.是價(jià)格的遞增函數(shù)。4.是價(jià)格的凹函數(shù)5.是價(jià)格的一次齊次函數(shù)215命題1：〔本節(jié)所要說明的問題〕如果E(p,u)滿足定理1.7：1-5性質(zhì)，那么它就是某一偏好的支出函數(shù)。換言之，與此支出函數(shù)相對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)必然存在。等價(jià)提法：能夠構(gòu)造一個(gè)效用函數(shù)u(·)，使得E(p,u)正好是該效用函數(shù)下的支出函數(shù)。思路：構(gòu)造一個(gè)函數(shù)證明它是效用函數(shù)2162.1.1支出與偏好偏好EMPUMP根據(jù)支出行為，能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系217

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是這樣的消費(fèi)組合集合，它在任何價(jià)格水平下都能滿足px>E(p,u0)218XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*219先構(gòu)造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)根底上構(gòu)造u(·)220效用函數(shù)的構(gòu)造給定令超平面：221效用函數(shù)的構(gòu)造—p0·x是x的連續(xù)函數(shù)

A(p0,u0)是閉集—p0·x是x的線性函數(shù)所有在價(jià)格p0下能夠到達(dá)u0的消費(fèi)束都在A(p0,u0)內(nèi)，據(jù)此我們有：

A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)222效用函數(shù)的構(gòu)造存在一條未知的無(wú)差異曲線～(u0)，在價(jià)格p0下，剛好與該預(yù)算線相切.問題：如何通過A(p0,u0)找出無(wú)差異曲線u0？223效用函數(shù)的構(gòu)造我們可以把在不同價(jià)格水平下的所有與該無(wú)差異曲線相切的預(yù)算線劃出來當(dāng)p=p1時(shí)A(u0)A(p1,u0)224效用函數(shù)的構(gòu)造無(wú)差異集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它們的交集中。－－所有能夠至少產(chǎn)生效用水平u0的消費(fèi)組合記為式2-1A(p,u0)是閉集

A(u0)是閉集225效用函數(shù)的構(gòu)造E(p,u)是u的遞增函數(shù)A(u)的遞增性226效用函數(shù)的構(gòu)造給定消費(fèi)組合x，其效用水平？如果那么x至少能夠到達(dá)那么x不可能到達(dá)記：227定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，A(u)是根據(jù)2.1式定義，那么函數(shù)是與E(p,u)相對(duì)應(yīng)的效用函數(shù),它是一個(gè)遞增、無(wú)上界的擬凹函數(shù)。228證明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空閉集遞增、無(wú)上界、擬凹

——具有效用函數(shù)的性質(zhì)229是u的連續(xù)函數(shù)最大值存在性是閉集1.1、B(x)是閉集證明：230E(p,u)無(wú)上界，是u的遞增函數(shù)

B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空存在上確界1.2、B(x)是存在上界證明231最大值存在性存在上確界閉集具有良好定義232

遞增性233無(wú)上界假設(shè)存在上界，則一定有上確界都有即我們需要證明證明234給定是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù),根據(jù)定理A2.4

無(wú)上界證明235設(shè)即無(wú)上界236擬凹給定記證明237定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，u(x)是根據(jù)定理2.1構(gòu)造的效用函數(shù)，那么238定理2.2：證明給定設(shè)滿足定義

給定239定理2.2：證明是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù)(根據(jù)定理A2-4)

240定理2.2：證明設(shè)241結(jié)論定理2-1和2-2告訴我們,在任何時(shí)刻,我們可寫出滿足定理1-7性質(zhì)的關(guān)于價(jià)格與效用的函數(shù),對(duì)于滿足一般公理的偏好而言,該函數(shù)將是一個(gè)合理的支出函數(shù).我們可由一個(gè)直接效用函數(shù)出發(fā),通過求解適宜的最優(yōu)化問題以求出?？怂剐枨蠡蝰R歇爾需求函數(shù);也可由一個(gè)支出函數(shù)出發(fā),經(jīng)由相反的路線及簡(jiǎn)單積分的方法來獲得消費(fèi)者需求方程.而后者在真實(shí)世界里實(shí)用性更強(qiáng).2422.1.2凸性與單調(diào)性凸性、單調(diào)性假設(shè)是對(duì)個(gè)人偏好很強(qiáng)的假設(shè)，如果需求理論需要依賴很強(qiáng)的假設(shè)，那么無(wú)疑會(huì)限制該理論的應(yīng)用。——是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一塊心病2432.1.2凸性與單調(diào)性只是技術(shù)性假設(shè)，理論的預(yù)測(cè)并不會(huì)因?yàn)橐脒@兩個(gè)假設(shè)而改變。即：非凸、非單調(diào)性偏好下的最優(yōu)選擇一定也是單調(diào)、凸偏好下的最優(yōu)選擇。244構(gòu)造的凸化和單調(diào)化偏好連續(xù)具有良好定義,而且連續(xù)

——遞增、擬凹〔定理2.1的證明〕根據(jù)構(gòu)造函數(shù):245與關(guān)系

246〔擬凹〕:凸集

與關(guān)系

247I、如果是遞增的擬凹函數(shù)是閉凸集——無(wú)差異曲線上的任意消費(fèi)束，都存在一個(gè)正的價(jià)格向量，使其成為本錢最小化選擇248I、如果是遞增的擬凹函數(shù)支撐超平面定理

（分離超平面定理）是閉凸集使得都有：249I、如果遞增的擬凹函數(shù)是u的遞增函數(shù)任何大于u的值都不屬于B(x0)250I、如果遞增的擬凹函數(shù)251II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)無(wú)差異曲線上，x0~x1,以及x2~x3,上的消費(fèi)束都存在嚴(yán)格為正的價(jià)格，使其成為本錢最小化的最優(yōu)選擇。x3x0x2x1而且對(duì)于x1,x2252II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)不是擬凹函數(shù)即有(e(p,u)遞增性)因?yàn)?53x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0x3254x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0非遞增性

x3255II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)2.1.2凸性與單調(diào)性2562.1.3間接效用與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數(shù)能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系257直接效用函數(shù)的構(gòu)造如果有258定理2.3在上擬凹而且可微，一階偏導(dǎo)嚴(yán)格為正，那么間接效用函數(shù)在上取得最小值，并且有：〔T1〕259定理2.3:證明令給定

2602.1.3間接效用與偏好如果函數(shù)滿足定理1.6中的性質(zhì)，那么該函數(shù)就是一個(gè)間接效用函數(shù)，而且根據(jù)〔T1〕所構(gòu)造的函數(shù)就是產(chǎn)生該間接效用函數(shù)的直接效用函數(shù)。2612.1.3間接效用與偏好0次齊次

其中262例263反需求函數(shù)定理2.4設(shè)u(x)是消費(fèi)者的效用函數(shù)，那么商品i的反需求函數(shù)為264證明包絡(luò)定理：265例：求反需求函數(shù)266Ch2消費(fèi)者理論專題Lecture2可積性與顯示偏好2.2可積性如何從可觀察的需求行為恢復(fù)產(chǎn)生該需求的效用函數(shù)？

2682.2可積性偏好EMPUMP2692.2可積性需求函數(shù)應(yīng)該滿足那些條件？-零次齊次性、預(yù)算平衡性、對(duì)稱性與負(fù)半定性，以及相伴隨的古諾加總和恩格爾加總。-根據(jù)定理1-17，加總結(jié)論直接來自預(yù)算平衡性。-零次齊次性可由預(yù)算平衡性與對(duì)稱性所蘊(yùn)涵。270定理2-5定理2-5：如果x(p,y)滿足預(yù)算平衡性并且其斯勒斯基矩陣是對(duì)稱的,那么它對(duì)p與y就是零次齊次的。證明：略271總結(jié)如果x(p,y)是需求函數(shù)的一個(gè)效用最大化的方程組,那么,我們可以對(duì)已發(fā)現(xiàn)的可觀察行為含義做如下總結(jié):預(yù)算平衡性:p?x(p,y)=y負(fù)半定性:相關(guān)的斯勒斯基矩陣s(p,y)是負(fù)半定的.對(duì)稱性:s(p,y)是對(duì)稱的.272定理2.6可積性定理定理2.6:一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)當(dāng)其滿足預(yù)算平衡性、對(duì)稱性和負(fù)半定性時(shí)，它就是由一些遞增、擬凹的效用函數(shù)產(chǎn)生的需求函數(shù)。該結(jié)論并且只在效用是連續(xù)的、嚴(yán)格遞增的且嚴(yán)格擬凹的條件下成立。證明：略一個(gè)有用的引理:對(duì)偶性+Shepardlemma273例題2-3存在三種物品并設(shè)消費(fèi)者的需求行為由如下函數(shù)表達(dá)，求其支出函數(shù)。274首先，檢查x(p,y)滿足預(yù)算平衡性、對(duì)稱性與負(fù)半定性,依據(jù)定理2-6，x(p,y)必是由效用函數(shù)生成的.根據(jù)定理2-6的引理〔P.1〕我們的任務(wù)在于尋找出,它求解出以下偏微分方程組:275注意到上式可被改寫為:于是有:276進(jìn)一步,于是,由于必須確保e(p,y)關(guān)于u是嚴(yán)格遞增的,只要我們能保證c(u)嚴(yán)格遞增,所得函數(shù)就是我們要求的支出函數(shù),可以方便地設(shè)c(u)=u.我們的最終解就是2772.3顯示偏好分析的思路對(duì)偏好進(jìn)行公理化假設(shè)最大化行為消費(fèi)者行為觀察和預(yù)測(cè)(前面各章節(jié)的思路)可觀察的選擇出發(fā)分析消費(fèi)行為Samuelson〔1947〕消費(fèi)者選擇消費(fèi)束A而非B,說明消費(fèi)者更偏好于A,消費(fèi)者的實(shí)際選擇行為傳遞著關(guān)于消費(fèi)者偏好的信息.278直接顯示偏好設(shè)是消費(fèi)者在收入為m的條件下根據(jù)價(jià)格所能購(gòu)置的任意商品束,是其實(shí)際購(gòu)置的商品束,如果該消費(fèi)者滿足預(yù)算平衡性,顯然有:于是有如果與是不同的消費(fèi)束,此時(shí)我們說是的直接顯示偏好.279顯示偏好原理設(shè)是價(jià)格在時(shí)被選擇的商品束,是使得成立的另一個(gè)商品束.在這種情況下,如消費(fèi)者總是在他能夠購(gòu)置的商品束中選擇他最偏好的商品束,那么我們有280間接顯示偏好與顯示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束的顯示偏好,即根據(jù)傳遞性假設(shè),我們有,在這種情況下,我們稱是的間接顯示偏好.如果一個(gè)商品束既是另一個(gè)商品束的直接顯示偏好,又是它的間接顯示偏好,那么我們就說第一個(gè)商品束是第二個(gè)商品束的顯示偏好.281AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1282恢復(fù)偏好通過觀察消費(fèi)者所作的選擇,我們可以獲知他的偏好,當(dāng)我們觀察的選擇越多時(shí),我們就能對(duì)消費(fèi)者的偏好作出越加準(zhǔn)確的估計(jì).充分利用顯示偏好的概念及關(guān)于偏好的假設(shè)干前提假設(shè),那么我們能準(zhǔn)確地畫出無(wú)差異曲線.283DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)284AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)285AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoA286顯示偏好的弱公理〔WARP〕如果對(duì)于每一對(duì)不同的消費(fèi)束與，消費(fèi)者在價(jià)格為時(shí)選擇，在價(jià)格為時(shí)選擇，那么，這個(gè)消費(fèi)者的選擇行為會(huì)滿足顯示偏好弱公理：換言之，當(dāng)是的顯示偏好，且從來不是的顯示偏好，那么，WARP成立。287一種更容易理解的表述WARP：如果是的直接顯示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接顯示偏好。復(fù)原到現(xiàn)實(shí)世界就是：如果在購(gòu)置商品束X時(shí)有能力購(gòu)置商品束Y，那么在購(gòu)置商品束Y時(shí)，商品束X就肯定是無(wú)力購(gòu)置的商品束。288顯示偏好弱公理x1x1x0x0289選擇函數(shù)選擇函數(shù)〔choicefunction〕假設(shè)1：稱x1直接顯示偏好于x2，如果有記為：2900次齊次設(shè)〔預(yù)算平衡〕〔WARP〕if291斯勒茨基補(bǔ)償當(dāng)價(jià)格變化后，調(diào)整收入，使其剛好買得起原來的消費(fèi)束?！瞁ARP〕〔2-5〕292如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付時(shí)被選擇，WARP意味著每當(dāng)被選擇時(shí)都是支付不起的，因此上式不等號(hào)是嚴(yán)格的。根據(jù)預(yù)算平衡有：〔2-6〕〔2-6〕-〔2-5〕得〔2-7〕：

293令294斯勒茨基補(bǔ)償需求295斯勒茨基補(bǔ)償需求296斯勒茨基補(bǔ)償需求都成立負(fù)半定297總結(jié)至此我們已證明，一旦選擇函數(shù)滿足WARP和預(yù)算平衡性，那么它必定滿足由效用最大化所蘊(yùn)涵的兩個(gè)特性，即零次齊次性與斯勒斯基矩陣的負(fù)半定性。如果我們能進(jìn)一步證明選擇函數(shù)的斯勒司基矩陣是對(duì)稱的，那么，依據(jù)可積分性結(jié)論，選擇函數(shù)實(shí)際上就是需求函數(shù)，由此即可構(gòu)建產(chǎn)生該需求函數(shù)的效用函數(shù)。298兩物品情況我們已證，滿足WARP和預(yù)算平衡的選擇函數(shù)具有：0次齊次負(fù)半定替代矩陣兩物品的條件下，0次齊次和負(fù)半定性就意味著對(duì)稱性，因此，此時(shí)選擇函數(shù)必定是由效用最大化產(chǎn)生的。299兩物品情況反過來看，從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP。設(shè)效用最大化的消費(fèi)者具備了嚴(yán)格單調(diào)且嚴(yán)格凸的偏好，那么，在每一個(gè)價(jià)格集上將存在唯一的需求束，該需求束正好用盡消費(fèi)者的收入。在價(jià)格為時(shí)令最大化其效用，價(jià)格為時(shí)最大化其效用，并設(shè)。由于是可支付但沒被選擇的消費(fèi)束，因此必定有。因此，當(dāng)在價(jià)格為時(shí)被選擇，此時(shí)必定是不可獲得的：因此，，WARP于是得到滿足。300兩物品以上情況超過兩物品的情況，由于WARP與預(yù)算平衡性不意味著斯勒斯基矩陣的對(duì)稱性，因此，對(duì)于兩種物品以上的情形，WARP與預(yù)算平衡并不等價(jià)于效用最大化假說。301可見從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP但滿足WARP的選擇不一定是效用最大化的選擇這導(dǎo)致這樣一個(gè)問題：如何強(qiáng)化WARP，才能使它等價(jià)于效用最大化理論。由于斯勒斯基矩陣的對(duì)稱性與消費(fèi)者偏好的可傳遞性之間存在密切關(guān)系〔定理1-14的證明〕，我們只要確定消費(fèi)者偏好是可傳遞的，那么對(duì)稱性就能得到滿足，進(jìn)而，效用最大化假說也就能夠?qū)崿F(xiàn)。這就是我們要尋找的WARP的附加條件。302顯示偏好的強(qiáng)公理〔SARP〕SARP：如果對(duì)于每個(gè)不同消費(fèi)束的序列，是的顯示偏好，是的顯示偏好，……，是的顯示偏好，同時(shí)不存在是的顯示偏好，那么我們說SARP被滿足。SARP〔一種更簡(jiǎn)單的表達(dá)〕：如果是的顯示偏好〔直接或間接〕，且與不同，那么不可能是的直接或間接顯示偏好303SARP如果消費(fèi)者選擇行為滿足SARP，那么其行為等價(jià)于效用最大化行為?；蚩梢詮臐M足SARP的選擇行為恢復(fù)消費(fèi)者的偏好關(guān)系。簡(jiǎn)單地說，建立在SARP上的需求理論，根本上等價(jià)于建立在效用最大化根底上的需求理論。SARP是使我們觀察到的選擇同消費(fèi)者選擇的經(jīng)濟(jì)模型相容的充分必要條件。但不能據(jù)此聲言構(gòu)成的偏好實(shí)際上產(chǎn)生了觀察到的選擇。如一切科學(xué)判斷一樣，我們只能證明觀察到的行為同判斷并非不相容。只在我們窮極一切可能使觀察到的行為到達(dá)無(wú)限多的時(shí)候，上述觀點(diǎn)才能成立。因此，我們不能證明經(jīng)濟(jì)模型是否正確，而只能決定模型的內(nèi)涵，并判定觀察到的選擇是否同這些內(nèi)涵相容。304顯示偏好的一般公理〔GARP〕如上所述，由于真實(shí)世界不存在無(wú)限多的可觀察行為，因此更切實(shí)的工作是當(dāng)可觀察事物為有限時(shí)出現(xiàn)的問題。GARP——Afriat(1976)：當(dāng)且僅當(dāng)只存在一個(gè)局部非飽和的、連續(xù)的、遞增的與凹的效用函數(shù)，那么，可觀察的價(jià)格與數(shù)量資料的有限集合將滿足GARP。GARP為在有限數(shù)據(jù)根底上恢復(fù)偏好關(guān)系提供了方法。其缺陷是非唯一性。305Ch2消費(fèi)者理論專題Lecture3不確定性prologue以上各章節(jié)的內(nèi)容都是假設(shè)決策者在一個(gè)絕對(duì)確定的世界里行動(dòng)的，他了解所有物品的價(jià)格，并知道任何可行的消費(fèi)束可確定地獲得。然而，在真實(shí)世界里經(jīng)濟(jì)個(gè)體并不總是會(huì)有這樣的好運(yùn)氣，許多經(jīng)濟(jì)決策包含著或多或少的不確定性因素。在這種情況下，即使決策者可以知道不同結(jié)果的概率，決策的最終結(jié)果直至其發(fā)生前仍是不能了解的。因此，不確定性因素的引入是經(jīng)濟(jì)模型對(duì)真實(shí)世界的一大修正。307內(nèi)容偏好期望效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡3082.4.1偏好選擇集選擇對(duì)象：賭局〔gamble、lottery〕其結(jié)果不確定可描述性：結(jié)果集概率分布3092.4.1偏好選擇集簡(jiǎn)單賭局：每一個(gè)狀態(tài)下都是確定的結(jié)果簡(jiǎn)單賭局集3102.4.1偏好選擇集復(fù)合賭局假設(shè)干狀態(tài)下的結(jié)果仍然是一個(gè)賭局3112.4.1偏好賭局集偏好定義在賭局空間上的消費(fèi)者偏好312不確定下的選擇公理公理1：完備性公理2：傳遞性313不確定下的選擇公理G1＋G2結(jié)果集內(nèi)所有結(jié)果可以根據(jù)偏好序進(jìn)行完整的排序：公理3：連續(xù)性314不確定下的選擇公理公理3：連續(xù)性——是閉集315不確定下的選擇公理公理4:單調(diào)性含義：以較高概率獲得最好結(jié)果的賭局將更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危險(xiǎn)反而比絕對(duì)平安好，盡管百分之百死亡是絕對(duì)厭惡的。316不確定下的選擇公理公理5：替代性含義：如果斷策者對(duì)兩個(gè)賭局中任何給出的結(jié)果無(wú)差異，并且每個(gè)賭局的結(jié)果會(huì)以同樣的概率出現(xiàn)，那么這兩個(gè)賭局無(wú)差異。如果那么就有317復(fù)合賭局的有效概率例：設(shè)A={a1,a2}，復(fù)合賭局形式：〔1〕以概率α獲得結(jié)果a1；〔2〕以概率〔1-α〕獲得彩票券，彩票券以概率β獲得結(jié)果a1，以概率〔1-β〕獲得結(jié)果a2。實(shí)際上結(jié)果為a1的有效概率是多少？a1將以兩種互相排斥的方式形成：作為復(fù)合賭局的直接結(jié)果出現(xiàn)或作為一張彩票券出現(xiàn)。因此結(jié)果為a1的有效概率為α+(1-α)β；a2的有效概率為(1-α)(1-β)。人們?cè)诳紤]所進(jìn)行的賭局時(shí)只考慮有效概率，因此對(duì)復(fù)合賭局和由該復(fù)合賭局引致的簡(jiǎn)單賭局無(wú)差異。318不確定下的選擇公理簡(jiǎn)單賭局與復(fù)合賭局——復(fù)合賭局g的簡(jiǎn)化賭局形式319不確定下的選擇公理公理6：如果是g的簡(jiǎn)化賭局，那么一定有3202.4.2馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用效用函數(shù)如果偏好關(guān)系滿足G1、G2、G3，那么存在效用函數(shù)：表示該偏好關(guān)系。3212.4.2期望效用定理期望效用性質(zhì)稱效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)，如果都有其中是g的簡(jiǎn)化賭局3222.4.2期望效用定理馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用函數(shù)如果效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)，那么稱其為VNM效用函數(shù)323定理2.7VNM效用函數(shù)存在性在上的偏好關(guān)系，如果滿足公理G1－G6，那么就存在具有期望效用性質(zhì)的效用函數(shù)表示該偏好。324證明單調(diào)性假設(shè)不唯一，設(shè)存在都滿足〔1〕式，所以有連續(xù)性給定，使得唯一〔1〕任意，一定有，令單調(diào)性

(2)——與(2)式矛盾假設(shè)不成立325證明連續(xù)性

使得單調(diào)性唯一假設(shè)不唯一，設(shè)存在都滿足〔1〕式，所以有任意，一定有，令單調(diào)性

(2)——與(2)式矛盾假設(shè)不成立(1)326證明定義：需要證明是能夠表示偏好關(guān)系的效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)其中滿足327證明：1、是表示偏好關(guān)系的效用函數(shù)因此，當(dāng)且僅當(dāng)，u代表G上的偏好關(guān)系時(shí)，有如果有那么傳遞性公理

單調(diào)性公理

328證明：2、具有期望效用性質(zhì)我們要證的是：效用函數(shù)定義存在唯一的u(ai)使得替代性公理令329證明：簡(jiǎn)化公理定義：330定理2-7的說明如果個(gè)人賭局偏好滿足公理1-6，那么可給賭局A中的每一個(gè)結(jié)果〔子賭局〕分配一個(gè)效用數(shù)值，使得當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)子賭局的預(yù)期效用大于另一個(gè)子賭局時(shí)個(gè)人才更偏好于前面那個(gè)子賭局。定理2-7的證明還給我們提供了一個(gè)實(shí)際上如何構(gòu)建具有預(yù)期效用函數(shù)特性的效用函數(shù)的流程。要決定任何確定性結(jié)果的效用，我們只須求得個(gè)人最好結(jié)果〔使她在優(yōu)劣賭局〔〕和確定性結(jié)果之間無(wú)差異〕的概率。采取相同的步驟，我們于是可以計(jì)算由賭局A產(chǎn)生的任何結(jié)果的預(yù)期效用。并且，如果該個(gè)人的偏好滿足公理1-6，我們還能保證所獲得的效用函數(shù)代表了她的偏好。331Allais悖論反例：Allais悖論〔1953〕三種可能的結(jié)果：2,500,000元、500,000元、0元332Allais悖論在實(shí)際選擇中，有相當(dāng)比例