生活中的優(yōu)化問題舉例 教案

生活中的優(yōu)化問題舉例一、教學目標1．知識和技能目標

（1）使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用；（2）提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力．2．過程和方法目標

（1）培養(yǎng)學生主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力；

3．情感態(tài)度和價值觀目標

(1)進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識。二、教學重點.難點教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法.用導數(shù)方法求函數(shù)最值的方法步驟教學難點：對最值的理解及與極值概念的區(qū)別與聯(lián)系.求一些實際問題的最大值與最小值三、學情分析生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．四、教學方法師生互動探究式教學五、教學過程導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案知識應用，深化理解例1．海報版面尺寸的設計學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最??？解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為。求導數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當時，<0；當時，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：（1）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是令解得（舍去）當時，；當時，．當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時，它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．（1）半徑為cm時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．（2）半徑為cm時，利潤最大．換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值．當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm時，利潤最?。?．磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．（1）是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2）為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量×（1）它是一個關于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．（2）為求的最大值，計算．令，解得當時，；當時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省七、當堂檢測1.某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm2，上、下要留空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應選用怎樣尺寸的頁面？分析：設所印文字區(qū)域的左右長為xcm，確定紙張的長與寬，表示出面積，利用導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．設所印文字區(qū)域的左右長為xcm，則上下長為cm，所以紙張的左右長為(x+2)cm，上下長為()cm，所以紙張的面積S=(x+2)()=3x++156．所以S′=，令S′=0解得x=10．當x＞10時，S單調(diào)遞增；當0＜x＜10時，S單調(diào)遞減．所以當x=10時，Smin=216(cm2)，此時紙張的左右長為12cm，上下長為18cm．故當紙張的邊長分別為12cm，18cm時最節(jié)約．2.一書店預計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？【解】假設每次進書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當x＝15時，y取得極小值，且極小值唯一，故當x＝15時，y取