2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第23講存在性問(wèn)題探究含解析

第23講存在性問(wèn)題探究所謂存在性問(wèn)題是指圓錐曲線中存在某個(gè)量（點(diǎn)、線或參數(shù)等）使得某個(gè)幾何關(guān)系成立，這種問(wèn)題有兩種?？碱}型：題型一：存在點(diǎn)或者參數(shù)，使得某個(gè)量為定值．解題思路：這類問(wèn)題的解題思路是運(yùn)用參數(shù)無(wú)關(guān)性來(lái)消參，即存在某點(diǎn)使得某個(gè)量和所設(shè)的參數(shù)無(wú)關(guān)，從而得到定值．題型二：存在點(diǎn)在曲線上．解題思路：設(shè)出點(diǎn)，帶錐曲線方程，看方程是否有解．解決存在性問(wèn)題的一些技巧：（1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論．若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在．存在點(diǎn)使向量點(diǎn)積為定值【例1】過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，可設(shè)直線的方程為：，，．聯(lián)立，整理得，則，．假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.(為定值),這時(shí),(2)當(dāng)直線與軸重合時(shí),此時(shí),滿足題意.∴存在定點(diǎn),使得對(duì)于經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線均有(恒為定值).存在點(diǎn)使斜率的和或積為定值【例1】設(shè)直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn),試問(wèn):在軸上是否存在點(diǎn),使得直線與直線的斜率的和為定值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】若存在滿足條件的點(diǎn).(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè).聯(lián)立,消得.設(shè),則 ∴要使對(duì)任意實(shí)數(shù)為定值,則只有,此時(shí),.(2)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),若,也有.故在軸上存在點(diǎn),使得直線與直線的斜率的和為定值0.【例2】過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為非零常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】依題意可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得∴,,則,.假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零常數(shù),則要使為非零常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),解得,時(shí),.時(shí),.∴存在兩個(gè)定點(diǎn)和,使直線的斜率之積為常數(shù).當(dāng)定點(diǎn)為時(shí),直線的斜率之積為常數(shù).當(dāng)定，點(diǎn)為時(shí),直線的斜率乘積是.存在點(diǎn)使角度相等【例】1設(shè)過(guò)橢圓:右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在與點(diǎn)不重合的定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】假設(shè)存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立,設(shè),且,,則即整理得.設(shè)直線.聯(lián)立,消去,整理得.,∴.∵.∴∴存在與不重合的定，點(diǎn),使得恒成立,且，點(diǎn)坐標(biāo)為【例2】過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)使得為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)當(dāng)直線非軸時(shí),可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得,整理得.由1),設(shè),定點(diǎn)且,由韋達(dá)定理可得,.由,可知等價(jià)于,的斜率互為相反數(shù).,即,整理得.從而可得.,即,∴當(dāng),即時(shí),(2)當(dāng)直線為軸時(shí),也符合題意.綜上,存在軸上的定點(diǎn),滿足.存在點(diǎn)使等式恒成立【例1】過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),問(wèn)橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出直線的方程.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,聯(lián)立,得,或.則點(diǎn)或故此時(shí)橢圓上不存在這樣的點(diǎn).(2)當(dāng)直線的斜率時(shí),此時(shí)橢圓上不存在符合題意的點(diǎn),.(3)當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè),點(diǎn).,直線的方程為.聯(lián)立,消去得,故.則.則點(diǎn).又點(diǎn)在橢圓上,則有,整理得,解得.∴橢圓上存在點(diǎn),使得,此時(shí)直線的方程為.【例2】已知?jiǎng)又本€過(guò)橢圓右焦點(diǎn),且與橢圓分別交于兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn),使得.恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使得.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,,,由,解得或.(2)當(dāng)直線的?率為0時(shí),則,,由,解得或.由(1)(2)可得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)當(dāng)時(shí),恒成立.當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí),由(1)知結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)其方程為,.直線與橢圓方程聯(lián)立得.直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且.綜上所述，在軸上存在點(diǎn),使得恒成立.【例3】已知橢圓,過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),若直線的斜率存在,在線段上是否存在點(diǎn),使得,若存在,求出的范圍.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),直線的方程為,①又橢圓的方程為,②由①②可得,設(shè)的中點(diǎn)為,即.假設(shè)存在點(diǎn),使得,即在的中垂線上,則,解得.當(dāng)時(shí),為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),則,點(diǎn)與原點(diǎn)重合.當(dāng)時(shí),.綜上所述,存在點(diǎn)且.【例4】過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,問(wèn)曲線上是否存在一點(diǎn),使得恒成立?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).如果不存在,說(shuō)明理由.【解析】由題意兩點(diǎn)在拋物線上,設(shè)點(diǎn),點(diǎn).設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在,設(shè).若拋物線上的點(diǎn)滿足,則點(diǎn)在以為直徑的圓上.即.∴由題意即是恒成立,可得.∴,∴拋物線上存在點(diǎn),滿足【例】是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí),能在直線上找到一點(diǎn),在橢圓上找到一點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】設(shè)直線的方程為,設(shè),的中點(diǎn)為,聯(lián)立,消去得,且故且.由,知四邊形為平行四邊形.而點(diǎn),為線段的中點(diǎn),因此點(diǎn),為線段的中點(diǎn),可得,又,可得,因此點(diǎn),不在橢圓上,故不存在滿足題意的直線.存在性使線段關(guān)系式為定值【例1】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到直線的距離為,離心率為,拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合,斜率為的直線過(guò)的焦點(diǎn)與交于,與交于.(1)求橢圓及拋物線的方程.(2)是否存在常數(shù),使得為常數(shù)?若存在,求出的值.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)橢圓,拋物線的公共焦點(diǎn)為.∴橢圓.(2)設(shè)直線,.聯(lián)立聯(lián)立∵是焦點(diǎn)弦,若為常數(shù),則,【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí),弦的長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程.(2)是否存在點(diǎn),使得為定值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),并求出該定值.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)依題意可得,當(dāng)與軸垂直且為橢圓右焦點(diǎn)時(shí),為通徑.∴橢圓的方程為.(2)假設(shè)存在