第09講解三角形及其應(yīng)用舉例（解析卷）

第09講解三角形及其應(yīng)用舉例考試要求1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題．測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ1.下列結(jié)論正確的是()(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(2)若△ABC為銳角三角形且A＝eq\f(π,3)，則角B的取值范圍是.(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為【答案】A2．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置關(guān)系如圖，則燈塔A在燈塔B的北偏西10°.3.如圖所示，為測(cè)量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為()A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)mC．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得PB＝eq\f(ABsin30°,sin∠APB)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以該樹的高度為30(eq\r(6)＋eq\r(2))sin45°＝30eq\r(3)＋30(m)．4．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為________海里．答案6eq\r(6)解析如圖，設(shè)點(diǎn)A代表甲驅(qū)逐艦，點(diǎn)B代表乙護(hù)衛(wèi)艦，點(diǎn)C代表航母，則A＝75°，B＝45°，設(shè)甲乙距離x海里，即AB＝x，在△ABC中由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(12,sin45°)＝eq\f(x,sin60°)，解得x＝6eq\r(6).考點(diǎn)一解三角形的應(yīng)用舉例角度1距離問題例1（2023·江西景德鎮(zhèn)期末）江西浮梁地大物博，山清水秀．據(jù)悉某建筑公司在浮梁投資建設(shè)玻璃棧道、摩天輪等項(xiàng)目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè)，考察后覺得當(dāng)?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧道，現(xiàn)需要測(cè)量?jī)缮巾擬，N之間的距離供日后施工需要，特請(qǐng)昌飛公司派直升機(jī)輔助測(cè)量，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機(jī)測(cè)量的數(shù)據(jù)有在A處觀察山頂M，N的俯角為：α1＝60°，β1＝30°，在B處觀察山頂M，N的俯角為：α2＝45°，β2＝75°，飛機(jī)飛行的距離AB為500m，請(qǐng)問：用以上測(cè)得的數(shù)據(jù)能否計(jì)算出兩山頂間的距離MN，若能，請(qǐng)幫助該建筑公司求出MN，結(jié)果精確到1m，若不能，請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，67≈8.2，2.68≈1.64)解析：在△AMB中，由正弦定理得AM＝500sinα2sinα在△ABN中，由正弦定理得AN＝500sinβ2sinβ在△AMN中，由余弦定理得MN＝AM2＝5005?523≈5000.67≈測(cè)量距離問題的求解策略【對(duì)點(diǎn)演練1】為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10eq\r(3)km；基站A，B在江的北岸，測(cè)得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km答案D解析在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10eq\r(3)，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得BC＝eq\f(10\r(3)sin75°,sin60°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6)，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(10eq\r(3))2＋(5eq\r(2)＋5eq\r(6))2－2×10eq\r(3)×(5eq\r(2)＋5eq\r(6))cos75°＝500，所以AB＝10eq\r(5)，即基站A，B之間的距離為10eq\r(5)km.【對(duì)點(diǎn)演練2】(2023·重慶模擬)一個(gè)騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2eq\r(3)km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏西30°騎行了5km到達(dá)D地，則A地到D地的直線距離是()A．8kmB．3eq\r(7)kmC．3eq\r(3)kmD．5km答案B解析如圖，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，依題意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC)＝eq\r(4＋12＋8\r(3)×\f(\r(3),2))＝2eq\r(7)，由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(ABsin∠ABC,AC)＝eq\f(\r(7),14)，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－eq\f(\r(7),14)，由余弦定理得AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD)＝eq\r(28＋25＋2×2\r(7)×5×\f(\r(7),14))＝3eq\r(7)，所以A地到D地的直線距離是3eq\r(7)km.角度2高度問題例2(2023·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測(cè)得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h(yuǎn)約為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)答案C解析由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，在Rt△ABE中，AE＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(60,sin75°)，在△ACE中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ACE)＝eq\f(CE,sin∠CAE)，所以CE＝eq\f(20\r(6),sin75°)，所以CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(10\r(6),sin75°)，又sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以CD＝eq\f(40\r(6),\r(6)＋\r(2))＝60－20eq\r(3)≈60－20×1.73＝25.4(米)．測(cè)量物體高度的求解策略高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長(zhǎng)度)納入到一個(gè)三角形中，使用正、余弦定理或共他相關(guān)知識(shí)求出該高度．【對(duì)點(diǎn)演練1】[2023·湖北襄陽五中月考]如圖為2022年北京冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)示意圖，為測(cè)量大跳臺(tái)最高點(diǎn)P距地面的距離，小明同學(xué)在場(chǎng)館內(nèi)的點(diǎn)A測(cè)得P的仰角為30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60(單位：m)，(點(diǎn)A，B，O在同一水平地面上)，則大跳臺(tái)最高高度OP＝()A．45mB．452mC．60mD．603m解析：在△ABO中，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，所以∠AOB＝30°，又AB＝60，由正弦定理可得，ABsin∠AOB＝AO＝ABsin∠ABOsin∠AOB＝在Rt△APO中，tan30°＝OPAO＝OP603所以O(shè)P＝60(m)．故選C.答案：C【對(duì)點(diǎn)演練2】如圖，一座垂直建于地面的信號(hào)發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號(hào)塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計(jì)，則他的步行速度為（

）A． B． C． D．【解答】依題意，在中，，則m，在中，，則m，在中，，由余弦定理得：，即，解得m，即有，所以他的步行速度為.故選：D角度3角度問題例3（2023·山東東營(yíng)期末）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東15°方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東60°方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為60°，已知燈塔高為23km.(1)求巡邏船的航行速度；(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時(shí)燈塔底部C位于D處的南偏東什么方向？解析：(1)在Rt△BCP中，tan∠PBC＝PCBC，故BC在△ABC中，∠BCA＝180°－15°－120°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，解得從A到B共花20分鐘，故巡邏船的航行速度v＝6(3＋1)km/h.(2)在△BCD中，BC＝2，BD＝3＋1，∠DBC＝60°，由余弦定理可得CD＝6，在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC＝CBsin∠CDB，則sin∠而CD>CB，則∠CDB<∠DBC，故∠CDB＝π4所以此時(shí)燈塔底部C位于D處的南偏東45°方向．角度問題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．【對(duì)點(diǎn)演練1】一艘船航行到點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)得.故選：C.【對(duì)點(diǎn)演練2】(多選)某貨輪在A處測(cè)得燈塔B在北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，測(cè)得燈塔C在北偏西30°，距離為8eq\r(3)A處向正北航行到D處時(shí)，測(cè)得燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是16nmileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°答案AC解析由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12eq\r(6)，AC＝8eq\r(3)，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以AD＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)，故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝eq\r(AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD)，即CD＝eq\r(8\r(3)2＋242－2×8\r(3)×24×\f(\r(3),2))＝8eq\r(3)(nmile)，故B錯(cuò)誤；由B項(xiàng)解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，得D在燈塔B的北偏西60°，故D錯(cuò)誤．考點(diǎn)二解三角形中的最值和范圍問題例4(2023·九江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝－2absinC.(1)求角B；(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．解(1)∵eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝－2absinC，∴eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝－2acsinB，即eq\f(\r(3)a2＋c2－b2,2ac)＝－sinB，由余弦定理，得eq\r(3)cosB＝－sinB，∵cosB≠0，∴tanB＝－eq\r(3)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(2π,3).(2)方法一∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，∴eq\f(1,4)c2＋eq\f(1,2)accos

eq\f(2π,3)＋eq\f(1,4)a2＝4，即a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsin

eq\f(2π,3)≤eq\f(1,2)×16sin

eq\f(2π,3)＝4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，故△ABC面積的最大值為4eq\r(3).方法二在△ABD中，由余弦定理得c2＝22＋－2×2×eq\f(1,2)bcos∠ADB，即c2＝4＋eq\f(1,4)b2－2bcos∠ADB，①在△CBD中，由余弦定理得a2＝22＋－2×2×eq\f(1,2)bcos∠CDB，即a2＝4＋eq\f(1,4)b2－2bcos∠CDB，∵cos∠CDB＝cos(π－∠ADB)＝－cos∠ADB，∴a2＝4＋eq\f(1,4)b2＋2bcos∠ADB，②由①＋②得a2＋c2＝8＋eq\f(1,2)b2，③在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos

eq\f(2π,3)，即b2＝a2＋c2＋ac，代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsin

eq\f(2π,3)≤eq\f(1,2)×16sin

eq\f(2π,3)＝4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，故△ABC面積的最大值為4eq\r(3).方法三如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵CE∥AB，D為AC的中點(diǎn)，∴DE＝BD＝2，CE＝AB＝c，∠BCE＝eq\f(π,3)，BE＝4，在△BCE中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos∠BCE，即42＝a2＋c2－2accos

eq\f(π,3)，整理得a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsin

eq\f(2π,3)≤eq\f(1,2)×16sin

eq\f(2π,3)＝4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，故△ABC面積的最大值為4eq\r(3).解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．【對(duì)點(diǎn)演練1】在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則面積的取值范圍為______.【解答】因?yàn)?，所以，所以，所?，，且滿足，解得，由余弦定理得，所以，則.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)演練2】在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知，且，則銳角面積的取值范圍是______.【解答】依題意，銳角三角形中，，即，即.由正弦定理得，由于，所以.故，即，由于，所以，所以，.畫出三角形的圖象如下圖所示，其中，，由于三角形是銳角三角形，所以在線段內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），所以，即.所以.故答案為：例5已知的面積為，角所對(duì)的邊為．點(diǎn)為的內(nèi)心，且．(1)求的大??；(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍．【解答】（1）因?yàn)?，所以，即，可得，因?yàn)?，所以．?）設(shè)周長(zhǎng)為，，如圖所示，由（1）知，所以，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，，分別是，的平分線，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，可得周長(zhǎng)．【對(duì)點(diǎn)演練1】(2023·南京模擬)在①bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))＝eq\r(3)ccosB；②2S△ABC＝eq\r(3)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．(1)求角B；(2)在△ABC中，b＝2eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解(1)選擇條件①：即bsinC＝eq\r(3)ccosB，由正弦定理可得sinBsinC＝eq\r(3)sinCcosB，在△ABC中，B，C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0，所以sinB＝eq\r(3)cosB，且cosB≠0，即tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).選擇條件②：即2×eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)cacosB，即sinB＝eq\r(3)cosB，在△ABC中，B∈(0，π)，所以sinB≠0，則cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)知，B＝eq\f(π,3)，b＝2eq\r(3)，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos

eq\f(π,3)，所以12＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac得(a＋c)2－12＝3ac≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2，所以a＋c≤4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立，所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為6eq\r(3).例6．（2023春?道里區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，設(shè)的面積為，若不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由不等式恒成立得．，，，．．故選：．【對(duì)點(diǎn)演練】(2022·洛陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB＋sinC＝2sinA，則A的最大值為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,3)答案D解析因?yàn)閟inB＋sinC＝2sinA，則由正弦定理得b＋c＝2a.因?yàn)閎2＋c2≥eq\f(b＋c2,2)＝2a2，bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2＝a2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(a2,2bc)≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立，所以A的最大值為eq\f(π,3).1．一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后到達(dá)海島B，然后再?gòu)暮uB出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行16海里后到達(dá)海島C，若游船從海島A出發(fā)沿直線到達(dá)海島C，則航行的路程為()A．12海里 B．8eq\r(7)海里C．8eq\r(5－2\r(3))海里 D．8eq\r(3)海里答案D解析根據(jù)題意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝82＋162－2×8×16×eq\f(1,2)＝192，∴AC＝8eq\r(3)海里．2．(2023·瀘州模擬)如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過420s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，則BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))(m)，因?yàn)镃D⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350(m)，所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m)．3．(2023·福州模擬)我國(guó)無人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝eq\f(1,3).已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PD的長(zhǎng)度是()A.eq\r(2)km B．2kmC.eq\r(3)km D．4km答案B解析方法一由題意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設(shè)PD＝x，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，∴tanα＝eq\f(x,2)，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝eq\f(x－\f(x,2),1＋x·\f(x,2))＝eq\f(x,x2＋2)＝eq\f(1,3)，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.方法二由題意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設(shè)PA＝x，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝eq\f(1,3)，可得cos∠BPC＝eq\f(3\r(10),10)，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2eq\r(x2＋5)·eq\r(x2＋2)·eq\f(3\r(10),10)，解得x2＝3，進(jìn)而PD＝eq\r(x2＋1)＝2.4．（2023?泰州模擬）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上，兩點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，且在點(diǎn)的同側(cè)．若在，處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60【解答】解：如圖，設(shè)球的半徑為，則，，，，故選：．5．（2023?柳州模擬）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，則面積的最大值為A． B． C． D．6【解答】解：中，，，由正弦定理得，所以，，故，因?yàn)椋?，所以，，所以面積的最大值為．故選：．6．（2023春?泉州期中）為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)，間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)，處分別測(cè)得，，，，則，間的距離為A． B．2 C． D．4【解答】解：因?yàn)?，，所以是正三角形，所以，因?yàn)橹?，，，所以，利用正弦定理得，，中，，所以，所以，即、間的距離為．故選：．7．(2023·德陽模擬)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且b＝2asinB,則cosB＋sinC的取值范圍為()A．(0，eq\r(3)] B．(1，eq\r(3)]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))答案C解析依題意b＝2asinB，由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinA＝eq\f(1,2)，由于△ABC是銳角三角形，所以A＝eq\f(π,6)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B>\f(π,2)，,0<B<\f(π,2)))?eq\f(π,3)<B<eq\f(π,2).所以cosB＋sinC＝cosB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－B))＝cosB＋eq\f(1,2)cosB＋eq\f(\r(3),2)sinB＝eq\f(3,2)cosB＋eq\f(\r(3),2)sinB＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))，由于eq\f(2π,3)<B＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，所以eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).8．（2023春?工農(nóng)區(qū)校級(jí)月考）花戲樓位于亳州城北關(guān)，渦水南岸，是國(guó)家級(jí)點(diǎn)文物保護(hù)單位．花戲樓始于清順治十三年（公元1656年），是一座演戲的舞臺(tái)，因戲樓遍布戲文，彩繪鮮麗，俗稱花戲樓．它的正門前有兩根鐵旗桿，每根重12000斤，旗桿高16米多，直插碧空白云間，是花戲樓景點(diǎn)的一絕．我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量旗桿的高度，選取與旗桿底部（點(diǎn)在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)與，，不在同一直線上），如圖，興趣小組可以測(cè)量的數(shù)據(jù)有：，，，，，，，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出旗桿的高度的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【解答】解：對(duì)于，中，由、、，利用正弦定理求出，再利用，即可求出的高度，選項(xiàng)正確；對(duì)于，在，都只有一邊一角，不能求出其它角或邊，無法求解的高度，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，中，由、、，利用正弦定理求，再利用，即可求出的高度，選項(xiàng)正確；對(duì)于，△由，可得，，結(jié)合，以及正弦定理求出，再結(jié)合，求出的高度，選項(xiàng)正確．故選：．9．（2023春?朝陽區(qū)校級(jí)月考）需要測(cè)量某塔的高度，選取與塔底在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高為米【解答】解：因?yàn)樵谥?，，，米，所以，由正弦定理得，即，解得（米，在中，，所以，即塔高（米．故答案為：?0．(2022·六安模擬)在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，ccosB＋(2a＋b)cosC＝0，若△ABC的外接圓面積為π，則△ABC周長(zhǎng)的最大值是________．答案2＋eq\r(3)解析ccosB＋(2a＋b)cosC＝0，由正弦定理得sinCcosB＋(2sinA＋sinB)cosC＝0，即sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，所以sin(B＋C)＋2sinAcosC＝0，即sinA(1＋2cosC)＝0，因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosC＝－eq\f(1,2)，因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3)，因?yàn)椤鰽B