高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換本章復(fù)習(xí)教案蘇教版必修4課件

第三章三角恒等變知識(shí)網(wǎng)教學(xué)分學(xué)完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一三維目通過(guò)復(fù)習(xí)全章知識(shí)方法，掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．掌握簡(jiǎn)單的三角恒等變換的基本思想方法，并結(jié)合向量解決一些基本的綜合問(wèn)題通過(guò)三角恒等變換體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性的特征，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的化歸思想、方程思培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法，培養(yǎng)他們勇于探索創(chuàng)新的精神，磨練學(xué)生的意志．重點(diǎn)難教學(xué)重點(diǎn)：和角公式、差角公式、倍角公式及其靈活應(yīng)用課時(shí)安排21導(dǎo)入新思路1.(直接導(dǎo)入)在第一章三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們又一起探究學(xué)習(xí)了第3章三角恒等變換的有關(guān)知識(shí)并掌握了一定的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法提高了我們的思維能力出本章的知識(shí)框圖，由此進(jìn)入復(fù)習(xí)．思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)本章學(xué)習(xí)了幾個(gè)公式？推導(dǎo)這些公式的過(guò)程中你用到了哪些基本數(shù)學(xué)思想方法？你是從哪幾個(gè)基本方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特點(diǎn)的？它們之間存在著怎樣的邏輯關(guān)系？三角式的變換與代數(shù)式的變換有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)對(duì)提高三角恒等變換的能力有什么幫助？通過(guò)學(xué)生解決這些問(wèn)題展開(kāi)全章的復(fù)習(xí)．推進(jìn)新知識(shí)鞏本章的公式關(guān)系見(jiàn)下表和和差正、余弦公和差正切公二倍角公萬(wàn)能公cos(α－βcosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝sin2ααcosαcosβsinαsinβsin(α＋β)＝tan(α＋βtanα＋tanβ1－tanαtan(α－βtanα－tanβ1＋tanα2sinαtan2cos2α＝cosα＝2cos2α2sinα 2cosα2sinαcosβtanα cosαsin(α－βsinαcosβ－cosαsinβ運(yùn)算能力教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)常見(jiàn)的變換有()公式變換tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(－tanαtanβtanαtanβ＝－tanαtanα

tanα α，＝tantan α＋cos2α＝2cos2αcos2α＝2sin2α(2)α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β＝ π π－π＝

)π ππ－α； ＝ (還需熟練； ＝ ( 如：sinx±cosx＝2sin(x±)，sinx±3cosx＝2sin(x±3)等(2應(yīng)用示例()化簡(jiǎn)(2)已知

sin2αcosα－sinα的值為銳角，且

＝

sin2α2(1(2解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－ tan30°－A＋tan60°－A1－tan30°－Atan60°－A，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)sn 2cos2α2snαcosαsn 2cos2α2snαcosα

(2)

2snαcosα

＝2cosαcos2α

α＝cosαsn2α＋cos2α2cosα.∵tan＝

＝

2sn2αcosα－sn2 sn2α 歸等數(shù)學(xué)思想方法．2α、ββ的值．

)，且3s

β＝sn(2α

)，tan2

2α，求α＋活動(dòng)：本題屬于給值求角，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，教師應(yīng)在學(xué)生探究中適時(shí)給予當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥把所求的角用含已知其值的角的式子表示由所求的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)構(gòu)成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得解：∵3sin[(α＋β

＝sin[(α＋β

，3sin(α＋β)cosα－3cos(αβ)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(αβ)sinα2tanα

、β

＋βπ.∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β<α<α由tan

＝－tan2α2

tan2

＝，即得2tanα＝.代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α

β π)＝0<＋2，∴＋點(diǎn)評(píng)：例題已知

思路2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0tanθ和sin(2θπ)的值．

∈(2

也可運(yùn)用方程的思想，通過(guò)換元先解一個(gè)一元二次方程，還可以運(yùn)用三角函數(shù)的定義來(lái)解解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ∴cosθ≠0.∴上式兩邊同除以cos2θtan2θ＋tanθ解得n

π)，∴舍去nθ＝1＝－22

sθ (2s2θ sθ＋ sin2θ＋ sθ＋ sin2θ＋s2θ2

＋

sin ＝

—

＝nθ＋ ＝－＋n2θ＋1 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的解法多樣，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，如本題中，可由方程ì?sinθ＝－2sθ??ísin2θ＋s2θ 解得sinθ、sθ的值，再代入得解，也是一種不錯(cuò)的思?變式訓(xùn)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2sinx s2x，x∈，求(1)f(xx取值集合(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間1－

1＋解：(1)方法一

πs2x＝2＋2sin(2x＋2 22x＋＝2k＋2，即x＝k＋(k∈時(shí)，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值時(shí)自變量x的取值集合是xx＝k＋，k∈方法二：∵f(x)＝(sin2x＋s2x)＋sin2x＋2＋s2＋ ＋2 2∴當(dāng)2x＋＝2k2，即x＝k＋(k∈時(shí)，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值時(shí)自變量x的取值集合是xx＝k＋，k∈π(2)f(x)＝2＋2sin(2x＋ π 由題意，得2k－2≤2x＋≤2k＋2(k∈)，即k ≤x≤k＋(k∈，k＋](k∈因此，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是kπ－ ，k＋](k∈知能訓(xùn)課本復(fù)習(xí)題作課本復(fù)習(xí)題5、6、7.設(shè)計(jì)感備課資一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與證化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是為了更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系要認(rèn)真分析，合理轉(zhuǎn)化，避免盲目性．求值可分為給角求值給值求值給值求角三部分給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式二、備用習(xí)．函數(shù)＝ 的最小正周期是( ． ．．函數(shù)＝ 的最大值是 ． ．－∈(．若 π θ＝， θ θ的值為∈(．函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是—，k．k π ．kπ＋π，kπ＋π—，kπ．kπ．k —，k

．kπ＋π，kπ＋π．求函數(shù)

1－sinx的值域6．化簡(jiǎn)(x＝cos2x＋cos2(60°＋xcos2(120°＋x

2sinx．解

1－sinx

1－sinx

＝2sinx(1＋sinx12 12∴y＝2sin 212令t＝sinx，則t∈[－11 1∴當(dāng)t∈[－11時(shí)，y∈[，421＋cos2x1＋cos 1＋cos6．解：(x 1＝＋[cos2x－cos(60°－2x2 ＝＋[cos2x－ sin2x－ 2

(設(shè)計(jì)者：鄭吉2導(dǎo)入新1(直接導(dǎo)入思路2問(wèn)題導(dǎo)入教師開(kāi)始就提出以下問(wèn)題讓學(xué)生探究(1不查表求

β＜α＜π，cos(α cos20°cos80°的值．(2已知2

＝，sin(＋β＝－，求sin2α的值．學(xué)生專(zhuān)心解決問(wèn)題的探究過(guò)程就已展開(kāi)了新課．知識(shí)鞏教師打出幻燈，根據(jù)上節(jié)復(fù)習(xí)的知識(shí)方法，請(qǐng)解答以下一組考試題．設(shè)α、β為鈍角， α β

0，則α＋β的值π ππ或α已知＝( α－ α，00，＝( α＋ α，且∥則 α－α．－．∈( ．已知 π α＝， ( π等于∈( ． ．若α、

β ，(α－β＝－， (α＋β的—等 ——．已 (π＋θ (π－θ＝，且－π — θ θ－θ的值活動(dòng)：由學(xué)生自己獨(dú)立完成，對(duì)找不到思路的學(xué)生教師可給予適時(shí)的點(diǎn)撥，上述都是00、00年的高考或模擬題．從中可看出，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及恒等式的證明答案 注意選用α＋β的余弦． 倍角公式化單角來(lái)解決．π— 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解決π— β 先確定角的范圍

，可得 πα

α

2π，cos(α＋β ＝－1

—2)－(2

)＝，＋．解：由n(π＋θ)＋nπ－θ)＝sinπ

sinπ

sinπ ＋ ＋ ＝cosθ＝π∵－π

π2—22

cos2θ2∴cosθ＝－2.應(yīng)用示

，sinθ＝－1，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ

232－2 π

思路1cos(－x)＝

， 1＋ (決問(wèn)題的突破口．如轉(zhuǎn)化為已知一個(gè) －x)的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其余三角函數(shù)(( (

2sinxcosx－sinxcosxsin2x解 1＋

1－1＋＝sin2x1－1＋

－x)＝cos(

－2x)n(

2 ＝2cos(－x)－1 π ，∴－1

π－x－π.又∵cos(

－x)＝－

－x)＝，n(－x)＝－.∴原式2

－1)3(－ 1點(diǎn)評(píng)：在解答某些三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，要能夠合理地利用公式，引導(dǎo)學(xué)生觀察角1變式訓(xùn)變式訓(xùn)已知cosα－sα 2(11s2cosαπ的值(2若函數(shù)＝ 的圖象關(guān)于直線＝對(duì)稱(chēng)，且(－1＝20，試求 值解：(1由已知cosα－sα ，得cos(α 2π又因?yàn)閟2α＝－cosπ(＝1－2cos2(α ＝π2所以1s2cosαπ＝(2由題意，函數(shù) 的圖象關(guān)于直線＝對(duì)稱(chēng)因此＋＝－所以 ＝ ＝(＋＝(－＝(－1＝2已知s22α＋s2

∈(0，

，求sα α的值活動(dòng)：本題是2002鼓勵(lì)學(xué)生一題多解解答本題常出現(xiàn)的失誤有：(1記錯(cuò)三角公式如“cos2α＝2s－1”(2sα的四次方程，造成運(yùn)算煩瑣，或不能得到結(jié)果(用一個(gè)算式去除等式兩邊時(shí)，未先確認(rèn)這個(gè)算式不等于零，推理不嚴(yán)密(恒等變形中，移項(xiàng)時(shí)符號(hào)出錯(cuò)或合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)系數(shù)出錯(cuò)，導(dǎo)解題結(jié)果錯(cuò)誤．可以此來(lái)檢查學(xué)生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，s2α＝2sαcosα，cos2α＝2cos2α－1，s2αcos2α＋2sαcos2α－2cos2α＝0?2cos2α(2s2α＋sα－10?

π)，∴sinα＋1≠0，cos2α∈(0，－1＝0＝＝＝. ∈(0，－1＝0＝＝＝. 方法二：由題設(shè)得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，即(sin2α＋2cosα－cosα ∈(0，2)，∴sin2＋2cos≠0.∴sin2

－1＝0，即＝＝＝. －1＝0，即＝＝＝. 方法三：由題設(shè)得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，將其看成關(guān)于sin2α的一二次方程sin2α

－cosα±cos2α＋

－cosα±3cosα，∴sin2α＝－2cosαsin2α＝cosα

∈(0，2

(以下同方法二點(diǎn)評(píng)：本題是考查三角函數(shù)的綜合題，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函數(shù)關(guān)變式訓(xùn)變式訓(xùn)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，απ，π)，?b(＝2求2sin2α－cosαπ的值α2解：∵＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α＝1－sinα＝2∴sinα＝.又∵α2，π)，∴cosα＝－.∴cos(α＋)＝103ππ22sin2α－απ333∴ ＋α＝2—＝－103已知函數(shù)＝2asin2為－1，求常數(shù)a、b的值．

π－23asincosa＋b(a≠0)的定義域?yàn)?2，值a＝asin＋cosxy＝asin＋cos＝a2＋sin(＋φ)，其中anφ＝，需引起學(xué)生的高度重視．首先通的影響，可讓學(xué)生獨(dú)立探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥．a(chǎn)解(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＝－a(cos2x＋＋＝－2asin(2x)＋2a＋＋ ∵x∈[0，2]，∴2x＋∈[

]．∴－2

因此，由(x)的值域?yàn)閇－1]，可ìa

ìaíí íí－2a3－ ＋2a ?－2a3

＋2a＋＝－

或 已知a，是兩個(gè)向量，且 cosx)，＝(cos2x，sinx)，x∈，定義：y?(1)求yxy＝(x)(2)若，π]，求函數(shù)y＝(x)x解 cosx)，? ＋π)2 ＋π12單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈ππ(2)由，ππ——π2π—12πcos(2x－∴f(x)∴f(x)in＝，此時(shí)＝ππ＝，此時(shí)2＝＋，例已知n( π ＋，

思路απ nα的值；(2

sin2α 2sinα－學(xué)生給予指導(dǎo)點(diǎn)撥解：()由n(

παπ＋nα

，解之，得nα＋sin2α

)＝－ 2sinαcosα

—n

2sinα－

sinα ＝2cosα∵παπ，且nα＝－，∴cosα＝－ ∵解答過(guò)程簡(jiǎn)潔流變變式訓(xùn)cosπ已知α為第二象限角sinα＝，2的值sin2α＋π解：∵sin(2α＋π)＝sinπ＋(2π＋2α)＝cos(2π＋2α)＝cos2α22cosπcoscosα＋sinππ∴原式＝2α＋π＝2