數(shù)學(xué)中考試題分類匯編函數(shù)與幾何圖形

2008年中考試卷分類—函數(shù)與幾何圖形（2）如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，四個(gè)全等的小正方形的對(duì)稱中心分別在正方形ABCD的極點(diǎn)上，且它們的各邊與正方形ABCD各邊平行或垂直．若小正方形的邊長(zhǎng)為x，且0<x≤10，暗影部分的面積為y，則能反應(yīng)y與x之間函數(shù)關(guān)系的大概圖象是（D）2.（連云港）如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長(zhǎng)分別為和2．將它們分別擱置于平面直角坐標(biāo)系中的AOB，COD處，直角邊OB，OD

1在軸上．向來(lái)尺從上方緊靠?jī)杉埌鍞R置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊沿平行挪動(dòng)．當(dāng)紙板Ⅰ挪動(dòng)至PEF處時(shí)，設(shè)PE，PF與OC分別交于點(diǎn)M，N，與x軸分別交于點(diǎn)G，H．（1）求直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段AC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，嘗試究：①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)能否總相等？請(qǐng)說(shuō)明原因；②兩塊紙板重疊部分（圖中的暗影部分）的面積S能否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2，知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(12)，，(21)，．設(shè)直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為ykxb．···························2分kb，k，有解得．2kb．b13所以，直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為yx3．·····················4分（2）①點(diǎn)M到x軸距離h與線段BH的長(zhǎng)總相等．y由于點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，1)，所以，直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y1x．A又由于點(diǎn)P在直線AC上，2PCI所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，3a)．MNII過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)K，則有MKOGKBHxh．EF由于點(diǎn)M在直線OC上，所以有M(2h，h)．···········6分（第24題答圖）由于紙板為平行挪動(dòng)，故有EF∥OB，即EF∥GH．又EFPF，所以PHGH．法一：故Rt△MKG∽R(shí)t△PHG∽R(shí)t△PFE，進(jìn)而有GKGHEF1．MKPHPF2得GK1MK1h，GH1PH1(3a)．2222所以O(shè)GOKGK2h1h3h．22又有OGOHGHa1(3a)31)．·····················8分2(a所以3h3(a21)，得ha1，而BHOHOBa1，22進(jìn)而總有hBH．·············································10分法二：故Rt△PHG∽R(shí)t△PFE，可得GHEF1．1PH1(3PHPF2故GHa)．22所以O(shè)GOHGHa1(3a)3(a1)．22故G點(diǎn)坐標(biāo)為3(a，．21)0設(shè)直線PG所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為ycxd，3acad，c2則有3解得1)d33a0c(ad．2所以，直線PG所對(duì)的函數(shù)關(guān)系式為y2x(33a)．·····················8分將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，可得h4h(33a)．解得ha1．而BHOHOBa1，進(jìn)而總有hBH．·······················10分1②由①知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a2，a1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為a，a．2SS△ONHS△ONG1NHOH1OGh11aa13a3(a1)2222221a23a1a23．······························12分33224228當(dāng)a3時(shí)，S有最大值，最大值為3．28S取最大值時(shí)點(diǎn)33P的坐標(biāo)為，．223.（沈陽(yáng)）以下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600后獲得矩形EFOD．點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A，E，D．（1）判斷點(diǎn)E能否在y軸上，并說(shuō)明原因；（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）在x軸的上方能否存在點(diǎn)P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O，B，P，Q為極點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上，若存在，懇求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．解：（1）點(diǎn)E在y軸上······································1分原因以下：連結(jié)AO，以下圖，在Rt△ABO中，QAB1，BO3，AO2sinAOB1，AOB30o2由題意可知：AOE60oBOEAOBAOE30o60o90oQ點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)E在y軸上．·······························3分（2）過(guò)點(diǎn)D作DMx軸于點(diǎn)MQOD，DOM30o1在Rt△DOM中，DM1，OM322Q點(diǎn)D在第一象限，點(diǎn)D的坐標(biāo)為31······································5分2，2由（1）知EOAO2，點(diǎn)E在y軸的正半軸上點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(31)，········································6分Q拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，c2由題意，將A(31代入yax2bx2中得31)，，D，223a3b21a89331解得b53a22b429所求拋物線表達(dá)式為：y8x253x2························9分99（3）存在切合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)Q．·······························10分原因以下：Q矩形ABOC的面積ABgBO3以O(shè)，B，P，Q為極點(diǎn)的平行四邊形面積為23．由題意可知OB為此平行四邊形一邊，又QOB3OB邊上的高為2·············································11分依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，2)Q點(diǎn)P在拋物線y8x253x2上998m253m2299解得，m10，m2

5381，，53，228以O(shè)，B，P，Q為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，PQ∥OB，PQOB3，當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0，2)時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1(3，2)，Q2(3，2)；

yEFACDxBOM當(dāng)點(diǎn)P253，時(shí)，的坐標(biāo)為82點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3133，，Q433，．8228（徐州）如圖1，一副直角三角板知足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】將三角板DEF的直角極點(diǎn)E擱置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三．．角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．．．．．．．．．．【研究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）如圖2，當(dāng)CE＝1時(shí)，EP與EQ知足如何的數(shù)目關(guān)系？并給出證明.EA（2）如圖3，當(dāng)CE＝2時(shí)EP與EQ知足如何的數(shù)目關(guān)系？，并說(shuō)明原因.EA3）依據(jù)你對(duì)（1）、（2）的研究結(jié)果，試寫出當(dāng)CE＝m時(shí)，EP與EQ知足的EA數(shù)目關(guān)系式為_________,此中m的取值范圍是_______(直接寫出結(jié)論，不用證明)【研究二】若，AC＝30cm，連續(xù)PQ，設(shè)△EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：1）S能否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明原因.（2）跟著S取不一樣的值，對(duì)應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.5.（河南）如圖，直線y4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，x43點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)此中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△MON的面積為S．①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否存在S=4的情況？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明原因；③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求t的值．6.如圖20，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．平行于對(duì)角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊．．分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是__________，點(diǎn)C的坐標(biāo)是__________；(2)當(dāng)t=秒或秒時(shí)，MN=1AC；(3)設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)2系式；(4)研究(3)中獲得的函數(shù)S有沒(méi)有最大值？如有，求出最大值；若沒(méi)有，要說(shuō)明原因．解：(1)（4，0），（0，3）；································2分2，6；············································4分當(dāng)0＜t≤4時(shí)，OM=t．由△OMN∽△OAC，得OMON，OAOC∴ON=3t，S=3t2．················6分48當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，∵OD=t，∴AD=t-4．方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM=由△BMN∽△BAC，可得BN=

3(t4)，∴BM=6-3t．············7分444BM=8-t，∴CN=t-4．··············8分3S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積=12-3(t4)-1（8-t）（6-3t）-3(t4)2242=3t23t．·····································10分8方法二：易知四邊形ADNC是平行四邊形，∴CN=AD=t-4，BN=8-t．···············7分由△BMN∽△BAC，可得BM=3BN=6-3t，∴AM=3(t4)．·······8分444以下同方法一．有最大值．方法一：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，∵拋物線S=3t2的張口向上，在對(duì)稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大，8∴當(dāng)t=4時(shí)，S可取到最大值當(dāng)4＜t＜8時(shí)，

42=6；·······················11分8∵拋物線S=3t23t的張口向下，它的極點(diǎn)是（4，6），∴S＜6．8綜上，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6．······························12分方法二：32，t≤4∵S=832，t88∴當(dāng)0＜t＜8時(shí)，畫出S與t的函數(shù)關(guān)系圖像，以下圖．·············11分明顯，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6．（郴州）如圖10，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過(guò)E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延伸線訂交于點(diǎn)G，連結(jié)DE，DF．．（1）求證：BEF∽CEG．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你的原因．（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為y，請(qǐng)你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為什么值時(shí),y有最大值，最大值是多少？（1）

由于四邊形

ABCD

是平行四邊形，

所以

ABPDG

··············1分所以

B

GCE,

G

BFE所以△BEF∽△CEG······································3分（2）△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和為定值．····························4分原因一：過(guò)點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H，由于GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．所以FH＝CG，F(xiàn)G＝CH所以，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC＋CH＋BH由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，所以BC＋CH＋BH＝24······································6分原因二：由AB＝5，AM＝4，可知HD在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：A4BE,3BE,4EC,3CE，F(xiàn)EFBFGEGC5555BMC所以，△BEF的周長(zhǎng)是12BE，△ECG的周長(zhǎng)是xE12CEG55又BE＋CE＝10，所以VBEF與VCEG的周長(zhǎng)之和是24．··················6分（3）設(shè)BE＝x，則EF4x,GC3(10x)55所以y1143x)5]6x222EFgDG2gx[(1025x················8分2555配方得：y6(x55)2121．256655所以，當(dāng)x時(shí)，y有最大值．·······························9分6121最大值為．8.（鎮(zhèn)江）如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P為函數(shù)y1x2在第一象限內(nèi)的圖象上的4任一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直線l過(guò)B（0，-1）且與x軸平行，過(guò)P作y軸的平行線分別交x軸，l于C，Q，連結(jié)AQ交x軸于H，直線PH交y軸于R．（1）求證：H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn)；（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；（3）除P點(diǎn)外，直線PH與拋物線y1x2有無(wú)其余公共點(diǎn)？并說(shuō)明原因．4（1）法一：由題可知AOCQ1．QAOHQCH90o，AHOQHC，AOH≌△QCH．·······································（1分）OHCH，即H為AQ的中點(diǎn)．····························（2分）法二：QA(01)，，B(0，1)，OAOB．···························（1分）又BQ∥x軸，HAHQ．··································（2分）（2）①由（1）可知AHQH，AHRQHP，QAR∥PQ，RAHPQH，RAH≌△PQH．······································（3分）ARPQ，又AR∥PQ，四邊形APQR為平行四邊形．·····················（4分）②設(shè)P12，QPQ∥y軸，則Q(m，1)，則PQ112．m，m4m4過(guò)P作PGy軸，垂足為G，在Rt△APG中，1m221m221m2APAG2PG21m211PQ．444平行四邊形APQR為菱形．··································（6分）（3）設(shè)直線PR為ykxb，由OHCH，得Hm，2，P122m，m代入得：4mkb0，km，m122直線PR為y2．···········（7分）11x4mkm2b2.2bm.4m4設(shè)直線PR與拋物線的公共點(diǎn)為12，代入直線PR關(guān)系式得：x，x412m121m)20，解得xm．得公共點(diǎn)為12．xxm0，(xm，m42444所以直線PH與拋物線y1x2只有一個(gè)公共點(diǎn)P．4（無(wú)錫）如圖，已知點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)，A為極點(diǎn)作菱形OABC，使點(diǎn)B，C在第一象限內(nèi)，且∠AOC=600，；以P（0，3）為圓心，PC為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒，求：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，全部使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的的值．解：（1）過(guò)C作CDx軸于D，QOA1t，OC1t，y1t，DCOCsin60o3(1t)，ODOCcos60oPC22B1t，3(1t)ODAx點(diǎn)C的坐標(biāo)為．·····（2分）圖122（2）①當(dāng)eP與OC相切時(shí)（如圖1），切點(diǎn)為C，此時(shí)PCOC，OPcos30o，3yOC1t3g，CB2PE331．·········（4分）Oxt2A圖2②當(dāng)eP與OA，即與x軸相切時(shí)（如圖2），則切點(diǎn)為O，PCOP，過(guò)P作PEOC于E，則OE1OC，···························（5分）21tOPcos30o33，t331．·························（7分）22③當(dāng)eP與AB所在直線相切時(shí)（如圖3），設(shè)切點(diǎn)為F，PF交OC于G，則PFOC，F(xiàn)G3(1t)CD2，PCPFOPsin30o3(1t)．·····························（8分）2過(guò)C作CHy軸于H，則PH2CH2PC2，yCHBPGxOAF2221t3(1t)33(1t)，22322化簡(jiǎn)，得(t1)2183(t1)270，解得t19366，Qt936610，t93661．所求t的值是331，331和93661．210.(遼寧)如圖14，在RtABC中，∠A=900,AB=AC,BC=42，還有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB,AC上，且G,F分別是AB,AC的中點(diǎn)．（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′（如圖15）．研究1：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形BDG′G可否是菱形？若能，懇求出此時(shí)x的值；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明原因．研究2：設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．解：如圖6，（1）過(guò)點(diǎn)G作GMBC于M．QABAC，BAC90o，BC42，G為AB中點(diǎn)GM2．A又QG，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)GF1GFBC22················2分21(D)BC(E)S梯形DEFG(2242)26M圖62等腰梯形DEFG的面積為6．·····································3分（2）能為菱形如圖7，由BG∥DG，GG∥BC四邊形BDGG是平行四邊形A當(dāng)BDBG1AB2時(shí)，四邊形BDGG為菱形，此時(shí)可求得x2FF2GG當(dāng)x2秒時(shí)，四邊形BDGG為菱形．（3）分兩種狀況：①當(dāng)0≤x22時(shí)，BDMEC方法一：QGM2，SYBDGG2x圖7重疊部分的面積為：y62x當(dāng)0≤x22時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y6102x···················分②當(dāng)22≤x≤42時(shí)，A設(shè)FC與DG交于點(diǎn)P，則PDCPCD45oGFGFPCPD90o，PCPDBDQCE1作PQDC于Q，則PQDQ(42x)圖8QC2重疊部分的面積為：y1(42x)1(42x)1(42x)21x222x82244如圖14，已知半徑為1的⊙O1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OM為⊙O1的切線，切點(diǎn)為M，圓心O1的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的分析式；（2）求切線OM的函數(shù)分析式；（3）線段OM上能否存在一點(diǎn)P，使得以P，O，A為極點(diǎn)的三角形與OO1M相像．若存在，懇求出全部切合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．解：（1）Q圓心O1的坐標(biāo)為(2，0)，eO1半徑為1，A(10)，，B(3，0)······················································1分Q二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，1bc0可得方程組93bc······································2分0b4二次函數(shù)分析式為yx24x3·····················3解得：分c3（2）過(guò)點(diǎn)M作MFx軸，垂足為F．·······························4分QOM是eO1的切線，M為切點(diǎn)，O1MOM（圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑）．在Rt△OO1M中，sinO1OMO1M1OO12yQO1OM為銳角，O1OM30o5M·············分P2go233，OHAFO1BxOMOO1cos302在Rt△MOF中，OFOMgcos30o333．22MFOMgsin30o313．22點(diǎn)M坐標(biāo)為3，3········································6分22設(shè)切線OM的函數(shù)分析式為ykx(k0)，由題意可知33k，k3······7分223切線OM的函數(shù)分析式為y3x·······························8分3（3）存在．···············································9分①過(guò)點(diǎn)A作AP1x軸，與OM交于點(diǎn)P1．可得Rt△APO1∽R(shí)t△MO1O（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相像）go3，，3tan30P1133

···················10分②過(guò)點(diǎn)A作AP2OM，垂足為P2，過(guò)P2點(diǎn)作P2HOA，垂足為H．可得Rt△AP2O∽R(shí)t△O1MO（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角開相像）在Rt△OP2A中，QOA1，OP2OAgcos30o3，2在Rt△OP2H中，OHOP2gcosAOP233322，4P2HOP2gsinAOP2313，3，3····················11分224P244切合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)有1，3，3，3344如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，張口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且其極點(diǎn)P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）試確立此拋物線的分析式；（4）在該拋物線上能否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD相互均分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．解：（1）作CHx軸，H為垂足，QCH1，半徑CB2·······················1分QBCH60o，ACB120o·················分32）QCH1，半徑CB2HB

3，故

A(1

3，0)，

···················5分B(1

3，0)

······························6分（3）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的極點(diǎn)

P的坐標(biāo)為

(13)，

···············7分設(shè)拋物線分析式

y

a(x1)2

3·····································8分把點(diǎn)

B(1

3，0)

代入上式，解得

a

1

·······························9分y

x2

2x

2··············································10

分（4）假定存在點(diǎn)D使線段OP與CD相互均分，則四邊形OCPD是平行四邊形····11分PC∥OD且PCOD．QPC∥y軸，點(diǎn)D在y12分軸上．···································又QPC2，OD2，即D(0，2)．又D(0，2)知足yx22x2，點(diǎn)D在拋物線上··············································13分所以存在D(0，2)使線段OP與CD相互均分．13.（蕪湖）如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心，相像比為9:4，將OB向右邊放大，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的分析式;（2）拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且極點(diǎn)落在x軸正半軸上，求該拋物線的分析式并畫出函數(shù)圖象;（3）現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線訂交與另一點(diǎn)P，請(qǐng)找出拋物線上全部知足到直線AB距離為32的點(diǎn)P．解：（1）過(guò)C點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質(zhì)可知：△ABO∽△ACD，∴AOBO4．ADCD9由已知A(4,0)，B(0,4)可知：AO4,BO4．∴ADCD9．∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(5,9)．·······2分直線BC的分析是為：y4x09450化簡(jiǎn)得：yx4·····················3分（2）設(shè)拋物線分析式為yax2bxc(a0)，由題4c意得：925a5bc，b24ac0a2125a11b245解得：b14c24c14∴解得拋物線分析式為y1x24x4或y21x24x4．1x24x255又∵y24的極點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，不合題意，故舍去．255∴知足條件的拋物線分析式為yx24x4····························5分（正確畫出函數(shù)yx24x4圖象）································7分（3）將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線訂交與另一點(diǎn)P，設(shè)P到直線AB的距離為h，故P點(diǎn)應(yīng)在與直線AB平行，且相距32的上下兩條平行直線l1和l2上．·······8分由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為32．如圖，設(shè)l1與y軸交于E點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥BC于F點(diǎn)，在Rt△BEF中EFh32，EBFABO45o，∴BE6．∴能夠求得直線l1與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10)···················10分同理可求得直線l2與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)······························11分∴兩直線分析式l1:yx10；l2:yx2．依據(jù)題意列出方程組：⑴yx24x4；⑵yx24x4yx10yx2x16x21x32；x43∴解得：；；y116y29y30y41∴知足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，它們分別是P1(6,16)，P2(1,9)，P3(2,0)，P4(3,1)(大連)如圖24－1，拋物線y=x2的極點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，AB=2AD．⑴求矩形ABCD的面積；⑵如圖24－2，若將拋物線“y=x2”，改為拋物線“y=x2+bx+c”，其余條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積；⑶若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”，其余條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積(用a、b、c表示，并直接寫出答案)．附帶題：若將24題中“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”，“AB=2AD”條件不要，其余條件不變，研究矩形ABCD面積為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD需要知足什么條件？并說(shuō)明原因．(大連)如圖，△ABC的高AD為3，BC為4，直線EF∥BC，交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF(點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線EF的異側(cè))，設(shè)EF為x，△PEF與四邊形BCEF重合部分的面積為y．⑴求線段AG(用x表示)；⑵求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍．16.（株洲）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（

1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3，-1），二次函數(shù)

y=-x2的圖象為

l1.

（1）平移拋物線

l1，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)

A，但可是點(diǎn)

B，寫出平移后的拋物線的一個(gè)分析式（任寫一個(gè)即可）

.（2）平移拋物線

l1，使平移后的拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，記拋物線為l2，如圖（2），求拋物線l2的函數(shù)分析式及極點(diǎn)C的坐標(biāo).（3）設(shè)P為y軸上一點(diǎn)，且S△ABC=S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（4）請(qǐng)?jiān)趫D（2）上用尺規(guī)作圖的方式研究拋物線l2上能否存在點(diǎn)Q，使QAB為等腰三角形.若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)Q共有幾個(gè)可能的地點(diǎn)（保存作圖印跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因.（1）yx22x3或yx24x5等（知足條件即可）（2）設(shè)l2的分析式為yx2bxc，聯(lián)立方程組21bc，193bc9,c11，則l2的分析式為y29x11，3解得：b2x222分點(diǎn)C的坐標(biāo)為（9,7）4416分（3）如答圖23-1，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD2，CF7，BE1，DE2，DF5，F(xiàn)E3.1644得：SABCS梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD15.516分延伸BA交y軸于點(diǎn)G，直線AB的分析式為y1x5，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，h）222①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，PG5h，連結(jié)AP、BP，則SABPSBPGSAPG5h，22又SABCSABP15，得h55，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，55）.6161616分②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)，5h，同理h25，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，25）.PG1616255）或（0，綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，25）71616分作圖印跡如答圖23-2所示.由圖可知，知足條件的點(diǎn)有Q1、Q2、Q3、Q4，共4個(gè)可能的地點(diǎn).10分FE答圖23-1答圖23-2（南昌）如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-，9），且與拋128物線y2=ax2-ax-1訂交于A，B兩點(diǎn)．（1）求a值；（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），察看M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并經(jīng)過(guò)計(jì)算說(shuō)明；（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為XA，XB，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且XA≤x≤XB，過(guò)Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)x為什么值時(shí)，線段CD有最大值？其最大值為多少？解：（）QP19在拋物線yax2ax1上，點(diǎn)，12811a1a19，·········································2分428解得a1．···············································3分21111，y211（2）由（1）知a，拋物線y1x2xx2x1．······5分1x21x22222當(dāng)10時(shí)，解得x12，x21．y22PAQ點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，xM2，xN1．·······6分x當(dāng)1x21xMEONF10時(shí)，解得x31，x42．B22Q點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，xE1，xF27．····························分QxMxF0，xNxE0，點(diǎn)M與點(diǎn)F對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)E對(duì)稱．······························8分（3）Qa10．y2P拋物線y1張口向下，拋物線y2張口向上．A·········9分CxOQ依據(jù)題意，得CDy1y2BD1x21x11x21x1x22．····················11分2222QxA≤x≤xB，當(dāng)x0時(shí)，CD有最大值2．18.（山西）如圖，已知直線l1的分析式為y=3x+6，直線l1與x軸、y軸分別訂交于A、B兩點(diǎn)，直線l2經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C挪動(dòng)，點(diǎn)Q在直線l2從點(diǎn)C向點(diǎn)B挪動(dòng)。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且挪動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)挪動(dòng)時(shí)間為t秒（1<t<10）。（1）求直線l2的分析式。2）設(shè)△PCQ的面積為S，懇求出S對(duì)于t的函數(shù)關(guān)系式。（3）嘗試究：當(dāng)t為什么值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？（黃岡）已知：如圖，在直角梯形標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線挪動(dòng)，挪動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線BC的分析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上挪動(dòng)，當(dāng)t為什么值時(shí)，四邊形

COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)成立平面直角坐A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段OPDC的面積是梯形COAB面積的2？（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出7發(fā)，沿折線OABD的路線挪動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上挪動(dòng)時(shí)，可否在線段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？懇求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明原因．20.（仙桃）如圖，直角梯形OABC中，AB∥CD,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，23），∠BCO=60°，OH⊥BC于點(diǎn)H.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）求OH的長(zhǎng)；（2）若OPQ的面積為S（平方單位）.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.并求t為什么值時(shí)，OPQ的面積最大，最大值是多少？（3）設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M.①當(dāng)OPM為等腰三角形時(shí)，求（2）中S的值.②研究線段OM長(zhǎng)度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論.解：（1）∵AB∥OC900∴OABAOC在RtOAB中，AB2,AO23∴OB4，ABO600∴BOC600而BCO600BOC為等邊三角形∴OHOBcos3004323（3分）2（2）∵OPOHPH23t∴xpOPcos30033ypOPsin3003tt22∴S1OQxp1t(33t)222=3t23t（0t23）（6分）42即S3(t3)23344t3S最大3374y3OPMiOMPMMPOMOPPOCABPQOCOQypt3tH2QMt23P3OCx3(23)232323S8432330yiiOPOMOPMOMP75OQP450ABPPEOAEEQEPQMHt1t)33t(3EP22t2OCxS3223233942iiiOPPMPOMPMOAOBPQOAQAB.10OM

32ABCBC=6SABC=12MNABACMNBCMNMPQNxMPQNABCyy>01ABCBCAD=2x=PQBC13PQABC2yxxxy1AD4········································22x2.412······································653BCMP，NQE，F(xiàn)MEFNMENFhADMNG2AGDNFhAG4hMNGBCEDFMN∥BC，AMN∽△ABC．MNAGx4hBCAD，即462x4．··························8分3yMNgNFx2x432x24x(2.4x6)．····································10分32(x配方得：y3)26．···································11分3當(dāng)x3時(shí)，y有最大值，最大值是6．22.（宜昌）如圖1，已知四邊形OABC中的三個(gè)極點(diǎn)坐標(biāo)為O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)挨次沿線段OA，AB，BC向點(diǎn)C挪動(dòng)，設(shè)挪動(dòng)行程為z，△OPC的面積S跟著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數(shù)，m＞1，n＞0．（1）請(qǐng)你確立n的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C的拋物線y＝ax2＋bx＋c的極點(diǎn)，且在雙曲線y＝11上時(shí)，求這時(shí)四邊形OABC的面積．5x1.解：(1)從圖中可知，當(dāng)P從O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，△POC的面積S＝mz，z由0逐漸增2大到2,則S由0逐漸增大到m，故OA＝2，n＝2.(1分)同理，AB＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，2).(2分)(2)解法一：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0)，C(m，0),∴c＝0，b＝－am，(3分)2m1∴拋物線為y＝ax－amx，極點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4am2).(4分)如圖1，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，P的拋物線為l.當(dāng)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，O,P都在y軸上，y這時(shí)P,O,C三點(diǎn)不行能同在一條拋物線上，ABO1C

x∴這時(shí)拋物線l不存在,故不存在m的值..①當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，雙曲線y＝11不行能經(jīng)過(guò)P,5x故也不存在m的值.②(5分)(說(shuō)明：①②任做對(duì)一處評(píng)1分，兩處全對(duì)也只評(píng)一分)當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)0<x0≤1時(shí)，y0＝2，拋物線l的極點(diǎn)為P(m，2).2∵P在雙曲線y＝11上，可得m＝11，∵11>2,與x0＝m≤1不合，舍去.(6分)5x552③簡(jiǎn)單求得直線BC的分析式是：y2x2m，(7分)1m1m當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，當(dāng)P是極點(diǎn)時(shí)x0＝m，22m＝m，極點(diǎn)P為(m，m2故得y＝)，01mx01mm12m1∵1<x0＝m<m，∴m>2，又∵P在雙曲線y＝11上，25x于是，m×m＝11，化簡(jiǎn)后得5m2－22m＋22＝0,2m15解得m122211,m222211,(8分)1010Q2112,2221120,m2222112,10與題意2<x0＝m<m不合,舍去.④(9分)2故由①②③④，知足條件的只有一個(gè)值：m2221110.這時(shí)四邊形OABC的面積＝1(1m)2＝1611.25（襄樊）如圖15，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=8，，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在D處，AD交OC于E（．1）求OE的長(zhǎng)；（2）求過(guò)O，D，C三點(diǎn)拋物線的分析式；（3）若F為過(guò)O，D，C三點(diǎn)拋物線的極點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）為什么值時(shí)，直線PF把

AB以每秒1個(gè)單位FAC分紅面積之比為1：3的兩部分？解：（1）Q四邊形

OABC是矩形，CDE

AOE

90o，

OA

BC

CD

．·························（1分）又Q

CED

OEA，

△CDE≌△AOE

．························（2分）OE

DE．OE2

OA2

(AD

DE)2，即OE2

42

(8

OE)2，解之，得

OE

3．····················（3

分）（2）EC

83

5．如圖

4，過(guò)

D作DG

EC于G，DGE≌△CDE．··················（4分）DEDG，DEEG．DG12，EG9．ECCDECDE552412．····················（5分）D，5因O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故可設(shè)過(guò)O，C，D三點(diǎn)拋物線的分析式為yax2bx．64a8b0，5a，2422412解之，得32a555b.5b.4y5x25x．···········································（7分）324（3）Q拋物線的對(duì)稱軸為x4，其極點(diǎn)坐標(biāo)為54，．28k，k1，設(shè)直線AC的分析式為ykx2b，則4.解之，得bb4.1x4．···········································（9分）2設(shè)直線FP交直線AC于H14，過(guò)H作HMOA于M．m，m2△AMH∽△AOC．HM:OCAH:AC．QS△FAH:S△FHC1:3或3:1，AH:HC

1:3

或3:1，

HM:OC

AH:AC

1:4或3:4．HM

2或6，即

m

2或6．H1(2，3)，H2(6，1)．···································（10分）直線FH1的分析式為y11x17．當(dāng)y4時(shí)，x18．4211直線FH2的分析式為y7x19．當(dāng)y4時(shí)，x54．1854427當(dāng)t秒或秒時(shí)，直線FP把△FAC分紅面積之比為1:3的兩部分11724.（蘭州）如圖19-1，