2024屆寧夏回族自治區(qū)中學衛(wèi)市第五中學九年級數(shù)學第一學期期末調研試題含解析

2024屆寧夏回族自治區(qū)中學衛(wèi)市第五中學九年級數(shù)學第一學期期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知A，B是反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）圖象上的兩點，BC∥x軸，交y軸于點C，動點P從坐標原點O出發(fā)，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運動，終點為C，過P作PM⊥x軸，垂足為M．設三角形OMP的面積為S，P點運動時間為t，則S關于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．2．下列是電視臺的臺標，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，位似比為：，將縮小，若點坐標，，則點對應點坐標為（）A．， B． C．或， D．，或，4．如圖，以點為位似中心，將放大得到．若，則與的位似比為（）．A． B． C． D．5．如圖，正方形中，，為的中點，將沿翻折得到，延長交于，，垂足為，連接、.結論:①；②≌；③∽；④；⑤.其中的正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．56．同桌讀了：“子非魚焉知魚之樂乎？”后，興高采烈地利用電腦畫出了幾幅魚的圖案，請問：由左圖中所示的圖案平移后得到的圖案是（）A． B． C． D．7．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足為F，交BC于點E，BE=2EC，連接AE．則tan∠CAE的值為（）A． B． C． D．8．關于的一元二次方程根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．根的情況無法判斷9．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，∠ACD=40°，則∠BAD的大小為（）A．60o B．30o C．45o D．50o10．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．11．如圖，AB是的直徑，點C，D是圓上兩點，且＝28°，則＝（）A．56° B．118° C．124° D．152°12．如圖，把一個直角三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝50°，則∠2＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°二、填空題（每題4分，共24分）13．反比例函數(shù)（）的圖象如圖所示，點為圖象上的一點，過點作軸，軸，若四邊形的面積為4，則的值為______.14．一個質地均勻的小正方體，六個面分別標有數(shù)字1，1，2，4，5，5，隨機擲一次小正方體，朝上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率是__________．15．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對稱軸為x＝1，下列結論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是拋物線上兩點，則y1＜y2，其中結論正確的是________．16．若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為________．17．如圖，已知半⊙O的直徑AB＝8，將半⊙O繞A點逆時針旋轉，使點B落在點B'處，AB'與半⊙O交于點C，若圖中陰影部分的面積是8π，則弧BC的長為_____．18．若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是_____________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作圖：①將△ABC向左平移4個單位，得到△A1B1C1；②將△A1B1C1繞點B1逆時針旋轉90°，得到△A1B1C1．（1）求點C1在旋轉過程中所經過的路徑長．20．（8分）在平面直角坐標系中，已知拋物線.（1）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“方點”.試求拋物線的“方點”的坐標；（2）如圖，若將該拋物線向左平移1個單位長度，新拋物線與軸相交于、兩點（在左側），與軸相交于點，連接.若點是直線上方拋物線上的一點，求的面積的最大值；（3）第（2）問中平移后的拋物線上是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由.21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣1．動點P在拋物線上運動（不與點A、B重合），過點P作y軸的平行線，交直線AB于點Q，當PQ不與y軸重合時，以PQ為邊作正方形PQMN，使MN與y軸在PQ的同側，連結PM．設點P的橫坐標為m．（1）求b、c的值．（2）當點N落在直線AB上時，直接寫出m的取值范圍．（3）當點P在A、B兩點之間的拋物線上運動時，設正方形PQMN周長為c，求c與m之間的函數(shù)關系式，并寫出c隨m增大而增大時m的取值范圍．（4）當△PQM與y軸只有1個公共點時，直接寫出m的值．22．（10分）如圖，點A的坐標為（0，﹣2），點B的坐標為（﹣3，2），點C的坐標為（﹣3，﹣1）．（1）請在直角坐標系中畫出△ABC繞著點A順時針旋轉90°后的圖形△AB′C′；（2）直接寫出：點B′的坐標，點C′的坐標．23．（10分）如圖，在矩形中對角線、相交于點，延長到點，使得四邊形是一個平行四邊形，平行四邊形對角線交、分別為點和點.（1）證明：；（2）若，，則線段的長度.24．（10分）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，BC＝3CD，分別過點B，D作AD，AB的平行線，并交于點E，且ED交AC于點F，AD＝3DF．（1）求證：△CFD∽△CAB；（2）求證：四邊形ABED為菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四邊形ABED的面積．25．（12分）感知定義在一次數(shù)學活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類直角三角形”；②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．類比拓展（2）如圖2，△ABD內接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點E是弧AD上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結AC，且∠CAD＝∠AOD，當△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．26．如圖,是半圓的直徑,是半圓上的一點,切半圓于點，于為點，與半圓交于點．(1)求證:平分；(2)若,求圓的直徑．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】結合點P的運動，將點P的運動路線分成O→A、A→B、B→C三段位置來進行分析三角形OMP面積的計算方式，通過圖形的特點分析出面積變化的趨勢，從而得到答案．【題目詳解】設∠AOM=α，點P運動的速度為a，當點P從點O運動到點A的過程中，S=a2?cosα?sinα?t2，由于α及a均為常量，從而可知圖象本段應為拋物線，且S隨著t的增大而增大；當點P從A運動到B時，由反比例函數(shù)性質可知△OPM的面積為k，保持不變，故本段圖象應為與橫軸平行的線段；當點P從B運動到C過程中，OM的長在減少，△OPM的高與在B點時相同，故本段圖象應該為一段下降的線段；故選A．點睛：本題考查了反比例函數(shù)圖象性質、銳角三角函數(shù)性質，解題的關鍵是明確點P在O→A、A→B、B→C三段位置時三角形OMP的面積計算方式．2、C【解題分析】根據中心對稱圖形的概念即可求解．【題目詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是中心對稱圖形，故此選項正確；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．

故選：C．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．3、C【分析】若位似比是k，則原圖形上的點，經過位似變化得到的對應點的坐標是或．【題目詳解】∵以原點O為位似中心，位似比為1:2，將縮小，∴點對應點的坐標為：或．

故選：C．【題目點撥】本題考查了位似圖形與坐標的關系．此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標比等于．4、A【解題分析】以點為個位中心，將放大得到，，可得，因此與的位似比為，故選A.5、C【分析】根據正方形的性質以及折疊的性質依次對各個選項進行判斷即可．【題目詳解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E為AB的中點

∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°

∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°

∴∠EBF=∠EFB

∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB

∴∠DEF=∠EFB

∴BF∥ED

故結論①正確；

∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG

∴Rt△DFG≌Rt△DCG

∴結論②正確；

∵FH⊥BC，∠ABC=90°

∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°

∵∠EBF=∠BFH=∠AED

∴△FHB∽△EAD

∴結論③正確；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG

∴FG=CG

設FG=CG=x，則BG=6-x，EG=3+x

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2

解得：x=2

∴BG=4

∴tan∠GEB=，故結論④正確；

∵△FHB∽△EAD，且，∴BH=2FH

設FH=a，則HG=4-2a

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4-2a）2=22

解得：a=2（舍去）或a=，∴S△BFG==2.4

故結論⑤錯誤；

故選：C．【題目點撥】本題主要考查了正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定、勾股定理、三角函數(shù)，綜合性較強．6、B【解題分析】根據平移的性質：“平移不改變圖形的形狀和大小”來判斷即可.【題目詳解】解：根據“平移不改變圖形的形狀和大小”知：左圖中所示的圖案平移后得到的圖案是B項，故選B.【題目點撥】本題考查了平移的性質，平移的性質是“經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等；平移不改變圖形的形狀、大小和方向”.7、C【分析】證明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，設EF=x，則DE=3x，再由三角函數(shù)定義即可得出答案．【題目詳解】解：設EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=3x，AD∥EC，

∴△AFD∽△CFE，

∴，，設CF=n，設EF=m，

∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，∵△ECD是直角三角形，，

∴△CFE∽△DFC，

∴，∴，即，

∴，∵，∴tan∠CAE=，

故選：C．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．8、A【解題分析】若△＞0，則方程有兩個不等式實數(shù)根，若△=0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若△＜0，則方程沒有實數(shù)根.求出△與零的大小，結果就出來了.【題目詳解】解：∵△=，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根【題目點撥】本題主要考查根的判別式，掌握一元二次方程的根的判別式是關鍵.9、D【分析】把∠DAB歸到三角形中，所以連結BD，利用同弧所對的圓周角相等，求出∠A的度數(shù)，AB為直徑，由直徑所對圓周角為直角，可知∠DAB與∠B互余即可．【題目詳解】連結BD，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠B=∠C=40o，∵AB為直徑，∴∠ADB=90o，∴∠DAB+∠B=90o，∴∠DAB=90o-40o=50o．故選擇：Ｄ．【題目點撥】本題考查圓周角問題，關鍵利用同弧所對圓周角轉化為三角形的內角，掌握直徑所對圓周角為直角，會利用余角定義求角．10、B【解題分析】根據軸對稱圖形的概念先求出圖形中軸對稱圖形，再根據中心對稱圖形的概念得出其中不是中心對稱的圖形．【題目詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤，B、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項正確，C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤，D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，中心對稱圖形：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，難度適中．11、C【分析】根據一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半可得∠BOC的度數(shù)，再根據補角性質求解.【題目詳解】∵∠CDB=28°，∴∠COB=2∠CDB=2×28°=56°,∴∠AOC=180°-∠COB=180°-56°=124°.故選：C【題目點撥】本題考查圓周角定理，根據定理得出兩角之間的數(shù)量關系是解答此題的關鍵.12、C【分析】由兩直線平行，同位角相等，可求得∠3的度數(shù)，然后求得∠2的度數(shù)．【題目詳解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°?50°=40°.故選C.【題目點撥】本題主要考查平行線的性質，熟悉掌握性質是關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、4【分析】根據反比例函數(shù)的性質得出，再結合圖象即可得出答案.【題目詳解】表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積反比例函數(shù)（）的圖象在第一象限故答案為：4.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)中，的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積.14、【分析】直接利用概率求法進而得出答案．【題目詳解】∵一個質地均勻的小正方體，六個面分別標有數(shù)字1，1，2，4，5，5，∴隨機擲一次小正方體，朝上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率是：．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率公式是解題關鍵．15、②④【解題分析】由拋物線開口方向得到a＜0，有對稱軸方程得到b=-2a＞0，由∵拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；由b=-2a可對②進行判斷；利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），則可判斷當x=2時，y＞0，于是可對③進行判斷；通過比較點（-，y1）與點（，y2）到對稱軸的距離可對④進行判斷．【題目詳解】：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-=1，

∴b=-2a＞0，

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯誤；

∵b=-2a，

∴2a+b=0，所以②正確；

∵拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），

∴當x=2時，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，所以③錯誤；

∵點（-，y1）到對稱軸的距離比點（，y2）對稱軸的距離遠，

∴y1＜y2，所以④正確．

故答案為：②④．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．16、-2【解題分析】試題解析：由韋達定理可得，故答案為17、2π【分析】設∠OAC＝n°．根據S陰＝S半圓＋S扇形BAB′?S半圓＝S扇形ABB′，構建方程求出n即可解決問題．【題目詳解】解：設∠OAC＝n°．∵S陰＝S半圓+S扇形BAB′﹣S半圓＝S扇形ABB′，∴＝8π，∴n＝45，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠BOC＝90°，∴的長＝＝2π，故答案為2π．【題目點撥】本題考查扇形的面積，弧長公式等知識，解題的關鍵是記住扇形的面積公式，弧長公式．18、y1>y3>y1【分析】由題意可把用k表示出來，然后根據不等式的性質可以得到的大?。绢}目詳解】由題意得：,∵-1<<,k<0∴-k>>即y1>y3>y1．故答案為y1>y3>y1．【題目點撥】本題考查反比例函數(shù)的知識，根據反比例函數(shù)圖象上點的橫坐標得到其縱坐標是解題關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）①見解析；②見解析；（1）1π．【分析】（1）①利用點平移的坐標規(guī)律，分別畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1的坐標，然后描點可得△A1B1C1；②利用網格特點和旋轉的性質，分別畫出點A1、B1、C1的對應點A1、B1、C1即可；（1）根據弧長公式計算．【題目詳解】（1）①如圖，△A1B1C1為所作；②如圖，△A1B1C1為所作；（1）點C1在旋轉過程中所經過的路徑長＝【題目點撥】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了平移的性質．20、（1）拋物線的方點坐標是，；（2）當時，的面積最大，最大值為；（3）存在，或【分析】(1)由定義得出x=y，直接代入求解即可(2)作輔助線PD平行于y軸，先求出拋物線與直線的解析式，設出點P的坐標，利用點坐標求出PD的長，進而求出面積的二次函數(shù)，再利用配方法得出最大值(3)通過拋物線與直線的解析式可求出點B，C的坐標，得出△OBC為等腰直角三角形，過點C作交x軸于點M，作交y軸于點N，得出M，N的坐標，得出直線BN、MC的解析式然后解方程組即可.【題目詳解】解：（1）由題意得：∴解得，∴拋物線的方點坐標是，.（2）過點作軸的平行線交于點.易得平移后拋物線的表達式為，直線的解析式為.設，則.∴∴∴當時，的面積最大，最大值為.(3)如圖所示，過點C作交x軸于點M，作交y軸于點N由已知條件得出點B的坐標為B(3,0)，C的坐標為C(0,3)，∴△COB是等腰直角三角形，∴可得出M、N的坐標分別為：M(-3,0)，N(0,-3)直線CM的解析式為：y=x+3直線BN的解析式為：y=x-3由此可得出：或解方程組得出：或∴或【題目點撥】本題是一道關于二次函數(shù)的綜合題目，解題的關鍵是根據題意得出拋物線與直線的解析式.21、（1）b=1，c=6；（2）0＜m＜2或m＜-1；（2）-1＜m≤1且m≠0，（3）m的值為：或或或.【分析】（1）求出A、點B的坐標代入二次函數(shù)表達式即可求解；

（2）當0＜m＜2時，以PQ為邊作正方形PQMN，使MN與y軸在PQ的同側，此時，N點在直線AB上，同樣，當m＜-1，此時，N點也在直線AB上即可求解；

（2）當-1＜m＜2且m≠0時，PQ=-m2+m+6-（-m+2）=-m2+2m+2，c=3PQ=-3m2+8m+12即可求解；

（3）分-1＜m≤2、m≤-1，兩種情況求解即可．【題目詳解】（1）把y=0代入y=-x+2，得x=2．

∴點A的坐標為（0，2），

把x=-1代入y=-x+2，得y=3．

∴點B的坐標為（-1，3），

把（0，2）、（-1，3）代入y=-x2+bx+c，

解得：b=1，c=6；

（2）當0＜m＜2時，

以PQ為邊作正方形PQMN，使MN與y軸在PQ的同側，此時，N點在直線AB上，

同樣，當m＜-1，此時，N點也在直線AB上，

故：m的取值范圍為：0＜m＜2或m＜-1；

（2）當-1＜m＜2且m≠0時，

PQ=-m2+m+6-（-m+2）=-m2+2m+2，

∴c=3PQ=-3m2+8m+12；

c隨m增大而增大時m的取值范圍為-1＜m≤1且m≠0，

（3）點P（m，-m2+m+6），則Q（m，-m+2），

①當-1＜m≤2時，

當△PQM與y軸只有1個公共點時，PQ=xP，

即：-m2+m+6+m-2=m，

解得：（舍去負值）；②當m≤-1時，

△PQM與y軸只有1個公共點時，PQ=-xQ，

即-m+2+m2-m-6=-m，整理得：m2-m-2=0，

解得：（舍去正值），

③m＞2時，

同理可得：（舍去負值）；

④當-1＜m＜0時，

PQ=-m，

解得：故m的值為：或或或.【題目點撥】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形和正方形相關知識，本題解題的關鍵是通過畫圖確定正方形或三角形所在的位置，此題難度較大．22、(1)見解析；(2)（4，1），（1，1）．【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出B、C點的對應點B′、C′即可；（2）利用（1）所畫圖形寫出點B′的坐標，點C′的坐標．【題目詳解】解：（1）如圖，△ABC′為所作；（2）點B′的坐標為（4，1），點C′的坐標為（1，1）．故答案為（4，1），（1，1）．【題目點撥】本題考查了坐標和圖形的變化-旋轉，作出圖形，利用數(shù)形結合求解更加簡便23、（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）首先利用矩形和平行四邊形平行的性質得出和，然后利用相似三角形對應邊成比例，即可得證；（2）利用平行四邊形對角線的性質以及勾股定理和相似三角形的性質進行等量轉換，即可得解.【題目詳解】（1）證明：∵是矩形，且，∴．∴．又∵是平行四邊形，且AC∥DE∴，∴．∴．∴．（2）∵四邊形為平行四邊形，，相交點，∴∴在直角三角形中，∴又∵，∴．∴∴．【題目點撥】此題主要考查相似三角形的判定與性質以及勾股定理的運用，熟練掌握，即可解題.24、（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形ABED的面積為1．【分析】（1）由平行線的性質和公共角即可得出結論；（2）先證明四邊形ABED是平行四邊形，再證出AD＝AB，即可得出四邊形ABED為菱形；（3）連接AE交BD于O，由菱形的性質得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性質得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面積公式即可得出結果．【題目詳解】（1）證明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）證明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四邊形ABED為菱形；（3）解：連接AE交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABED為菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，∴四邊形ABED的面積＝AE×BD＝×8×6＝1．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的判定和性質、平行四邊形的判定、勾股定理、菱形的面積公式，熟練掌握相似三角形的判定與性質，證明四邊形是菱形是解題的關鍵．25、（1）①證明見解析；②CE＝；（2）當△ABC是“類直角三角形”時，AC的長為或．【分析】（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．②如圖1中,假設在AC邊設上存在點E（異于點D）,使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構建方程即可解決問題．（2）分兩種情形:①如圖2中,當∠ABC+2∠C=90°時,作點D關于直線AB的對稱點F,連接FA,FB．則點F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如圖3中,由①可知,點C,A,F共線,當點E與D共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題．【題目詳解】（1）①證明:如圖1中,∵BD是∠