浙江省杭州市西湖區(qū)仁和實驗學校2023-2022學年九年級下學期數學第一次月考測試題（含解析）

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2023-2022學年第二學期九年級數學第一次月考測試題（附答案）

一、選擇題（共30分)

1．若＝，則的值為（）

A．B．C．D．

2．已知粉筆盒里只有2支黃色粉筆和3支紅色粉筆，每支粉筆除顏色外均相同，現從中任取一支粉筆，則取出黃色粉筆的概率是（）

A．B．C．D．

3．⊙O的弦AB的長為8cm，弦AB的弦心距為3cm，則⊙O的半徑為（）

A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm

4．把拋物線y＝3x2先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，所得拋物線的解析式是（）

A．y＝3（x+3）2﹣2B．y＝3（x+3）2+2

C．y＝3（x﹣3）2﹣2D．y＝3（x﹣3）2+2

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則cosB的值為（）

A．B．C．D．

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝35°，則∠OBA的度數為（）

A．50°B．60°C．70°D．55°

7．如圖，在△ABC中，中線BE、CD相交于點O，連接DE，則△ODE的面積與△OBC的面積比是（）

A．B．C．2D．4

8．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是拋物線y＝﹣2x2﹣8x+m上的點，則（）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1

9．如圖，⊙O的半徑為8，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P從點A運動到點D時，點Q所經過的路徑長為（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿B→C，C→D運動，點F運動到點D時停止，點E運動到點C時停止．設運動時間為t（單位：s），△OEF的面積為S（單位：cm2），則S與t的函數關系可用圖象表示為（）

A．B．C．D．

二、填空題（共24分)

11．拋物線y＝﹣x2﹣6x+2的對稱軸為直線．

12．扇形半徑為3cm，弧長為5πcm，則它的面積為cm2．

13．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y＝的一部分（如圖），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離l是米．

14．如圖點A是半圓上一個三等分點（靠近點N這一側），點B是弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，若⊙O半徑為3，則AP+BP的最小值為．

15．如圖，AD是△ABC的中線，點E是線段AD上的一點，且AE＝AD，CE交AB于點F．若AF＝2cm，則AB＝cm．

16．已知直線y＝2x﹣5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點M在線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，則拋物線的解析式為；

（2）當拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點M在直線AB上平移時，若△OMN與△AOB相似，則點M的坐標為．

三、解答題（共66分)

17．計算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°

18．一只不透明的袋子中裝有4個質地、大小均相同的小球，這些小球分別標有數字2、3、4、x．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這2個小球上數字之和，記錄后都將小球放回袋中攪勻，進行重復實驗．實驗數據如表：

摸球總次數20306090120180240330450

“和為7”出現的頻數10132430375882110150

“和為7”出現的頻率0.500.430.400.330.310.320.340.330.33

解答下列問題：

（1）如果實驗繼續(xù)進行下去，根據上表數據，出現“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，估計出現“和為7”的概率是；

（2）當x＝5時，請用列表法或樹狀圖法計算“和為7”的概率．

19．如圖，線段AB的端點在邊長為1的小正方形網格的格點上，現將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到線段AC．

（1）請在網格中畫出線段AC及點B經過的路徑．

（2）求B經過路徑長．

20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，點E在AD邊上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．

（1）求證：△ABE∽△DEF；

（2）求EF的長．

21．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E．

（1）求證：BD＝CD；

（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求陰影部分的面積．

22．某農場要建一個飼養(yǎng)場（長方形ABCD），飼養(yǎng)場的一面靠墻（墻最大可用長度為27米），另三邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），建成后木欄總長60米，設飼養(yǎng)場（長方形ABCD）的寬為x米．

（1）求飼養(yǎng)場的長BC（用含x的代數式表示）．

（2）若飼養(yǎng)場的面積為270m2，求x的值．

（3）當x為何值時，飼養(yǎng)場的面積最大，此時飼養(yǎng)場達到的最大面積為多少m2？

23．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在

P，三角板繞P點旋轉．

（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，求證：△BPE∽△CFP；

（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F，

①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結論）

②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；

③設EF＝m，△EPF的面積為S，試用m的代數式表示S（直接寫出答案即可）

24．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0），分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點D．

（1）求點D的坐標．

（2）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a＝﹣．

①求該拋物線的解析式；

②連接CD．問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若該拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是4個，請直接寫出a的取值范圍．

參考答案

一、選擇題（共30分)

1．解：∵＝，

∴3a＝5b，

∴a＝b，

∴＝＝，

故選：A．

2．解：∵粉筆盒里只有2支黃色粉筆和3支紅色粉筆共有2+3＝5支粉筆，其中黃色粉筆有2支，

∴從中任取一支粉筆，取出黃色粉筆的概率是＝．

故選：B．

3．解：如圖

∵AE＝AB＝4cm

∴OA＝＝＝5cm．

故選：B．

4．解：原拋物線的頂點為（0，0），先向左平移3個單位，再向上平移2個單位．那么新拋物線的頂點為（﹣3，2）．可設新拋物線的解析式為y＝3（x﹣h）2+k，代入得：y＝3（x+3）2+2．

故選：B．

5．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，cosB＝＝．

故選：B．

6．解：∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣70°）＝55°．

故選：D．

7．解：∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，即＝，

DE∥BC，

∴△DOE∽△COB，

∴＝（）2＝，

故選：B．

8．解：拋物線y＝﹣2x2﹣8x+m的對稱軸為x＝﹣2，且開口向下，x＝﹣2時取得最大值．

∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距離大于﹣1到﹣2的距離，根據二次函數的對稱性，y3＜y1．

∴y3＜y1＜y2．

故選：C．

9．解：連接OP，如圖所示：

∵AB⊥CD，PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，

∴四邊形ONPM是矩形，

∴OP＝MN，

又∵點Q為MN的中點，

∴點Q為OP的中點，

則OQ＝OP＝4，

點Q走過的路徑長＝＝2π．

故選：A．

10．解：∵在矩形ABCD中，AB＝2cm，

∴CD＝AB＝2cm，

∵點E、點F的速度都是1cm/s，

∴BE＝t、CE＝4﹣t、CF＝t、DF＝2﹣t，

∵O是對角線AC、BD的交點，

∴點O到BC的距離是1，到CD的距離是2，

①0≤t≤2時，

△OEF的面積為S＝S△BCD﹣S△OBE﹣S△CEF﹣S△ODF

＝×4×2﹣t1﹣（4﹣t）t﹣（2﹣t）2

＝4﹣t﹣2t+t2﹣2+t

＝t2﹣t+2，

②2＜t≤4時，

△OEF的面積為S＝S△BCD﹣S△OBE﹣S△CEF

＝×4×2﹣t1﹣（4﹣t）2

＝4﹣t﹣4+t

＝t，

縱觀各選項，只有A選項圖形符合．

故選：A．

二、填空題（共24分)

11．解：∵拋物線y＝﹣x2﹣6x+2＝﹣（x+3）2+11，

∴該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣3，

故答案為：x＝﹣3．

12．解：扇形的面積為：lR＝×3×5π＝πcm2．

故答案為：π．

13．解：把y＝3.05代入y＝中得：

x1＝1.5，x2＝﹣1.5（舍去），

∴l(xiāng)＝1.5+2.5＝4米．

故答案為：4

14．解：作B點關于MN的對稱點B′，連接OA、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如圖，

∵P′B＝P′B′，

∴P′A+P′B＝P′A+P′B′＝AB′，

∴此時P′A+P′B的值最小，

∵點A是半圓上一個三等分點，

∴∠AON＝60°，

∵點B是弧AN的中點，

∴∠BPN＝∠B′ON＝30°，

∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，

∴△AOB′為等腰直角三角形，

∴AB′＝OA＝3，

∴AP+BP的最小值為3．

故答案為3．

15．解：如圖所示，過A作AG∥BC，交CF的延長線于G，

∵AE＝AD，AG∥BC，

∴△AEG∽△DEC，

∴＝＝，

又∵AD是△ABC的中線，

∴BC＝2CD，

∴＝，

∵AG∥BC，

∴△AFG∽△BFC，

∴＝＝，

∴BF＝4AF＝8cm，

∴AB＝AF+BF＝10cm，

故答案為：10．

16．解：（1）直線y＝2x﹣5與x軸和y軸分別交于點A和點B，

則點A、B的坐標分別為：（，0）、（0，﹣5），

則拋物線的頂點為（，0），則拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣）2，

則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+5x﹣，

故答案為：y＝﹣x2+5x﹣；

（2）設點M（m，2m﹣5），點N（x，y），

將拋物線表達式與直線表達式聯(lián)立并整理得：

﹣（x﹣m）2+2m﹣5＝2x﹣5，

x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，

（x﹣m）（x﹣m+2）＝0，

則x＝m或m﹣2，故點N（m﹣2，2m﹣9），

則MN＝2，則AB＝，

①當∠OMN＝90°時，

則直線OM表達式中的k值為﹣，

即＝﹣，解得：m＝2，

故點M、N的坐標分別為：（2，﹣1）、（0，﹣5），

則OM＝，ON＝5，

經驗證：，滿足△OMN與△AOB相似，

故點M（2，﹣1）；

②當∠ONM＝90°時，

同理可得：點M（4，3）；

③當∠MON＝90°時，

過點M、N分別作y軸的垂線交于點G、H，

∵∠GMO+∠GOM＝90°，∠GOM+∠HON＝90°，

∴∠GMO＝∠HON＝α，則tan∠GMO＝tan∠HON，

即：，解得：m＝3，

故點M（3，1）（△OMN為等腰直角三角形，故舍去）；

綜上，點M的坐標為：（2，﹣1）、（4，3），

故答案為：（2，﹣1）、（4，3）．

三、解答題（共66分)

17．解：原式＝3×+﹣2×

＝+﹣

＝．

18．解：（1）利用圖表得出：實驗次數越大越接近實際概率，所以出現“和為7”的概率是0.33；

故答案為：0.33；

（2）當x＝5時，如圖，

共有12種情況，和是6的情況共2種，“和為7”的概率＝＝；

19．解：（1）如圖，線段AC，即為所求．

（2）∵AB＝AC＝＝5，∠BAC＝90°，

∴的長＝＝．

20．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°，

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠ABE，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，

∴BE＝＝10，DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，

∴，

解得：EF＝．

21．（1）證明：連接AD，

∵AB為⊙O直徑，

∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD；

（2）解：連接OE，

∵AB＝4，∠BAC＝45°，

∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，

∴S陰＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．

22．解：（1）由圖可得，

BC的長是60﹣3x+1+2＝（63﹣3x）（米），

即BC的長是（63﹣3x）米；

（2）令x（63﹣3x）＝270，

解得，x1＝6，x2＝15，

∵63﹣3x≤27，得x≥12，

∴x＝15，

即x的值是15；

（3）設飼養(yǎng)場的面積是Sm2，

S＝x（63﹣3x）＝﹣3（x﹣）2+，

∵63﹣3x≤27，得x≥12，

∴當x＝12時，S取得最大值，此時S＝324，

答：當x為12時，飼養(yǎng)場的面積最大，此時飼養(yǎng)場達到的最大面積為324m2．

23．（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，

∴∠BPE+∠BEP＝150°，

又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，

∴∠BPE+∠CPF＝150°，

∴∠BEP＝∠CPF，

∴△BPE∽△CFP（兩角對應相等的兩個三角形相似）．

（2）解：①結論：△BPE∽△CFP．

理由：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，

∴∠BPE+∠BEP＝150°，

又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，

∴∠BPE+∠CPF＝150°，

∴∠BEP＝∠CPF，

∴△BPE∽△CFP

②結論：△BPE與△PFE相似．

理由：∵△BPE∽△CFP，

∴＝，而CP＝BP，因此＝，

又因為∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．

③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP＝∠PEF．

分別過點P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分別為M、N，則PM＝PN．

連AP，在Rt△ABP中，由∠B＝30°，AB＝4，可得AP＝2．

所以PM＝，所以PN＝，

所以S＝PN×EF＝m．

24．解：（1）過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠DBF＝∠BAO，

又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，

∴D的坐標是（3，1），

（2）①根據題意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，

解得：b＝，

∴拋物線的解析式為y＝．

②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，

∴C（，1），

∵C、D兩點的縱坐標都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD＝∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB＝∠BAO，

設P的坐標為（x，），

（Ⅰ）當P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，

則tan∠POB＝tan∠BAO，即，

∴，

解得：x1＝0（舍去），，