河北省石家莊市趙縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河北省石家莊市趙縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一機構(gòu)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生平均每人每周零花錢X（單位：元）

的使用情況，分下列四種情況統(tǒng)計：①；②；③；④．調(diào)查了10000名中學(xué)生，下圖是此次調(diào)查中某一項的流程圖，其輸出的結(jié)果是7300，則平均每人每周零花錢在元內(nèi)的學(xué)生的頻率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A

2.如右圖，在ΔABC中，延長CB到D，使的值是（

） A．1 B．3 C．-1 D．2參考答案：B略3.△ABC中，若，，則=(

)A． B． C． D．參考答案：B略4.設(shè)集合，則

（

）

A．{1}

B．{1，2}

C．{2}

D．{0，1，2}

參考答案：答案：D5.如圖所示，矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，由此我們可估計出陰影部分的面積約為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A因為，所以。6.已知函數(shù)，函數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的值為的函數(shù)值的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.函數(shù)y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在區(qū)間（﹣π，π）上單調(diào)遞增，則φ的最大值是(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：余弦函數(shù)的圖象．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由題意可得（﹣π）+φ≥π+2kπ，且?π+φ≤2π+2kπ，k∈z．再結(jié)合0≤φ＜2π，可得φ的最大值．解答： 解：∵函數(shù)y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在區(qū)間（﹣π，π）上單調(diào)遞增，∴（﹣π）+φ≥π+2kπ，且?π+φ≤2π+2kπ，k∈z，解得2kπ+≤φ≤+2kπ．再結(jié)合0≤φ＜2π，可得φ的最大值是，故選：C．點評：本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．8.已知MOD函數(shù)是一個求余函數(shù)，其格式為MOD（n，m），其結(jié)果為n除以m的余數(shù)，例如MOD（8，3）=2．下面是一個算法的程序框圖，當(dāng)輸入的值為36時，則輸出的結(jié)果為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點】EF：程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，依次計算MOD（n，i）的值，由題意∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，共要循環(huán)7次，從而得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3滿足條件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4滿足條件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5滿足條件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循環(huán)7次，故j=7．故選：D．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的MOD（n，i）的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9.有下列命題：①在函數(shù)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；②函數(shù)y=的圖象關(guān)于點（﹣1，1）對稱；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則?p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．其中所有真命題的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】①，利用兩角和與差的余弦公式及二倍角公式可將化為y=cos2x，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷①；②，由函數(shù)y==1+的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，可判斷②；③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要條件，可判斷“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要條件，可判斷③；④，利用全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系可判斷④；⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分類討論后可判斷⑤．【解答】解：對于①，在函數(shù)=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x的圖象中，其周期T=π，相鄰兩個對稱中心的距離為=，故①錯誤；對于②，函數(shù)y==1+的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，故②錯誤；對于③，因為“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要條件，所以，其逆否命題“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要條件，故③錯誤；對于④，已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則?p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正確；對于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則（3sinA+4cosB）2+（4sinB+3cosA）2=62+12=37，整理可得sin（A+B）=，所以C=30°或150°．當(dāng)C=150°時，A+B=30°，3sinA+4cosB＜×3+4＜6，與已知矛盾，故C≠150°，故⑤錯誤．綜上所述，正確命題為④．故選：A．【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查兩角和與差的余弦公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查充分必要條件、全稱命題與特稱命題的應(yīng)用與解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想．10.己知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與雙曲線=1兩條漸近線分別交于A，B兩點，且|AB|=2，則雙曲線的離心率e為（）A．2B．C．D．參考答案：C考點：拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出y2=4x的準(zhǔn)線l：x=﹣，由C與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|=2，從而得出A（﹣，1），B（﹣，﹣1），將A點坐標(biāo)代入雙曲線方程結(jié)合a，b，c的關(guān)系式得出出a，c的關(guān)系，即可求得離心率．解答：解：∵y2=4x的準(zhǔn)線l：x=﹣，∵雙曲線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l：x=﹣交于A，B兩點，|AB|=2，∴A（﹣，1），B（﹣，﹣1），將A點坐標(biāo)代入雙曲線方程得，∴3b2﹣a2=a2b2，?a2=（3﹣a2）b2即a2=（3﹣a2）（c2﹣a2），?．則雙曲線的離心率e為．故選C．點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三棱錐P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面與正三棱錐的底面所在平面重合，正三棱錐的三個側(cè)面都與半球相切，如果半球的半徑為2，則當(dāng)正三棱錐的體積最小時，正三棱錐的高等于．參考答案：2【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，設(shè)三棱錐的高PO=x，底面△ABC的AB邊上的高CD=y，求出x，y的關(guān)系，推出體積的表達式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出高的值．【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形如下，其中，立體圖形只畫出了半球的底面．設(shè)三棱錐的高PO=x，底面△ABC的AB邊上的高CD=3?OD=3y在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，則=，而PD=，即=，整理得x2y2=x2+4y2，所以y2=，而三棱錐P﹣ABC的體積等于×底面△ABC的面積×高PO，即V=××AB×CD×PO=××2y×3y×x=y2x=，對體積函數(shù)求導(dǎo)，得V′=，令V′=0，解得唯一正解x=2，由該體積函數(shù)的幾何意義可知x=2為其體積最小值點，故三棱錐體積最小時Vmin=6，高為2．故答案為：2．【點評】本題考查幾何體的內(nèi)接球的問題，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．12.若直線y=kx與曲線y=x+e﹣x相切，則k=

．參考答案：1﹣e【分析】設(shè)切點為（x0，y0），求出y=x+e﹣x的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，利用切點在直線上，代入方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)切點為（x0，y0），則y0=x0+e﹣x0，∵y′=（x+e﹣x）′=1﹣e﹣x，∴切線斜率k=1﹣e﹣x0，又點（x0，y0）在直線上，代入方程得y0=kx0，即x0+e﹣x0=（1﹣e﹣x0）x0，解得x0=﹣1，∴k=1﹣e．故答案為：1﹣e．【點評】本題考查切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運用直線方程是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．13.觀察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…以上等式都是成立的，照此寫下去，第2015個成立的等式是

．參考答案：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152考點：歸納推理．專題：推理和證明．分析：根據(jù)已知中的式子，分析等式兩邊各項的底數(shù)變化情況與式子編號之間的關(guān)系，歸納出規(guī)律后，可得答案．解答： 解：由已知中的等式：觀察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…歸納可得：第n個成立的等式是：×n3+×n2+×n=12+22+32+42+…+n2，當(dāng)n=2015時，第2015個成立的等式是：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152故答案為：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．14.(－an)=b，則a+b=

.參考答案：答案：－1015.已知α，β為不重合的兩個平面，直線mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A16.已知：點P的坐標(biāo)（x，y）滿足：及A（2，0），則||·cos∠AOP（Ｏ為坐標(biāo)原點）的最大值是

.參考答案：5

略17.設(shè)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12,則的最小值為______．參考答案：【分析】先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點(4,6)時取得最大值,從而得到一個關(guān)于a,b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為：．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)：

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對于任意的，若函數(shù)在區(qū)間上有最值，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案：已知得的定義域為，且，

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；（2）在區(qū)間上有最值，在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，略19.已知函數(shù)f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得出極值點，根據(jù)極值點求閉區(qū)間函數(shù)的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)進行分類討論，即最大值大于零即可．【解答】（本大題滿分12分）（1）f'（x）=1﹣2cosx，…（2分）xy'

+0﹣0+

y↗極大值↘極小值↗…（6分）（2）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0設(shè)g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，則g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此時g'（x）＜0得出g（x）在單調(diào)遞減，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）②1﹣a≤0即a≥1，此時g'（x）＞0得出g（x）在單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一，使得．當(dāng)x∈（0，x0）時，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，∴存在，有g(shù)（x）＞0成立…（11分）綜上可知：a＞﹣1…（12分）【點評】考查了導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間函數(shù)的最值和存在問題的轉(zhuǎn)化思想．20.（本小題滿分12分）對于函數(shù)，解答下述問題：（1）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)a的值；參考答案：記，（1）恒成立，， 的取值范圍是；（2）.∵的值域是，∴命題等價于；即a的值為±1；21.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值．參考答案：【命題意圖】本小題主要考查直線與平面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，二面角余弦值的求解等基礎(chǔ)知識，考查空間想像能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等．【試題簡析】解法一：（Ⅰ）在底面中，，，所以，，所以，所以， 1分又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 2分又平面，所以， 3分又即，又， 4分所以平面. 5分（Ⅱ）分別延長和相交于一點，連結(jié)，則直線即為所求直線， 6分在平面內(nèi)過作（如圖），又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以兩兩互相垂直