第一章 空間向量與立體幾何（章末小結） 課件

章末小結選擇性必修第一冊

第一章《空間向量與立體幾何》知識網絡本章學習目標(1)了解空間向量的相關概念；(2)理解共線向量定理、共面向量定理、空間向量基本定理；(3)會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，并進行向量的加法和減法運算，了解向量加法的交換律和結合律；(4)掌握空間向量數乘、數量積運算的意義及運算律；(5)會用空間向量的基底法和坐標法，證明立體幾何中的平行或垂直問題，求解空間中的距離和夾角問題；知識梳理——1.空間向量相關概念

知識梳理——1.空間向量相關概念9.共線(平行)向量：(定義1)若干有向線段所在直線互相平行或重合的空間向量；(定義2)若干方向相同或相反的空間向量；

11.共面向量：平行于同一個平面的向量.②任意兩個空間向量必共面.③任意三個空間向量可能共面，也可能不共面.注：①共面向量所在直線可能平行、重合、相交或異面.知識梳理——1.空間向量相關概念12.直線的方向向量：直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數個．13.平面的法向量：直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數個，它們是共線向量．位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0知識梳理——1.空間向量相關概念長度比+方向14.投影向量：知識梳理——1.空間向量相關概念15.空間直角坐標系：

②通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它們把空間分成8個部分.知識梳理——1.空間向量相關概念15.空間直角坐標系：

知識梳理——1.空間向量相關概念

知識梳理——1.空間向量相關概念點的位置x軸上y軸上z軸上xOy平面xOz平面yOz平面點的坐標(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)已知點A(x,y,z)，則：①點A關于x軸對稱的點為A1___________;②點A關于y軸對稱的點為A2___________;③點A關于z軸對稱的點為A3___________.④點A關于原點對稱的點為A4___________.⑤點A關于Oxy平面對稱的點為A5__________;⑥點A關于Oxz平面對稱的點為A6__________;⑦點A關于Oyz平面對稱的點為A7__________.(x

,y

,-z)(-x,y

,z)(x,-y,z)(x

,-y,-z)(-x,-y,z)(-x,y

,-z)(-x,-y,-z)規(guī)律：關于誰對稱，誰就不變！其余互為相反數。知識梳理——1.空間向量相關概念18.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.①記作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D②二面角θ的范圍是[0，π]19.平面與平面的夾角的定義：平面α與平面β相交所形成的4個二面角中，把其中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．知識梳理——2.空間向量相關定理1.共線向量定理：對于任意兩個空間向量

，

①作用：判定兩個向量是否共線(找λ).②推論：判定三點是否共線(同起點&系數和為1;或轉化為向量共線).知識梳理——2.空間向量相關定理2.共面向量定理：作用:判定三個向量是否共面(找x,y).推論:判定四點是否共面(同起點/系數和為1，或轉化為三個向量共面).知識梳理——2.空間向量相關定理

④若三個向量中存在一個向量可用另外兩個向量表示，則三向量共面，不可構成基底.知識梳理——3.空間向量的運算(線性運算)加法：(三角形法則，首尾接)(平行四邊形法則，同起點)減法：

(三角形法則，同起點/指向被減向量)數乘：(結果仍是一個向量)交換律：結合律：分配律：同起點的兩個平面向量的和向量為平行四邊形的對角線所在向量；同起點的三個空間向量的和向量為平行六面體的體對角線所在向量.知識梳理——3.空間向量的運算(數量積)OAB2.零向量與任意向量的數量積為0：1.向量的數量積運算結果是一個數；“·”不可省略3.求模：4.空間向量的數量積的運算律：如:知識梳理——3.空間向量的運算(數量積)OAB1.找角：兩向量同起點2.范圍：3.求角：4.向量夾角與數量積的關系：知識梳理——3.空間向量的運算(坐標運算)

向量運算向量表示坐標表示加法減法數乘數量積(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3知識梳理——3.空間向量的運算(坐標運算)

方法歸納1.1基底的判斷：若三個向量不共面，則可作為空間向量的一個基底．①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；②存在一個向量可以用另外兩個向量表示，則三向量共面；②假設三向量共面，建立x,y的方程組，若無解，則不共面，若有解，則共面.1.2基底的構建：常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并盡量選已知夾角和長度的向量．1.3用基底表示向量：結合向量的加減法運算法則尋找目標向量與基向量的關系.1.4基底的運用：用基底法解決立體幾何中的垂直、共線、角度、模長等問題.方法歸納1.5基底的運用：用基底法解決立體幾何中的垂直、共線、角度、模長等問題.首先根據幾何體的特點，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數量積為0．(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線．(3)若要求異面直線所成的角，則轉化為兩向量的夾角(或其補角)．方法歸納2.利用空間向量的坐標運算求夾角或距離的一般步驟

(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系；

(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標；

(3)坐標運算：結合公式進行計算、論證；

(4)翻譯：將坐標運算的結果翻譯為夾角或距離等集合語言.方法歸納

求法：先求兩向量夾角余弦值→設空間角為θ→下結論(取絕對值or定正負)方法歸納4.1求點到直線的距離：

②等面積法(將點線距離視為三角形的高)兩條平行直線m,l間的距離轉化為直線m上任一點到直線l的距離4.2求直線到直線的距離：方法歸納4.3求點到平面的距離：①等體積法(將點面距離看作三棱錐的高)

③找垂線法(過點找面的垂線)平行于平面的直線到平面的距離轉化為線上任意一點到平面的距離兩個平行平面間的距離轉化為平面內任意一點到平面的距離方法歸納5.1證線線平行：①證平行四邊形得對邊平行；②中位線；③對應線段成比例；④平行線的傳遞性；⑤線面平行的定義⑥兩直線的方向向量共線(直接法/基底法/坐標法找λ)5.2證線面平行：①線面平行的判定定理：幾何法、基底法、坐標法平面外的直線l與平面α內的一條直線平行，則l//α.②法向量坐標法：直線的方向向量與平面的法向量垂直③直線的方向向量與平面內兩個不共線的