第十章 群與環(huán)

1第十章群與環(huán)主要內(nèi)容群的定義與性質(zhì)子群與群的陪集分解循環(huán)群與置換群環(huán)與域2半群、獨(dú)異點與群的定義半群、獨(dú)異點、群的實例群中的術(shù)語群的基本性質(zhì)10.1群的定義與性質(zhì)3半群、獨(dú)異點與群的定義定義10.1(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運(yùn)算，如果°運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運(yùn)算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨(dú)異點.有時也將獨(dú)異點V記作

V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨(dú)異點，e

S關(guān)于°運(yùn)算的單位元，若

a

S，a

1

S，則稱V是群.通常將群記作G.4實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨(dú)異點(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨(dú)異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3)<P(B),

>為半群，也是獨(dú)異點，其中

為集合對稱差運(yùn)算(4)<Zn,

>為半群，也是獨(dú)異點，其中Zn={0,1,…,n

1}，

為模n加法(5)<AA,?>為半群，也是獨(dú)異點，其中?為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算(6)<R*,?>為半群，其中R*為非零實數(shù)集合，?運(yùn)算定義如下：

x,y

R*,x?y=y5例2

設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae實例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運(yùn)算結(jié)果都等于剩下的第三個元素6有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.實例：<Z,+>和<R,+>是無限群，<Zn,

>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.7定義10.3

設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.

群中元素的冪群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪.在<Z3,

>中有

2

3

=(21)3=13=11

1=0

在<Z,+>中有

(2)

3

=23=2+2+2=6

8元素的階定義10.4

設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元.例如，在<Z6,

>中，

2和4是3階元，

3是2階元，

1和5是6階元，

0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.9群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則定理10.1

設(shè)G為群，則G中的冪運(yùn)算滿足：(1)

a∈G，(a

1)

1=a(2)

a,b∈G，(ab)

1=b

1a

1(3)

a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)

a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.證(1)(a

1)

1是a

1的逆元，a也是a

1的逆元.根據(jù)逆元唯一性，等式得證.(2)(b

1a

1)(ab)=b

1(a

1a)b=b

1b=e,同理(ab)(b

1a

1)=e，故b

1a

1是ab的逆元.根據(jù)逆元的唯一性等式得證.10群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，

a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.例3

設(shè)群G=<P({a,b}),

>，其中

為對稱差.解下列群方程：

{a}

X=

，Y

{a,b}=解X={a}

1

={a}

={a}，

Y=

{a,b}

1=

{a,b}={a}證a

1b代入方程左邊的x得

a(a

1b)=(aa

1)b=eb=b所以a

1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a

1a)c=a

1(ac)=a

1b

同理可證ba

1是方程ya=b的惟一解.11群的性質(zhì)：消去律定理10.3

G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G

有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.證明略例4

設(shè)G={a1,a2,…,an}是n階群，令

aiG={aiaj

|j=1,2,…,n}證明aiG=G.證由群中運(yùn)算的封閉性有aiG

G.假設(shè)aiG

G，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得

aiaj

=aiak

（j≠k）由消去律得aj

=ak,與|G|=n矛盾.群的性質(zhì)：元素的階證(1)充分性.由于r|k，必存在整數(shù)m使得k=mr，所以有

ak

=amr

=(ar)m

=em=e.必要性.根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得

k=mr+i,0≤i≤r

1從而有e=ak

=amr+i=(ar)mai=eai

=ai因為|a|=r，必有i=0.這就證明了r|k.(2)由(a

1)r=(ar)

1=e

1=e可知a

1的階存在.令|a

1|=t，根據(jù)上面的證明有t|r.a又是a

1的逆元，所以r|t.從而證明了r=t，即|a

1|=|a|定理10.4

G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，則(1)ak=e當(dāng)且僅當(dāng)r|k

(2)|a

1|=|a|13實例例5

設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明(1)|b

1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|證(1)設(shè)|a|=r，|b

1ab|=t，則有

從而有t|r.另一方面，由a=(b

1)

1(b

1ab)b

1可知

r|t.從而有|b

1ab|=|a|.14實例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有

由消去律得(ab)t=e，從而可知，r|t.同理可證t|r.因此|ab|=|ba|.1510.2

子群與群的陪集分解定義10.5

設(shè)G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且H

G，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當(dāng)n≠1時,nZ是Z的真子群.

對任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

16子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)(1)

a,b∈H有ab∈H(2)

a∈H有a

1∈H.證必要性是顯然的.為證明充分性，只需證明e∈H.因為H非空，存在a∈H.由條件(2)知a

1∈H，根據(jù)條件(1)aa

1∈H，即e∈H.17子群判定定理2定理10.6

（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

a,b∈H有ab

1∈H.

證必要性顯然.只證充分性.因為H非空，必存在a∈H.根據(jù)給定條件得aa

1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H

得ea

1∈H，即a

1∈H.任取a,b∈H，知b

1∈H.再利用給定條件得a(b

1)

1∈H，即ab∈H.綜合上述，可知H是G的子群.18子群判定定理3定理10.7

（判定定理三）

設(shè)G為群，H是G的非空有窮子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

a,b∈H有ab∈H.證必要性顯然.為證充分性，只需證明a∈H有a

1∈H.任取a∈H,若a=e,則a

1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，則S

H.由于H是有窮集，必有ai

=aj（i<j）.根據(jù)G中的消去律得aj

i

=e，由a≠e可知j

i>1，由此得

aj

i

1a=e

和aaj

i

1=e從而證明了a

1=aj

i

1∈H.19典型子群的實例:生成子群定義10.6

設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證首先由a∈<a>知道<a>≠

.任取am,al∈<a>，則

am(al)

1=ama

l

=am

l∈<a>根據(jù)判定定理二可知<a>≤G.實例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,

>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.20典型子群的實例:中心C定義10.7

設(shè)G為群,令

C={a|a∈G∧

x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.任取a,b∈C，只需證明ab

1與G中所有的元素都可交換.

x∈G，有

(ab

1)x=ab

1x=ab

1(x

1)

1

=a(x

1b)

1=a(bx

1)

1=a(xb

1)=(ax

1)b

1=(xa)b

1=x(ab

1)由判定定理二可知C≤G.對于阿貝爾群G，因為G中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G.但是對某些非交換群G，它的中心是{e}.21典型子群的實例:子群的交例6

設(shè)G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群(2)H∪K是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)H

K或K

H證(1)由e∈H∩K

知H∩K非空.任取a,b∈H∩K，則a∈H,a∈K,b∈H,b∈K.必有ab

1∈H和ab

1∈K，從而ab

1∈H∩K.因此H∩K

G.(2)充分性顯然，只證必要性.用反證法.假設(shè)H?K且K?H，那么存在h和k使得

h∈H∧h

K,k∈K∧k

H推出hk

H.否則由h

1∈H得k=h

1(hk)∈H，與假設(shè)矛盾.同理可證hk

K.從而得到hk

H∪K.與H∪K是子群矛盾.22圖1定義10.8

設(shè)G為群,令

L(G)={H|H是G的子群}則偏序集<L(G),

>稱為G的子群格子群格實例：Klein四元群的子群格如下：

23陪集定義與實例定義10.9

設(shè)H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個，即H和{b,c}.

24實例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}

f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下：

Hf1={f1

f1,f2

f1}=H,Hf2={f1

f2,f2

f2}=H

Hf3={f1

f3,f2

f3}={f3,f5},Hf5={f1

f5,f2

f5}={f5,f3}

Hf4={f1

f4,f2

f4}={f4,f6},Hf6={f1

f6,f2

f6}={f6,f4}結(jié)論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.25陪集的基本性質(zhì)定理10.8

設(shè)H是群G的子群，則(1)He=H(2)

a∈G有a∈Ha證(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H

(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha26定理10.9

設(shè)H是群G的子群，則

a,b∈G有

a∈Hb

ab

1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證先證a∈Hb

ab

1∈H

a∈Hb

h(h∈H∧a=hb)

h(h∈H∧ab

1=h)

ab

1∈H

再證a∈Hb

Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h

1a

任取h1a∈Ha，則有

h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb

從而得到Ha

Hb.反之，任取h1b∈Hb，則有

h1b=h1(h

1a)=(h1h

1)a∈Ha從而得到Hb

Ha.綜合上述，Ha=Hb得證.27定理10.10

設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：

a,b∈G,<a,b>∈R

ab

1∈H則R是G上的等價關(guān)系，且[a]R=Ha.陪集的基本性質(zhì)證先證明R為G上的等價關(guān)系.自反性.任取a∈G，aa

1=e∈H

<a,a>∈R對稱性.任取a,b∈G，則

<a,b>∈R

ab

1∈H

(ab

1)

1∈H

ba

1∈H

<b,a>∈R

傳遞性.任取a,b,c∈G，則

<a,b>∈R∧<b,c>∈R

ab

1∈H∧bc

1∈H

ac

1∈H

<a,c>∈R下面證明：

a∈G，[a]R

=Ha.任取b∈G，b∈[a]R

<a,b>∈R

ab

1∈H

Ha=Hb

b∈Ha

28推論推論設(shè)H是群G的子群,則(1)

a,b∈G，Ha=Hb

或Ha∩Hb=

(2)∪{Ha|a∈G}=G

證明：由等價類性質(zhì)可得.定理10.11

設(shè)H是群G的子群，則

a∈G，H≈

Ha

證明略29左陪集的定義與性質(zhì)設(shè)G是群，H是G的子群，H的左陪集，即

aH={ah|h∈H}，a∈G

關(guān)于左陪集有下述性質(zhì)：(1)eH=H(2)

a∈G，a∈aH

(3)

a,b∈G，a∈bH

b

1a∈H

aH=bH(4)若在G上定義二元關(guān)系R，

a,b∈G，<a,b>∈R

b

1a∈H

則R是G上的等價關(guān)系，且[a]R

=aH.(5)

a∈G，H≈aH

30Lagrange定理定理10.12

（Lagrange）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則

|G|=|H|·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)數(shù)，稱為H在G中的指數(shù).證設(shè)[G:H]=r，a1,a2,…,ar分別是H的r個右陪集的代表元素，

G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,…,r,得

|G|=|H|·r=|H|·[G:H]31Lagrange定理的推論推論1

設(shè)G是n階群，則

a∈G，|a|是n的因子，且有an

=e.證任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的階是n的因子.<a>是由a生成的子群，若|a|=r，則

<a>={a0=e,a1,a2,…,ar

1}即<a>的階與|a|相等,所以|a|是n的因子.從而an

=e.

推論2

對階為素數(shù)的群G，必存在a∈G使得G=<a>.證設(shè)|G|=p，p是素數(shù).由p≥2知G中必存在非單位元.任取a∈G，a≠e，則<a>是G的子群.根據(jù)拉格朗日定理，<a>的階是p的因子，即<a>的階是p或1.顯然<a>的階不是1，這就推出G=<a>.

32Lagrange定理的應(yīng)用命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群.例8

證明6階群中必含有3階元.證設(shè)a為G中任意元素，有a

1=a.任取x,y∈G，則

xy=(xy)

1=y

1x

1=yx，因此G是Abel群.證設(shè)G是6階群，則G中元素只能是1階、2階、3階或6階.若G中含有6階元，設(shè)為a，則a2是3階元.若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元.如若不然，G中只含1階和2階元，即

a∈G，有a2=e，由命題知G是Abel群.取G中2階元a和b，a

b，令H={e,a,b,ab}，則H是

G的子群，但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾.

33例9

證明階小于6的群都是Abel群.Lagrange定理的應(yīng)用證1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群.2,3和5都是素數(shù)，由推論2它們都是單元素生成的群，都是Abel群.設(shè)G是4階群.若G中含有4階元，比如說a，則G=<a>，由上述分析可知G是Abel群.若G中不含4階元，G中只含1階和2階元，由命題可知G也是Abel群.3410.3

循環(huán)群與置換群定義10.10

設(shè)G是群，若存在a∈G使得

G={ak|k∈Z}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

循環(huán)群的分類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群.

設(shè)G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an

1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無限階元，則

G={a0=e,a±1,a±2,…}稱G為無限循環(huán)群.

35循環(huán)群的生成元定理10.13

設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)若G是無限循環(huán)群，則G只有兩個生成元，即a和a

1.

(2)若G是n階循環(huán)群，則G含有

(n)個生成元.對于任何小于n且與n互質(zhì)的數(shù)r∈{0,1,…,n-1},ar是G的生成元.

(n)成為歐拉函數(shù)，例如n=12，小于或等于12且與12互素的正整數(shù)有4個：

1,5,7,11，所以

(12)=4.

36證明證(1)顯然<a

1>

G.

ak∈G，

ak=(a

1)

k

<a

1>，因此G

<a

1>，a

1是G的生成元.再證明G只有a和a

1這兩個生成元.假設(shè)b也是G的生成元，則

G=<b>.由a∈G可知存在整數(shù)t使得a=bt.由b∈G=<a>知存在整數(shù)m使得b=am.從而得到

a=bt=(am)t=amt由G中的消去律得

amt

1=e因為G是無限群，必有mt

1=0.從而證明了m=t=1或m=t=

1，即b=a或b=a

137(2)只須證明：對任何正整數(shù)r(r≤n)，

ar是G的生成元

n與r互質(zhì).

充分性.設(shè)r與n互質(zhì)，且r≤n，那么存在整數(shù)u和v使得

ur+vn=1從而a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u這就推出

ak∈G，ak

=(ar)uk∈<ar>，即G

<ar>.另一方面，顯然有<ar>

G.從而G=<ar>.必要性.設(shè)ar是G的生成元，則|ar|=n.令r與n的最大公約數(shù)為d，則存在正整數(shù)t使得r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.從而證明了d=1.證明38實例例10(1)設(shè)G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，則

(12)=4.小于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理10.13可知a,a5,

a7

和a11是G的生成元.(2)設(shè)G=<Z9,

>是模9的整數(shù)加群，則

(9)=6.小于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設(shè)G=3Z={3z|z∈Z},G上的運(yùn)算是普通加法.那么G只有兩個生成元：3和

3.39循環(huán)群的子群定理10.14

設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)設(shè)G=<a>是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群.(2)若G=<a>是無限循環(huán)群，則G的子群除{e}以外都是無限循環(huán)群.(3)若G=<a>是n階循環(huán)群，則對n的每個正因子d，G恰好含有一個d階子群.

40證明證(1)設(shè)H是G=<a>的子群，若H={e}，顯然H是循環(huán)群，否則取H中的最小正方冪元am，下面證明H=<am>.易見<am>

H.下面證明H

<am>.為此，只需證明H中任何元素都可表成am的整數(shù)次冪.任取al∈H，由除法可知存在整數(shù)q和r，使得

l=qm+r，其中0≤r≤m

1

ar=al

qm=al(am)

q由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H.因為am是H中最小正方冪元，必有r=0.這就推出

al

=(am)q∈<am>41證明(2)設(shè)G=<a>是無限循環(huán)群，H是G的子群.若H≠{e}可知H=<am>，其中am為H中最小正方冪元.假若|H|=t，則|am|=t，從而得到amt

=e.這與a為無限階元矛盾.(3)設(shè)G=<a>是n階循環(huán)群，則G={a0=e,a1,…,an

1}下面證明對于n的每個正因子d都存在一個d階子群.易見是G的d階子群.假設(shè)H1=<am>也是G的d階子群，其中am為H1中的最小正方冪元.則由(am)d=e

可知n整除md，即n/d整除m.令m=(n/d)·l，l是整數(shù)，則有

這就推出H1

H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.

42實例例11(1)G=<Z,+>是無限循環(huán)群，其生成元為1和

1.對于自然數(shù)

m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z

<m>={mz|z∈Z}=mZ，m>0(2)G=Z12是12階循環(huán)群.12正因子是1,2,3,4,6和12，G的子群:

1階子群<12>=<0>={0}

2階子群<6>={0,6}

3階子群<4>={0,4,8}

4階子群<3>={0,3,6,9}

6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}

12階子群<1>=Z12

43n元置換及乘法定義10.11

設(shè)S={1,2,…,n},S上的任何雙射函數(shù)σ:S→S稱為S上的n元置換.例如S={1,2,3,4,5},下述為5元置換定義10.12

設(shè)σ,τ是n元置換,σ和τ的復(fù)合σ

°τ也是n元置換,稱為σ與τ的乘積,記作στ.例如

44n元置換的輪換表示設(shè)S={1,2,…,n}，對于任何S上的n元置換

,存在著一個有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,(可以取i1=1)使得

(i1)=i2,

(i2)=i3,…,

(ik

1)=ik,

(ik)=i1令

1=(i1

i2…ik),是

分解的第一個輪換.將

寫作

1,

繼續(xù)對

分解.由于S只有n個元素,經(jīng)過有限步得到

=

1

2…

t輪換分解式的特征輪換的不交性分解的惟一性:若

=

1

2…

t

和

=

1

2…

s

是

的兩個輪換表示式，則有

{

1,

2,…,

t}={

1,

2,…,

s}45例12

設(shè)S={1,2,…,8},

則輪換分解式為：

=(15236)(4)(78)=(15236)(78)

=(18342)(567)

實例46置換的對換分解設(shè)S={1,2,…,n}，

=(i1

i2…ik)是S上的k階輪換，

可以進(jìn)一步表成對換之積，即

(i1

i2…ik)=(i1

i2)(i1i3)…(i1

ik)任何n元置換表成輪換之積，然后將每個輪換表成對換之積.例如8元置換

=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78)

=(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)47對換分解的特征對換分解式中對換之間可以有交，分解式也不惟一.

例如4元置換

可以有下面不同的對換表示：

=(12)(13)，

=(14)(24)(34)(14)表示式中所含對換個數(shù)的奇偶性是不變的.

如果n元置換

可以表示成奇數(shù)個對換之積，則稱

為奇置換，否則稱為偶置換，不難證明奇置換和偶置換各有n!/2個.48n元置換群所有的n元置換構(gòu)成的集合Sn關(guān)于置換乘法構(gòu)成群，

稱為n元對稱群.n元對稱群的子群稱為n元置換群.例13

設(shè)S={1,2,3}，3元對稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)49Sn的子群n