矩陣論簡(jiǎn)介及線性代數(shù)復(fù)習(xí)

矩陣論1前言矩陣被認(rèn)為是最有用的數(shù)學(xué)工具之一，既適用于應(yīng)用問(wèn)題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、控制論、力學(xué)、電子學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、保險(xiǎn)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ灿兄种匾膽?yīng)用。當(dāng)今電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的迅猛發(fā)展為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了更廣闊的前景。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的理論和方法，對(duì)于工科研究生來(lái)說(shuō)是必不可少的。2問(wèn)題一線性方程組的求解給定一個(gè)m個(gè)方程n個(gè)變量的線性方程組記A表示系數(shù)矩陣，B表示常數(shù)向量，X表示未知向量，則線性方程組可表示為3其中解的形式：（1）當(dāng)m=n，且A可逆時(shí)，線性方程組AX=B的解可表示為當(dāng)m=n，且A不可逆時(shí)，或者當(dāng)時(shí)，線性方程組的解又如何表示呢？特別地，在討論矛盾方程AX=B時(shí)，如何定義線性方程組的解。廣義逆矩陣問(wèn)題4問(wèn)題二矩陣的算術(shù)運(yùn)算矩陣的加法與減法定義為矩陣的乘法運(yùn)算5如何定義矩陣的除法運(yùn)算在線性代數(shù)中，我們對(duì)于可逆矩陣A可定義矩陣“除法”，稱為矩陣A的逆矩陣，記為A-1即當(dāng)矩陣A的秩等于其行數(shù)和列數(shù)時(shí)，矩陣A稱為滿秩矩陣，才能定義“矩陣除”，并由此得到矩陣方程AX=B的解為X=A-1

B問(wèn)題：我們能否定義一般矩陣的“除法”。6問(wèn)題三矩陣的分析運(yùn)算在線性代數(shù)中，我們學(xué)習(xí)的多是矩陣的代數(shù)運(yùn)算，能否定義矩陣的分析運(yùn)算呢？如矩陣序列的極限、矩陣級(jí)數(shù)的和、矩陣函數(shù)及其微積分等。分析運(yùn)算的關(guān)鍵是確定矩陣大小的一種度量，稱為矩陣范數(shù)。7問(wèn)題四矩陣的簡(jiǎn)單形式矩陣運(yùn)算常常要求矩陣在各種意義下的簡(jiǎn)單形式，以簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算過(guò)程。這就要求討論矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣分解問(wèn)題。常見形式有：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、行最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)形、Hermite標(biāo)準(zhǔn)形；矩陣的UR（酉矩陣U與正線上三角矩陣R）分解、QR（正交矩陣Q與三角矩陣R）分解、譜分解、滿秩分解、奇異值分解等。8課程教學(xué)內(nèi)容一線性空間及線性映射（變換）內(nèi)積空間相似矩陣二范數(shù)理論三矩陣分析四矩陣分解五特征值的估計(jì)及對(duì)稱矩陣的極性六廣義逆矩陣七若干特殊矩陣類介紹(自學(xué))9所用教材

矩陣論西北工業(yè)大學(xué)出版社程云鵬主編學(xué)習(xí)本課程所需掌握的基礎(chǔ)知識(shí)：線性代數(shù)有關(guān)知識(shí)與微積分初步10課程教學(xué)要求通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在已掌握本科階段線性代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化和提高矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)。

要求學(xué)生從理論上掌握矩陣的相關(guān)理論，會(huì)證明簡(jiǎn)單的一些命題和結(jié)論，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。要求掌握一些有關(guān)矩陣計(jì)算的方法，如各種標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)等，為今后在相關(guān)專業(yè)中實(shí)際應(yīng)用打好基礎(chǔ)。

11常用記號(hào)一用R表示實(shí)數(shù)域，用C表示復(fù)數(shù)域。Rn表示n維實(shí)向量集合；Cn表示n維復(fù)向量集合；表示實(shí)矩陣集合；表示復(fù)矩陣集合；12常用記號(hào)二n階單位矩陣n階矩陣的行列式矩陣A的范數(shù)向量b的范數(shù)n階矩陣A的逆矩陣A-1;矩陣A的廣義逆矩陣A+,A-13復(fù)數(shù)基本知識(shí)稱下列形式的數(shù)為復(fù)數(shù)z=a+bi其中a,b都是實(shí)數(shù)，i2=-1;稱a是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，bi是復(fù)數(shù)z的虛部；Z的共扼復(fù)數(shù)為14代數(shù)基本定理任意n次多項(xiàng)式必有n個(gè)復(fù)根。即其中15線性代數(shù)的有關(guān)知識(shí)1.矩陣的概念

1)矩陣的定義

定義1

由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,...,m;j=1,…,n)排成m行n列的數(shù)表16叫做m行n列矩陣,簡(jiǎn)稱m×n

矩陣.這m×n個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素,aij叫做矩陣A的第i行第j列元素.元素是實(shí)數(shù)的矩陣叫做實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣叫做復(fù)矩陣,(1)式也簡(jiǎn)記為

A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩陣A也記作Am×n.17

2)方陣列矩陣行矩陣對(duì)(1)式,當(dāng)m=n時(shí),A稱為

n階方陣.當(dāng)m=1時(shí),A稱為行矩陣.當(dāng)n=1時(shí),A稱為列矩陣.

183)同型矩陣和相等矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí),就稱它們是同型矩陣.如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣,并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等,即aij=bij

(i=1,…,m;j=1,…n),那么就稱A與B

相等,記作A=B.194)零矩陣單位矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O.主對(duì)角線上的元素都是1,其它元素都是0的n階方陣,叫做n階單位方陣,簡(jiǎn)記作E或I.205)主對(duì)角線以下(上)元素全為零的方陣稱為上(下)三角矩陣.6)除了主對(duì)角線以外,其它元素全為零的方陣稱為對(duì)角矩陣.212.矩陣的運(yùn)算

1)矩陣運(yùn)算的定義設(shè)A=(aij)s×n

,B=(bij)t×m為兩個(gè)矩陣,當(dāng)s=t,n=m時(shí),它們?yōu)橥途仃?其加法運(yùn)算定義為

A+B=(aij+bij)A+B稱為A與B的和.22當(dāng)n=t時(shí)可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(i=1,2,…,s;j=1,2,…,m),AB稱為A與B的積.設(shè)k為實(shí)數(shù),定義

kA=(kaij)則稱kA為A與數(shù)k的乘積.23矩陣乘法的定義源于二個(gè)線性變換的復(fù)合運(yùn)算二個(gè)線性變換為則它們的復(fù)合為24

2)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

(i)矩陣的加法滿足

交換律:

A+B=B+A,

結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C).

(ii)矩陣的乘法滿足結(jié)合律:(AB)C=A(BC).

25(iii)矩陣的法和加法滿足分配律

A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA.

(iv)數(shù)乘矩陣滿足:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;

k(lA)=(kl)A;k(AB)=(kA)B=A(kB).26

3)方陣的冪設(shè)A是n階方陣,定義

A1=A,A2=A·A,…,Ak+1=Ak·A,其中k為正整數(shù).

4)方陣的行列式由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式,叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.27

3.一些特殊的矩陣

1)設(shè)A為m×n階矩陣,把它的行換成同序號(hào)的列得到的新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作A

或AT

矩陣的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算,若運(yùn)算可行,則有(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.

282)、共軛轉(zhuǎn)置矩陣當(dāng)A=(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij

的共軛復(fù)數(shù),記稱為A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.29共軛轉(zhuǎn)置矩陣有以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A,B為復(fù)矩陣,

為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的):303)設(shè)，如果，則稱是Hermite矩陣，如果，則稱是反Hermite矩陣。，如果，則稱是（實(shí)）對(duì)稱矩陣，如果，則稱是（實(shí)）反對(duì)稱矩陣。

設(shè)31設(shè)A

為

n

階方陣,若滿足A2=A,則稱A

為冪等矩陣.若滿足A2=E,則稱A

為對(duì)合矩陣.若滿足AAT=ATA=E,則稱A為正交矩陣.325)行列式|A|的各元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的方陣叫做方陣A的伴隨矩陣.伴隨矩陣具有重要性質(zhì):AA*=A*A=|A|E.331.任何兩個(gè)矩陣A、B都能進(jìn)行加(減),相乘運(yùn)算嗎?

思考答不是.(1)只有當(dāng)A,B為同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加(減)運(yùn)算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)與第二個(gè)矩陣B的行數(shù)相同時(shí),A與B才能相乘,這時(shí)AB才存在.34

2.兩個(gè)矩陣A、B相乘時(shí),AB=BA

嗎?|AB|=|BA|?

答

AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此時(shí)A、Ｂ應(yīng)為同階方陣.其次矩陣的乘法不滿足交換律.在一般情況下,AB

BA.但對(duì)同階方陣A、B,|AB|=|BA|是一定成立的.因?yàn)閷?duì)于數(shù)的運(yùn)算,交換律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.35

3.若AB=AC能推出B=C嗎?則AB=AC,但B

C.答不能.因?yàn)榫仃嚨某朔ú粷M足消去律.例如36

4.非零矩陣相乘時(shí),結(jié)果一定不是零矩陣嗎?但又如但答非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣.例如37

5.設(shè)A與B為n階方陣,問(wèn)等式

A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是AB=BA.事實(shí)上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)當(dāng)且僅當(dāng)BA-AB=0，即AB=BA.384.逆陣的概念1)設(shè)A為n階方陣,如果存在矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的(或非奇異的、非退化的、滿秩的），且矩陣B稱為A的逆矩陣.若有逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的,記作A-1.2)相關(guān)定理及性質(zhì)

(i)方陣A可逆的充分必要條件是:|A|0.

(ii)若矩陣A可逆,則A-1=A*/|A|.39

(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/

A-1(

0);(AT)-1=(A-1)T.

(iv)若同階方陣A與B都可逆,那么AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

5.矩陣的分塊運(yùn)算矩陣的分塊,主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于論證,其運(yùn)算法則同普通矩陣類似.40兩種常用的分塊法1).按行分塊對(duì)于m

n矩陣A可以進(jìn)行如下分塊：412).按列分塊對(duì)于m

n矩陣A可以進(jìn)行如下分塊：42對(duì)于矩陣A=(aij)m

s

與矩陣B=(bij)s

n的乘積矩陣AB=C=(cij)m

n

，若把A按行分成m

塊，把B按列分成n塊，便有=(cij)m

n

，43以對(duì)角矩陣

m左乘矩陣Am

n時(shí)，把A按行分塊，有以對(duì)角矩陣

m左乘A

的結(jié)果是A

的每一行乘以

中與該行對(duì)應(yīng)的對(duì)角元.44以對(duì)角矩陣

n左乘矩陣Am

n時(shí)，把A按列分塊，有以對(duì)角矩陣

n右乘A

的結(jié)果是A

的每一列乘以

中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元.45（1）表示什么？思考設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)單位坐標(biāo)向量，則（2）表示什么？（3）表示什么？466、線性方程組的各種形式對(duì)于線性方程組記47其中A稱為系數(shù)矩陣，x稱為未知向量，b稱為常數(shù)項(xiàng)向量，B稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法，可記B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩陣的乘法，此方程組可記作Ax=b.(2)方程（2）以向量x為未知元，它的解稱為方程組（1）的解向量.48如果把系數(shù)矩陣A按行分成m塊，則線性方程組Ax=b可記作或這就相當(dāng)于把每個(gè)方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi記作49如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則與A相乘的x應(yīng)對(duì)應(yīng)地按行分成n塊，從而記作即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是線性方程組（1）的各種變形.今后，它們與（1）將混同使用而不加區(qū)分，并都稱為線性方程組或線性方程.50Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）51

7、初等變換

結(jié)論:每個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣也稱為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形

。思考：初等變換的應(yīng)用？求逆；解方程組；解矩陣方程;判斷向量組的秩和矩陣的秩等等.52例1設(shè)試用初等行變換將A化為行階梯形，進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。53解54繼續(xù)使用初等行變換，將B化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣：5556解例2用初等行變換解方程組5758為矩陣A的相抵標(biāo)準(zhǔn)型。結(jié)論：對(duì)于任何m×n型非零矩陣A，可經(jīng)過(guò)有限次初等變換化成相抵標(biāo)準(zhǔn)型，即存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得定義稱矩陣59

8.n維向量

1)

2)

向量的相等,零向量,負(fù)向量.60

3)

向量的線性運(yùn)算當(dāng)

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,則＝△

+

(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T;＝△

(a1,a2,…,an

)T,其中

R.61

4)

線性運(yùn)算滿足下列八條規(guī)律:

+

=

+

;(

+

)+

·=

+(

+

·);

+0=

;

+(-

)=0;1·

=

;

(

)=(

)

;

(

+

)=

+

;(+)

=

+

,其中

,

,

·為n維向量,

,

R.62

9.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

1)

線性組合線性表示線性相關(guān)設(shè)有n維向量組A:

1,

2,…,

m,B:

1,

2,…,

s,對(duì)于向量

,如果有一組數(shù)

1,

2,…,

m,使

=

1

1+

2

2+…+

m

m,則稱向量

是向量組A的線性組合,或稱

可由A線性表示.63如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使k1

1+k2

2+…+km

m=0,則稱向量組A

線性相關(guān),否則稱A

線性無(wú)關(guān).如果向量組A中的每一個(gè)向量都能由向量組B中的向量線性表示,則稱向量組A能由向量組B線性表示.如果A能由B線性表示,且B也能由A線性表示,則稱A與B

等價(jià).向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有自反性,對(duì)稱性,傳遞性.642)

線性相關(guān)的性質(zhì)

定理1向量組

1,

2,…,

m(m2)線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量組可由其余m-1個(gè)向量線性表示.定理2設(shè)

1,

2,…,

m線性無(wú)關(guān),而

1,

2,…,

m,

線性相關(guān),則

能由

1,

2,…,

m線性表示,且表示式是唯一的.653)

線性相關(guān)性的判定定理

定理3若

1,

2,…,

r

線性相關(guān),則

1,

2,…,

r,

r+1,…,

m也線性相關(guān).定理4

r

維向量組的每個(gè)向量添上n-r

個(gè)分量,成為n維向量組,若r維向量組線性無(wú)關(guān),則n維向量組也線性無(wú)關(guān).反言之,若n維向量組線性相關(guān),則r維向量組亦線性相關(guān).66定理5

m個(gè)n維向量組成的向量組,當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).67

10.向量組的秩

1)定義設(shè)有向量組T,如果

(i)在T中有r個(gè)向量

1,

2,…,

r線性無(wú)關(guān);

(ii)

T中任意r+1個(gè)向量(如果T中有r+1個(gè)向量的話)都線性相關(guān),那么稱

1,

2,…,

r是向量組T的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組,簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組;數(shù)r稱為向量組T的秩.并規(guī)定:只含零向量的向量組的秩為0.68

2)性質(zhì)

性質(zhì)1向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它所含向量個(gè)數(shù)等于它的秩.

性質(zhì)2設(shè)矩陣A的某個(gè)r階子式D是A的最高階非零子式,則D所在的r

個(gè)行向量即是矩陣A的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;D

所在的r個(gè)列向量組即是矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.

性質(zhì)3

R(A)=A的行秩=A的列秩.69

性質(zhì)4設(shè)向量組A:

1,

2,…,

r是向量組T的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,則向量組A與向量組T

等價(jià).

定理6設(shè)有兩個(gè)向量組: