矩陣論簡介及線性代數(shù)復習

矩陣論1前言矩陣被認為是最有用的數(shù)學工具之一，既適用于應用問題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學的抽象結構。隨著科學技術的迅速發(fā)展,矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領域必不可少的工具。諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計、控制論、力學、電子學、網(wǎng)絡等學科，甚至在經(jīng)濟管理、金融、保險、社會科學等領域，矩陣理論和方法也有著十分重要的應用。當今電子計算機及計算技術的迅猛發(fā)展為矩陣理論的應用開辟了更廣闊的前景。因此，學習和掌握矩陣的理論和方法，對于工科研究生來說是必不可少的。2問題一線性方程組的求解給定一個m個方程n個變量的線性方程組記A表示系數(shù)矩陣，B表示常數(shù)向量，X表示未知向量，則線性方程組可表示為3其中解的形式：（1）當m=n，且A可逆時，線性方程組AX=B的解可表示為當m=n，且A不可逆時，或者當時，線性方程組的解又如何表示呢？特別地，在討論矛盾方程AX=B時，如何定義線性方程組的解。廣義逆矩陣問題4問題二矩陣的算術運算矩陣的加法與減法定義為矩陣的乘法運算5如何定義矩陣的除法運算在線性代數(shù)中，我們對于可逆矩陣A可定義矩陣“除法”，稱為矩陣A的逆矩陣，記為A-1即當矩陣A的秩等于其行數(shù)和列數(shù)時，矩陣A稱為滿秩矩陣，才能定義“矩陣除”，并由此得到矩陣方程AX=B的解為X=A-1

B問題：我們能否定義一般矩陣的“除法”。6問題三矩陣的分析運算在線性代數(shù)中，我們學習的多是矩陣的代數(shù)運算，能否定義矩陣的分析運算呢？如矩陣序列的極限、矩陣級數(shù)的和、矩陣函數(shù)及其微積分等。分析運算的關鍵是確定矩陣大小的一種度量，稱為矩陣范數(shù)。7問題四矩陣的簡單形式矩陣運算常常要求矩陣在各種意義下的簡單形式，以簡化矩陣運算過程。這就要求討論矩陣的標準形和矩陣分解問題。常見形式有：Jordan標準形、行最簡標準形、Hermite標準形；矩陣的UR（酉矩陣U與正線上三角矩陣R）分解、QR（正交矩陣Q與三角矩陣R）分解、譜分解、滿秩分解、奇異值分解等。8課程教學內容一線性空間及線性映射（變換）內積空間相似矩陣二范數(shù)理論三矩陣分析四矩陣分解五特征值的估計及對稱矩陣的極性六廣義逆矩陣七若干特殊矩陣類介紹(自學)9所用教材

矩陣論西北工業(yè)大學出版社程云鵬主編學習本課程所需掌握的基礎知識：線性代數(shù)有關知識與微積分初步10課程教學要求通過本課程的學習，使學生在已掌握本科階段線性代數(shù)知識的基礎上，進一步深化和提高矩陣理論的相關知識。

要求學生從理論上掌握矩陣的相關理論，會證明簡單的一些命題和結論，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。要求掌握一些有關矩陣計算的方法，如各種標準型、矩陣函數(shù)等，為今后在相關專業(yè)中實際應用打好基礎。

11常用記號一用R表示實數(shù)域，用C表示復數(shù)域。Rn表示n維實向量集合；Cn表示n維復向量集合；表示實矩陣集合；表示復矩陣集合；12常用記號二n階單位矩陣n階矩陣的行列式矩陣A的范數(shù)向量b的范數(shù)n階矩陣A的逆矩陣A-1;矩陣A的廣義逆矩陣A+,A-13復數(shù)基本知識稱下列形式的數(shù)為復數(shù)z=a+bi其中a,b都是實數(shù)，i2=-1;稱a是復數(shù)z的實部，bi是復數(shù)z的虛部；Z的共扼復數(shù)為14代數(shù)基本定理任意n次多項式必有n個復根。即其中15線性代數(shù)的有關知識1.矩陣的概念

1)矩陣的定義

定義1

由m×n個數(shù)aij(i=1,...,m;j=1,…,n)排成m行n列的數(shù)表16叫做m行n列矩陣,簡稱m×n

矩陣.這m×n個數(shù)叫做矩陣的元素,aij叫做矩陣A的第i行第j列元素.元素是實數(shù)的矩陣叫做實矩陣,元素是復數(shù)的矩陣叫做復矩陣,(1)式也簡記為

A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩陣A也記作Am×n.17

2)方陣列矩陣行矩陣對(1)式,當m=n時,A稱為

n階方陣.當m=1時,A稱為行矩陣.當n=1時,A稱為列矩陣.

183)同型矩陣和相等矩陣兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時,就稱它們是同型矩陣.如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣,并且它們的對應元素相等,即aij=bij

(i=1,…,m;j=1,…n),那么就稱A與B

相等,記作A=B.194)零矩陣單位矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O.主對角線上的元素都是1,其它元素都是0的n階方陣,叫做n階單位方陣,簡記作E或I.205)主對角線以下(上)元素全為零的方陣稱為上(下)三角矩陣.6)除了主對角線以外,其它元素全為零的方陣稱為對角矩陣.212.矩陣的運算

1)矩陣運算的定義設A=(aij)s×n

,B=(bij)t×m為兩個矩陣,當s=t,n=m時,它們?yōu)橥途仃?其加法運算定義為

A+B=(aij+bij)A+B稱為A與B的和.22當n=t時可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(i=1,2,…,s;j=1,2,…,m),AB稱為A與B的積.設k為實數(shù),定義

kA=(kaij)則稱kA為A與數(shù)k的乘積.23矩陣乘法的定義源于二個線性變換的復合運算二個線性變換為則它們的復合為24

2)矩陣的運算性質

(i)矩陣的加法滿足

交換律:

A+B=B+A,

結合律:(A+B)+C=A+(B+C).

(ii)矩陣的乘法滿足結合律:(AB)C=A(BC).

25(iii)矩陣的法和加法滿足分配律

A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA.

(iv)數(shù)乘矩陣滿足:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;

k(lA)=(kl)A;k(AB)=(kA)B=A(kB).26

3)方陣的冪設A是n階方陣,定義

A1=A,A2=A·A,…,Ak+1=Ak·A,其中k為正整數(shù).

4)方陣的行列式由n階方陣A的元素所構成的行列式,叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.27

3.一些特殊的矩陣

1)設A為m×n階矩陣,把它的行換成同序號的列得到的新矩陣,叫做A的轉置矩陣,記作A

或AT

矩陣的轉置也是一種運算,若運算可行,則有(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.

282)、共軛轉置矩陣當A=(aij)為復矩陣時,用表示aij

的共軛復數(shù),記稱為A的共軛轉置矩陣.29共軛轉置矩陣有以下運算規(guī)律(設A,B為復矩陣,

為復數(shù),且運算都是可行的):303)設，如果，則稱是Hermite矩陣，如果，則稱是反Hermite矩陣。，如果，則稱是（實）對稱矩陣，如果，則稱是（實）反對稱矩陣。

設31設A

為

n

階方陣,若滿足A2=A,則稱A

為冪等矩陣.若滿足A2=E,則稱A

為對合矩陣.若滿足AAT=ATA=E,則稱A為正交矩陣.325)行列式|A|的各元素的代數(shù)余子式Aij所構成的方陣叫做方陣A的伴隨矩陣.伴隨矩陣具有重要性質:AA*=A*A=|A|E.331.任何兩個矩陣A、B都能進行加(減),相乘運算嗎?

思考答不是.(1)只有當A,B為同型矩陣時,才能進行加(減)運算.(2)只有當?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)與第二個矩陣B的行數(shù)相同時,A與B才能相乘,這時AB才存在.34

2.兩個矩陣A、B相乘時,AB=BA

嗎?|AB|=|BA|?

答

AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此時A、Ｂ應為同階方陣.其次矩陣的乘法不滿足交換律.在一般情況下,AB

BA.但對同階方陣A、B,|AB|=|BA|是一定成立的.因為對于數(shù)的運算,交換律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.35

3.若AB=AC能推出B=C嗎?則AB=AC,但B

C.答不能.因為矩陣的乘法不滿足消去律.例如36

4.非零矩陣相乘時,結果一定不是零矩陣嗎?但又如但答非零矩陣相乘的結果可能是零矩陣.例如37

5.設A與B為n階方陣,問等式

A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是AB=BA.事實上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)當且僅當BA-AB=0，即AB=BA.384.逆陣的概念1)設A為n階方陣,如果存在矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的(或非奇異的、非退化的、滿秩的），且矩陣B稱為A的逆矩陣.若有逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的,記作A-1.2)相關定理及性質

(i)方陣A可逆的充分必要條件是:|A|0.

(ii)若矩陣A可逆,則A-1=A*/|A|.39

(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/

A-1(

0);(AT)-1=(A-1)T.

(iv)若同階方陣A與B都可逆,那么AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

5.矩陣的分塊運算矩陣的分塊,主要目的在于簡化運算及便于論證,其運算法則同普通矩陣類似.40兩種常用的分塊法1).按行分塊對于m

n矩陣A可以進行如下分塊：412).按列分塊對于m

n矩陣A可以進行如下分塊：42對于矩陣A=(aij)m

s

與矩陣B=(bij)s

n的乘積矩陣AB=C=(cij)m

n

，若把A按行分成m

塊，把B按列分成n塊，便有=(cij)m

n

，43以對角矩陣

m左乘矩陣Am

n時，把A按行分塊，有以對角矩陣

m左乘A

的結果是A

的每一行乘以

中與該行對應的對角元.44以對角矩陣

n左乘矩陣Am

n時，把A按列分塊，有以對角矩陣

n右乘A

的結果是A

的每一列乘以

中與該列對應的對角元.45（1）表示什么？思考設是標準單位坐標向量，則（2）表示什么？（3）表示什么？466、線性方程組的各種形式對于線性方程組記47其中A稱為系數(shù)矩陣，x稱為未知向量，b稱為常數(shù)項向量，B稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法，可記B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩陣的乘法，此方程組可記作Ax=b.(2)方程（2）以向量x為未知元，它的解稱為方程組（1）的解向量.48如果把系數(shù)矩陣A按行分成m塊，則線性方程組Ax=b可記作或這就相當于把每個方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi記作49如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則與A相乘的x應對應地按行分成n塊，從而記作即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是線性方程組（1）的各種變形.今后，它們與（1）將混同使用而不加區(qū)分，并都稱為線性方程組或線性方程.50Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）51

7、初等變換

結論:每個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進而化為行最簡階梯形矩陣也稱為Hermite標準形

。思考：初等變換的應用？求逆；解方程組；解矩陣方程;判斷向量組的秩和矩陣的秩等等.52例1設試用初等行變換將A化為行階梯形，進而化為行最簡階梯形矩陣。53解54繼續(xù)使用初等行變換，將B化為行最簡階梯形矩陣：5556解例2用初等行變換解方程組5758為矩陣A的相抵標準型。結論：對于任何m×n型非零矩陣A，可經(jīng)過有限次初等變換化成相抵標準型，即存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得定義稱矩陣59

8.n維向量

1)

2)

向量的相等,零向量,負向量.60

3)

向量的線性運算當

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,則＝△

+

(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T;＝△

(a1,a2,…,an

)T,其中

R.61

4)

線性運算滿足下列八條規(guī)律:

+

=

+

;(

+

)+

·=

+(

+

·);

+0=

;

+(-

)=0;1·

=

;

(

)=(

)

;

(

+

)=

+

;(+)

=

+

,其中

,

,

·為n維向量,

,

R.62

9.線性相關與線性無關

1)

線性組合線性表示線性相關設有n維向量組A:

1,

2,…,

m,B:

1,

2,…,

s,對于向量

,如果有一組數(shù)

1,

2,…,

m,使

=

1

1+

2

2+…+

m

m,則稱向量

是向量組A的線性組合,或稱

可由A線性表示.63如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使k1

1+k2

2+…+km

m=0,則稱向量組A

線性相關,否則稱A

線性無關.如果向量組A中的每一個向量都能由向量組B中的向量線性表示,則稱向量組A能由向量組B線性表示.如果A能由B線性表示,且B也能由A線性表示,則稱A與B

等價.向量組之間的等價關系具有自反性,對稱性,傳遞性.642)

線性相關的性質

定理1向量組

1,

2,…,

m(m2)線性相關的充要條件是該向量組中至少有一個向量組可由其余m-1個向量線性表示.定理2設

1,

2,…,

m線性無關,而

1,

2,…,

m,

線性相關,則

能由

1,

2,…,

m線性表示,且表示式是唯一的.653)

線性相關性的判定定理

定理3若

1,

2,…,

r

線性相關,則

1,

2,…,

r,

r+1,…,

m也線性相關.定理4

r

維向量組的每個向量添上n-r

個分量,成為n維向量組,若r維向量組線性無關,則n維向量組也線性無關.反言之,若n維向量組線性相關,則r維向量組亦線性相關.66定理5

m個n維向量組成的向量組,當維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關.67

10.向量組的秩

1)定義設有向量組T,如果

(i)在T中有r個向量

1,

2,…,

r線性無關;

(ii)

T中任意r+1個向量(如果T中有r+1個向量的話)都線性相關,那么稱

1,

2,…,

r是向量組T的一個最大線性無關向量組,簡稱最大無關組;數(shù)r稱為向量組T的秩.并規(guī)定:只含零向量的向量組的秩為0.68

2)性質

性質1向量組線性無關的充要條件是它所含向量個數(shù)等于它的秩.

性質2設矩陣A的某個r階子式D是A的最高階非零子式,則D所在的r

個行向量即是矩陣A的行向量組的一個最大無關組;D

所在的r個列向量組即是矩陣A的列向量組的一個最大無關組.

性質3

R(A)=A的行秩=A的列秩.69

性質4設向量組A:

1,

2,…,

r是向量組T的一個最大無關組,則向量組A與向量組T

等價.

定理6設有兩個向量組: