課時集合的基本運算高一數(shù)學培優(yōu)講練課堂好幫手

～1.3集合的基本運算數(shù)學·必修第一冊教學目標1.理解兩個集合的并集和交集的定義,明確數(shù)學中的“或”“且”的含義.2.能借助于Venn圖或數(shù)軸求兩個集合的交集和并集.3.能利用交集、并集的性質解決有關參數(shù)問題.知識清單1.并集：一般地，由所有________________________的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：

（讀作“A并B”）.屬于集合A或屬于集合B即：A∪B__________________.={x|x∈A，或x∈B}用Venn圖表示為：A∪BABA∪BBA2.交集：一般地，由_____________________的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：

（讀作“A交B”），即A∩B＝__________________.屬于集合A且屬于集合B用Venn圖表示為：A∩B{x|x∈A，且x∈B}A∩B所有元素(1)定義：對于一個集合A，由全集U中

的所有元素組成的集合稱為集合A相對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作_____

(2)符號表示：?UA＝{x|

}(3)圖形表示：(1)?UA?U；

(2)?UU＝

，?U?

＝

；(3)?U(?UA)＝

；(4)A∪(?UA)＝

；A∩(?UA)＝

_____.

(4)性質：知識點01并集的運算題型一并集的概念及簡單應用【例1】

(1)設集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∪B＝(

)A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q=(

)A．{x|－1≤x＜3}

B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}

D．{x|x≥－1}答案(1)A

(2)C求集合并集的兩種方法(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；(2)數(shù)形結合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解，此時要注意集合的端點能否取到．解題方法【變式1】(1)設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.(2)已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，則A∪B＝(

)A．{x|2＜x＜3} B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1＜x＜5} D．{x|－1＜x≤5}[解析]（1）A∪B={3,4,5,6,7,8}.(2)

B－1325x知識點02交集的運算

[解析](1)A∩B={0,1,2}∩{1,2,3,4}={1,2}.

4

8x

(1)求復雜數(shù)集的并集、交集時常用數(shù)形結合思想,如數(shù)軸或Venn圖.(2)利用數(shù)軸時,應注意:①點的實心、空心:當端點值不在集合中時,應用“空心點”表示;②線的上下錯落:不同集合的范圍在表示時應上下錯落分開,同一集合分段的)應在同一層上.解題方法【變式2】(1)設集合A＝{x|x∈N，x≤4}，B＝{x|x∈N，x>1}，則A∩B＝_______.解析因為A＝{x|x∈N，x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x∈N，x>1}，所以A∩B＝{2,3,4}.(2)集合A＝{x|x≥2或－2<x≤0}，B＝{x|0<x≤2或x≥5}，則A∩B＝______________.解析易知A∩B＝{x|x≥5或x＝2}.(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，則A∩B＝____.知識點03并集、交集性質的應用【例3】(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，則圖中陰影部分表示的集合為(

)

A．{2}

B．{3}C．{－3,2}

D．{－2,3}(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝(

)A．{0} B．{1}C．{1，2} D．{0，1，2}解析(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{2}，故選A．(2)由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1，2}．答案(1)A

(2)C求集合A∩B的常見類型(1)若A，B的元素是方程的根，則應先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集．(2)若A，B的元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，交集是點集．(3)若A，B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解，但要注意利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心圈表示．解題方法【變式3】已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求a的取值范圍．解：若A＝?，由A∩B＝?，得2a＞a＋3，∴a＞3；若A≠?，由A∩B＝?，得圖D4.

圖D4【變式4】設集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范圍．解：如圖，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知：1＜a≤3.

【變式5】集合

A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若B?A，求實數(shù)m的取值范圍； (2)當x∈R時，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)當m＋1＞2m－1，即m＜2時，B＝?.滿足B?A.當m＋1≤2m－1，即m≥2時，要使B?A成立，需m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.綜上所述，當m≤3時，有B?A.(2)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立．即A∩B＝?.①若B＝?，則m＋1＞2m－1，解得m＜2，滿足條件；②若B≠?，則需滿足的條件有：m＋1≤2m－1，m＋1>5，或m＋1≤2m－1，2m－1<－2，解得m＞4.綜上所述，有m＜2或m＞4.知識點04補集的運算答案：

(1)C

(2)A知識點05交、并、補集的綜合運算【例6】已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}

，集合A＝{2,4,5}，B＝{1，3，5，7}，求A∪B，A∩B，?UA，?UB，?U(A∪B)，?U(A∩B).[解析]A∪B={1,2,3,4,5,7}，A∩B={5}.?UA={1,3,6,7}，?UB={2，4，6}，?U(A∪B)={6}，?U(A∩B)={1，2，3，4，6，7}.

[性質]x【變式8】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．[解析]2－34U－23AB如圖，(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(?UB)＝{x|2＜x＜3}．∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，求集合交、并、補運算的方法有關集合交、并、補的運算先確定全集，并將其余集合中的元素一一列舉出來，然后結合交、并、補集的定義來求解.也可借助Venn圖來求解，相對來說直觀、形象，不易出錯.有限集常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)交、并、補的定義求解，這樣處理比較形象直觀，需注意的是端點的取舍問題.無限集解題方法