期末考試綜合檢測(cè)試卷-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題(人教A版2019必修第二冊(cè))

高中數(shù)學(xué)必修二期末考試綜合檢測(cè)試卷第二學(xué)期高一期末測(cè)試一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知復(fù)數(shù)z=(1-i)+m(1+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=()A.-2 B.-1 C.0 D.12.幸福感指數(shù)是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo),常用區(qū)間[0,10]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示,該數(shù)越接近10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居民,他們的幸福感指數(shù)分別為5,6,7,8,9,5,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是()A.7 B.7.5 C.8 D.93.已知α為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列結(jié)論正確的是()A.若a∥α,b∥α,則a∥bB.若a⊥α,a∥b,則b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,則b∥αD.若a∥α,a⊥b,則b⊥α4.已知在平行四邊形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),如果=a,=b,那么=()A.a-b B.-a+bC.a+b D.-a-b5.已知圓錐的表面積為3π,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的體積為()A.π B.π C.π D.2π6.慶祝中華人民共和國成立70周年的閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強(qiáng)起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最,編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就,裝備方陣堪稱“強(qiáng)軍利刃”“強(qiáng)國之盾”,見證著人民軍隊(duì)邁向世界一流軍隊(duì)的堅(jiān)定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關(guān)注,還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有6位外國人,其中關(guān)注此次大閱兵的有5位,若從這6位外國人中任意選取2位進(jìn)行一次采訪,則被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的概率為()A. B. C. D.7.如圖,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正東方向,且與A相距120km,D在A的北偏東30°方向,且與A相距60km,C在B的北偏東30°方向,且與B相距60km.一架飛機(jī)從城市D出發(fā),以360km/h的速度向城市C飛行,飛行了15min后,接到命令改變航向,飛向城市B,此時(shí)飛機(jī)距離城市B的距離為()A.120km B.60km C.60km D.60km8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,原點(diǎn)O為正八邊形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x軸,若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)M(異于原點(diǎn))滿足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),則滿足以上條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為()A.2 B.4 C.6 D.8二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9.已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是()A.|z|=B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=-1-iC.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2=0的一個(gè)根10.某市教體局對(duì)全市高一年級(jí)學(xué)生的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,他們的身高都處在A,B,C,D,E五個(gè)層次內(nèi),根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論正確的是()A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B.樣本中B層次人數(shù)最多C.樣本中E層次的男生人數(shù)為6D.樣本中D層次的男生人數(shù)多于女生人數(shù)11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,則下列結(jié)論正確的是()A.如果B?A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A與B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A與B相互獨(dú)立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A與B相互獨(dú)立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,則下列命題中正確的是()A.若點(diǎn)M,N分別是線段A'A,A'D'的中點(diǎn),則MN∥BC'B.點(diǎn)C到平面ABC'D'的距離為C.直線BC與平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面積為3π三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且bcosC+ccosB=asinA,則A=.

14.已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xm的平均數(shù)為10,方差為2,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2xm-1的平均數(shù)為,方差為.

15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,則a與b的夾角為.

16.如圖,在三棱錐V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,則二面角V-AB-C的余弦值是.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐標(biāo);(2)若向量b+ka與b-ka互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.18.(12分)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面積S;(2)若D為BC邊上一點(diǎn),且,求∠ADB的正弦值.

從①AD=1,②∠CAD=這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的問題中,并解答.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.19.(12分)在四面體A-BCD中,E,F,M分別是AB,BC,CD的中點(diǎn),且BD=AC=2,EM=1.(1)求證:EF∥平面ACD;(2)求異面直線AC與BD所成的角.20.(12分)溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視,為了普及安全教育,某市組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽,規(guī)定每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)得1分,答錯(cuò)得0分.在競(jìng)賽中,甲、乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢,假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為,乙隊(duì)每人回答問題正確的概率分別為,,,且每人回答問題正確與否相互之間沒有影響.(1)分別求甲隊(duì)總得分為3分與1分的概率;(2)求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.

21.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證:平面BDE⊥平面PAC;(2)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐P-BDE的體積.

22.(12分)2020年開始,山東推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科滿分100分.2020年初受疫情影響,全國各地推遲開學(xué),開展線上教學(xué).為了了解高一學(xué)生的選科意向,某學(xué)校對(duì)學(xué)生所選科目進(jìn)行檢測(cè),下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績,以20為組距分成7組:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)(i)求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù);(ii)估計(jì)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)為了進(jìn)一步了解選科情況,在物理、化學(xué)、生物三科總分成績?cè)赱220,240)和[260,280)的兩組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取7名學(xué)生,再從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,求抽取的這2名學(xué)生來自不同組的概率.答案全解全析1.B復(fù)數(shù)z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因?yàn)閦是純虛數(shù),所以解得m=-1.2.C將6個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為5,5,6,7,8,9,因?yàn)?×80%=4.8,所以第5個(gè)數(shù)據(jù)即為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù),故選C.3.B如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面,因此B選項(xiàng)正確,易知A、C、D錯(cuò)誤.4.B=-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,依題意有2πr=·2πl(wèi),所以l=2r,又圓錐的表面積為3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圓錐的高h(yuǎn)==,于是體積V=πr2h=π×12×=π.6.C這6位外國人分別記為a,A,B,C,D,E,其中a未關(guān)注此次大閱兵,A,B,CD,E關(guān)注了此次大閱兵,則樣本點(diǎn)有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共15個(gè),其中被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的樣本點(diǎn)有10個(gè),故所求概率為=.故選C.7.D取AB的中點(diǎn)E,連接DE,BD.設(shè)飛機(jī)飛行了15min后到達(dá)F點(diǎn),連接BF,如圖所示,則BF即為所求.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),且AB=120km,所以AE=EB=60km,又∠DAE=60°,AD=60km,所以三角形DAE為等邊三角形,所以DE=60km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10800,所以BD=60km,因?yàn)椤螩BE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240km,所以cos∠BDC===,因?yàn)镈F=360×=90km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10800,所以BF=60km,即此時(shí)飛機(jī)距離城市B的距離為60km.8.D取線段PiPj的中點(diǎn)Qk,因?yàn)?++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Qk,O,M共線,因?yàn)辄c(diǎn)M在坐標(biāo)軸上,所以Qk也在坐標(biāo)軸上,于是滿足條件的(i,j)的情況有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即滿足條件的點(diǎn)M有8個(gè).9.ABCD由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共軛復(fù)數(shù)=-1-i,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,1),位于第二象限.因?yàn)?-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2=0的一個(gè)根,故選項(xiàng)A、B、C、D均正確.10.ABC樣本中女生人數(shù)為9+24+15+9+3=60,則男生人數(shù)為40,故A選項(xiàng)正確;樣本中B層次人數(shù)為24+40×30%=36,并且B層次占女生和男生的比例均最大,故B層次人數(shù)最多,B選項(xiàng)正確;E層次中的男生人數(shù)為40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C選項(xiàng)正確;D層次中,男生人數(shù)為40×20%=8,女生人數(shù)為9,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.11.BD由于B?A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;由于A與B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB為不可能事件,因此P(AB)=0,故B選項(xiàng)正確;如果A與B相互獨(dú)立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D選項(xiàng)正確.12.ACD因?yàn)镸,N分別是線段A'A,A'D'的中點(diǎn),所以MN∥AD',又因?yàn)锳D'∥BC',所以MN∥BC',故A選項(xiàng)正確;連接B'C,易證B'C⊥平面ABC'D',因此點(diǎn)C到平面ABC'D'的距離為B'C=,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;直線BC與平面ABC'D'所成的角為∠CBC'=,故C選項(xiàng)正確;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方體的外接球,其半徑R=,因此其表面積為4π×=3π,故D選項(xiàng)正確.13.答案90°解析由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A,易知sinA≠0,所以sinA=1,故A=90°.14.答案19;8解析依題意可得2x1-1,2x2-1,…,2xm-1的平均數(shù)為2×10-1=19,方差為22×2=8.15.答案解析設(shè)a,b的夾角為θ,依題意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cosθ-6×22=-18,解得cosθ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中點(diǎn)D,連接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因?yàn)锳V⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因?yàn)橄蛄縞∥a,所以設(shè)c=λa,(1分)則c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:設(shè)向量c=(x,y).(1分)因?yàn)閏∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因?yàn)閨c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因?yàn)橄蛄縝+ka與b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因?yàn)閍=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面積S=bcsinA=×2×1×=.(6分)(2)選擇條件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sinB=.(9分)因?yàn)锳D=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sinB,所以sin∠ADB=.(12分)選擇條件②.在△ABC中,由余弦定理的推論,得cosB==.(8分)因?yàn)锳=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cosB,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)證明:因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC.(2分)因?yàn)镋F?平面ACD,AC?平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM為異面直線AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM為等邊三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即異面直線AC與BD所成的角為60°.(12分)20.解析(1)記“甲隊(duì)總得分為3分”為事件A,“甲隊(duì)總得分為1分”為事件B.甲隊(duì)得3分,即三人都答對(duì),其概率P(A)=××=.(2分)甲隊(duì)得1分,即三人中只有一人答對(duì),其余兩人都答錯(cuò),其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲隊(duì)總得分為3分的概率為,甲隊(duì)總得分為1分的概率為.(6分)(2)記“甲隊(duì)總得分為2分”為事件C,“乙隊(duì)總得分為1分”為事件D.甲隊(duì)得2分,即三人中有兩人答對(duì),剩余一人答錯(cuò),則P(C)=××+××+××=.(8分)乙隊(duì)得1分,即三人中只有一人答對(duì),其余兩人都答錯(cuò),則P(D)=××+××+××=.(11分)由題意得,事件C與事件D相互獨(dú)立.所以甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率為P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)證明:因?yàn)镻A⊥底面ABC,且BD?底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因?yàn)锳B=BC,且點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因?yàn)镻A∥平面BDE,PA?平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以點(diǎn)E為PC的中點(diǎn).(6分)解法一:由題意知P到平面BDE的距離與A到平面BDE的距離相等.(7分)所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=VE-ABC=VP-ABC=×××2×2×2=.所以三棱錐P-BDE的體積為.(12分)解法二:由題意知點(diǎn)P到平面BDE的距離與點(diǎn)A到平面BDE的距離相等.(7分)所以VP-BDE=VA-BDE.(8分)由題意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以VA-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱錐P-BDE的體積為.(12分)解法三:由題意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以VP-BDE=VB-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱錐P-BDE的體積為.(12分)22.解析(1)由題圖得,(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)