優(yōu)化方案高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.3變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案新人教A版必修3

PAGE6-2．3變量間的相關(guān)關(guān)系1．問(wèn)題導(dǎo)航(1)相關(guān)關(guān)系分為哪兩種？(2)什么叫散點(diǎn)圖？(3)什么叫回歸直線？求回歸直線的方法及步驟是什么？2．例題導(dǎo)讀通過(guò)對(duì)例題的學(xué)習(xí)，(1)學(xué)會(huì)如何作散點(diǎn)圖；(2)學(xué)會(huì)如何用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)；(3)掌握求回歸直線方程的方法；(4)熟悉回歸直線方程的實(shí)際應(yīng)用．1．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2．回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程．(3)最小二乘法求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－))),eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))eq\s\up4(2))=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回歸方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是回歸方程在y軸上的截距．1．判斷下列各題．(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)線性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))；()(2)對(duì)于方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加eq\o(b,\s\up6(^))個(gè)單位；()(3)樣本數(shù)據(jù)中x＝0時(shí)，可能有y＝eq\o(a,\s\up6(^))；()(4)樣本數(shù)據(jù)中x＝0時(shí)，一定有y＝eq\o(a,\s\up6(^)).()解析：根據(jù)回歸直線方程的意義知，(1)(2)都正確，而(3)(4)中，樣本數(shù)據(jù)x＝0時(shí)，y的值可能為eq\o(a,\s\up6(^))，也可能不是eq\o(a,\s\up6(^))，故(3)正確．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．判斷下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是()解析：選C.A、B為函數(shù)關(guān)系，D無(wú)相關(guān)關(guān)系．3．下列關(guān)系中，有相關(guān)關(guān)系的是________．①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系．解析：①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具備相關(guān)關(guān)系．答案：②4．一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，那么這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高是否一定是145.83cm?解：不一定，用回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93只能預(yù)測(cè)，其結(jié)果不一定是個(gè)確定值．1．兩個(gè)變量之間的關(guān)系與其對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖特征(1)兩個(gè)變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)位于某曲線上．(2)兩個(gè)變量間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)位于某曲線附近．(3)兩個(gè)變量間的關(guān)系是線性相關(guān)時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)位于某直線附近．2．對(duì)回歸直線與回歸方程的理解(1)回歸方程被樣本數(shù)據(jù)唯一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近．對(duì)同一個(gè)總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性．(2)對(duì)于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒(méi)有實(shí)際意義的．因此，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程．相關(guān)關(guān)系的判斷(1)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________．①人的身高與視力的關(guān)系；②做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間的關(guān)系；③降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．(2)下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫(℃)12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量(mm)748542507813574701432[解析](1)題號(hào)判斷原因分析①不是相關(guān)關(guān)系身高與視力無(wú)關(guān)，不具有函數(shù)關(guān)系，也不具有相關(guān)關(guān)系②不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系自由落體的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間無(wú)關(guān)，不具有相關(guān)關(guān)系③相關(guān)關(guān)系降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高，不確定性的關(guān)系[答案]③(2)解：以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：因?yàn)閳D中各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以?xún)烧卟痪哂邢嚓P(guān)關(guān)系，求回歸直線方程也是沒(méi)有意義的．方法歸納(1)兩個(gè)變量x和y相關(guān)關(guān)系的確定方法：①散點(diǎn)圖法：通過(guò)散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷；②表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷；③經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．(2)判斷兩個(gè)變量x和y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．1．(1)對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀(2)計(jì)算xi與yi的積，求eq\i\su(i＝1,n,xiyi).(4)將結(jié)果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))，求eq\o(b,\s\up6(^)).(5)用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(6)寫(xiě)出回歸方程．2．測(cè)量某地10對(duì)父子身高(單位：英寸)如下：父親身高(x)60626465666768707274兒子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；如果父親的身高為78英寸，試估計(jì)兒子的身高．解：先將兩個(gè)變量的數(shù)字在表中計(jì)算出來(lái)，如下表所示：序號(hào)xiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi16063.636004044.96381626265.238444251.044042.43646640964356422446565.542254290.254257.556666.943564475.614415.466767.144894502.414495.776867.446244542.764583.287068.349004664.89478197270.151844914.015047.2107470547649005180∑6686709344842.4由上表可得eq\x\to(x)＝eq\f(668,10)＝66.8，eq\x\to(y)＝eq\f(670.1,10)＝67.01，eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))＝44941.93，eq\i\su(i＝1,10,y\o\al(2,i))＝44794，eq\i\su(i＝1,10,xiyi)＝44842.4.代入公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(44842.4－10×66.8×67.01,44794－10×66.82)≈0.4646，eq\o(a,\s\up6(^))＝67.01－0.4646×66.8≈35.975，故所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4646x＋35.975.當(dāng)x＝78時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4646×78＋35.975＝72.2138，所以當(dāng)父親的身高為78英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為72.2138英寸．線性回歸方程的應(yīng)用假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若由資料知：y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？[解](1)制表i12345合計(jì)xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690x＝4，y＝5eq\i\su(i＝1,5,x\o\al(2,i))＝90,eq\i\su(i＝1,5,x\o\al(,i))yi＝112.3于是有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23；eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.(2)回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08，當(dāng)x＝10(年)時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(萬(wàn)元)，即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元．方法歸納(1)求回歸直線方程關(guān)鍵是求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，也是本題易錯(cuò)點(diǎn)，由于計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)一定要認(rèn)真．(2)知道x與y有線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)(課本對(duì)此不作要求)．只有兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，才能求其線性回歸方程，才能用其估計(jì)和預(yù)測(cè)．否則即使求出其線性回歸方程，也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．3．(1)提倡節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi).2015年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市10戶(hù)家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x(萬(wàn)元)24466677810年飲食支出y(萬(wàn)元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3①若y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程，否則請(qǐng)說(shuō)明理由；②若某家庭年收入為9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)其年飲食支出．(參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=117.7,eq\i\su(i＝1,10,xi2)解：散點(diǎn)圖如圖：由散點(diǎn)圖可知，年收入越高，年飲食支出越高，圖中點(diǎn)的趨勢(shì)表明兩個(gè)變量間確實(shí)存在著線性相關(guān)關(guān)系．,依題意可計(jì)算得：eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝1.83，,eq\x\to(x)2＝36，,eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝10.98，,又∵eq\i\su(i＝1,10,xiyi)＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,xi2)＝406，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,xiyi)-10eq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))-10eq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))≈0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.81，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.∴所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.②當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17×9＋0.81＝2.34(萬(wàn)元)．可估計(jì)年收入為9萬(wàn)元的家庭，每年飲食支出約為2.34萬(wàn)元．(2)有一臺(tái)機(jī)床可以按各種不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn)，其加工的零件有一些是二級(jí)品，每小時(shí)生產(chǎn)的二級(jí)品零件的數(shù)量隨機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化．下面是試驗(yàn)的步驟：機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度(轉(zhuǎn)/秒)每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品的數(shù)量(個(gè))851281491611①作出散點(diǎn)圖；②求出機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度x與每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品數(shù)量y的回歸直線方程；③若實(shí)際生產(chǎn)中所允許的二級(jí)品不超過(guò)10個(gè)，那么機(jī)床的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不得超過(guò)多少轉(zhuǎn)/秒？解：①散點(diǎn)圖如圖所示：②易求得eq\x\to(x)＝12.5，eq\x\to(y)＝8.25，eq\o(b,\s\up6(^))≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.8575，∴所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575.③依題意，要使eq\o(y,\s\up6(^))≤10，只要0.7286x－0.8575≤10，解得x≤14.9019，即機(jī)床的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不能超過(guò)14.9019轉(zhuǎn)/秒．規(guī)范解答散點(diǎn)圖的畫(huà)法及應(yīng)用(本題滿分12分)某化工廠的原料中，有A和B兩種有效成分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10份原料樣品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，測(cè)得A和B的含量如下表所示：i12345678910x67547264392258434634y24152319161120161713其中x表示成分A的百分含量x%，y表示成分B的百分含量y%.(1)作出兩個(gè)變量y與x的散點(diǎn)圖；(2)兩個(gè)變量y與x是否線性相關(guān)？若是線性相關(guān)，求出線性回歸方程．[解](1)按照y從小到大的順序調(diào)整表中數(shù)據(jù)(這樣有利于描點(diǎn)，如用畫(huà)圖軟件則不需要調(diào)整表格數(shù)據(jù))，如下表所示：x22345443394664587267y11131516161719202324散點(diǎn)圖如圖所示：4分(2)觀察散點(diǎn)圖可知，y與x是線性相關(guān)關(guān)系．下面求線性回歸方程：i12345678910合計(jì)xi22345443394664587267499yi11131516161719202324174xiyi24244281068862478212161160165616089228xeq\o\al(2,i)48411562916184915212116409633645184448927175所以eq\x\to(x)＝49.9，eq\x\to(y)＝17.4，10eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝8682.6，10eq\x\to(x)2＝24900.1設(shè)所求的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，8分eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,xiyi)-10eq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))-10eq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))＝eq\f(9228－8682.6,27175－24900.1)＝eq\f(545.4,2274.9)≈0.2397，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))x＝17.4－0.2397×49.9≈5.439，10分所求的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2397x＋5.439.…12分[規(guī)范與警示]將題中給出的y的值按一定順序排列．描點(diǎn)則可按一定順序進(jìn)行．利用散點(diǎn)圖可直觀地驗(yàn)證是否具有相關(guān)關(guān)系．只有判斷出兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系才能再進(jìn)一步求線性回歸方程，否則就沒(méi)有意義．將公式中所有涉及到的數(shù)據(jù)在表格中一一列出，以便計(jì)算減少失誤．此步運(yùn)算量較大，是關(guān)鍵點(diǎn)也是失分點(diǎn)．1．我們常說(shuō)“吸煙有害健康”，吸煙與健康之間的關(guān)系是()A．正相關(guān) B．負(fù)相關(guān) C．無(wú)相關(guān) D．不確定解析：選B.煙吸得越多，則健康程度越差．2．線性回歸直線是指()A．樣本少數(shù)點(diǎn)在其上的直線B．樣本所有點(diǎn)在其上的直線C．樣本大部分點(diǎn)在其上的直線D．樣本所有點(diǎn)到其距離的平方和最小的直線解析：選D.由線性回歸直線的求法可知線性回歸直線是樣本所有點(diǎn)到其距離的平方和最小的直線．3．回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，斜率eq\o(b,\s\up6(^))的含義是________．解析：回歸方程的斜率eq\o(b,\s\up6(^))的含義是x每增加一個(gè)單位，y平均增加的單位數(shù)．答案：x每增加一個(gè)單位，y平均增加的單位數(shù)4．已知工廠加工零件的個(gè)數(shù)x與花費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，則加工200個(gè)零件大約需要________小時(shí)．解析：將200代入線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，得y＝2.5.答案：2.5[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2015·張掖高一檢測(cè))有幾組變量：①汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③立方體的棱長(zhǎng)和體積．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是()A．①③ B．②③C．② D．③解析：選C.①是負(fù)相關(guān)；②是正相關(guān)；③是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系．2．對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是()A．都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系C．都可以作出散點(diǎn)圖D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系解析：選C.由兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，不能分析出兩個(gè)變量的關(guān)系，A錯(cuò)；不具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量不能用一條直線近似地表示他們的關(guān)系，更不能用確定的表達(dá)式表示他們的關(guān)系，B，D錯(cuò)．3．對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：選C.當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＝0時(shí)，r＝0，這時(shí)不具有線性相關(guān)關(guān)系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.4．(2013·高考湖北卷) 四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：()①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選D.由正負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確．5．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：選D.當(dāng)x＝170時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79kg，故D不正確．6．已知一個(gè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，則eq\x\to(y)＝________．解析：因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(x，y)，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下表，若已求得它們回歸直線的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為_(kāi)_______.x24568y3040605070解析：設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，易知eq\x\to(y)＝50，eq\x\to(x)＝5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－32.5＝17.5，即回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.58．對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)營(yíng)年限x(x＝1，2，3，…)與當(dāng)年利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估計(jì)該臺(tái)機(jī)器使用________年最合算．解析：只要預(yù)計(jì)利潤(rùn)不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺(tái)機(jī)器使用8年最合算．答案：89．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元)88.28.48.68.89銷(xiāo)量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值．故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)．10．(2013·高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10,yi)=80，eq\i\su(i＝1,10,yi)=20,eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=184，eq\i\su(i＝1,10,xi2)=720.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))a=eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中為eq\o(x,\s\up6(－)),eq\o(y,\s\up6(－))樣本的平均值，線性回歸方程也可寫(xiě)為eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))解：（1）由題意知n=10,eq\o(x,\s\up6(－))=eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8,eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2))=720-10×82=80,eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up9(-)),－beq\o(x,\s\up9(-)),＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回歸直線方程的系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是最小二乘法估計(jì)中使函數(shù)Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))取得最小函數(shù)值時(shí)所滿足的條件，其中Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))的表達(dá)式是()A.eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）) B.eq\i\su(i＝1,n,|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|2）)C.(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 D.|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|解析：選A.用最小二乘法確定兩變量之間的線性回歸方程的思想，即求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))使n個(gè)樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）與直線y＝eq\o(a,\s\up6(^))+eq\o(b,\s\up6(^))x的“距離”的平方和最小，即使得Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))=(y1－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x1)2+(y2－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x2)2+…+(yn－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xn)2=eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）)達(dá)到最小，故選A.2．對(duì)于兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖：①若所有點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，則變量之間具有函數(shù)關(guān)系；②若所有點(diǎn)都落在某一曲線附近，則變量之間具有相關(guān)關(guān)系；③若所有點(diǎn)都落在某一直線附近，則變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系；④若所有點(diǎn)都雜亂無(wú)章，則變量之間不具有相關(guān)關(guān)系．其中正確的是()A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：選D.①②③④四個(gè)說(shuō)法全部正確．3．(2015·江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______．解析：由已知可計(jì)算求出eq\o(x,\s\up9(-))＝30，而回歸直線方程必過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))，則eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)字為a，則eq\f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，計(jì)算得a＝68.答案：684．近年來(lái)，我國(guó)高等教育事業(yè)有了迅速發(fā)展，為了解某省從2000年到2014年18歲到24歲的青年人每年考入大學(xué)的人數(shù)，我們把農(nóng)村、縣鎮(zhèn)和城市分別標(biāo)記為一組、二組、三組分開(kāi)統(tǒng)計(jì)．為了便于計(jì)算，把2000年編號(hào)為1，2001年編號(hào)為2，…，2014年編號(hào)為15，如果把年份從1到15作為自變量進(jìn)行回歸分析，可得三個(gè)回歸方程：農(nóng)村：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80；縣鎮(zhèn)：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72；城市：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50(y的單位是萬(wàn))．則下列說(shuō)法中正確的是________．(把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)填上)①