江西省部分學(xué)校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

高三文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交并補的運算法則求解.【詳解】由，得，所以；故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，其中，則（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計算.【詳解】，由，得，，解得.故選：C.3.為提升學(xué)校教職工的身體素質(zhì)，某校工會組織學(xué)校600名教職工積極參加“全民健身運動會”，該運動會設(shè)有跳繩、仰臥起坐、俯臥撐、開合跳、健步走五個項目，教職工根據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個，參加各項目的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加俯臥撐項目的教職工有75名，參加跳繩項目的教職工有125名，則該校（）A.參加該運動會的教職工的總?cè)藬?shù)為450B.參加該運動會的教職工的總?cè)藬?shù)占該校教職工人數(shù)的80%C.參加開合跳項目的教職工的人數(shù)占參加該運動會的教職工的總?cè)藬?shù)的12%D.從參加該運動會的教職工中任選一名，其參加跳繩或健步走項目的概率為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)餅狀圖結(jié)合頻數(shù)與頻率的關(guān)系判斷A，B，C，根據(jù)古典概型概率公式判斷D.【詳解】參加該運動會的教職工的總?cè)藬?shù)為，故選項A錯誤，參加該運動會教職工的總?cè)藬?shù)與該校教職工人數(shù)的比值為，選項B錯誤；由已知參加跳繩項目的教職工的人數(shù)占比，所以參加開合跳項目的教職工的人數(shù)占比，故選項C錯誤.參加參加跳繩或健步走項目的教職工的人數(shù)為，所以任選一名，其參加跳繩或健步走項目的概率，故選項D正確；故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則的值為（）A. B. C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】首先令，得出，再根據(jù)其漸進線方程得出，即求得的值．【詳解】因為方程表示雙曲線，所以令，得，又因為其一條漸近線的方程為，所以，所以，解得，故選：B．5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】注意到，.則原式.故選：A.6.如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及特殊值的函數(shù)值，結(jié)合已知函數(shù)圖象，即可選擇.【詳解】由題圖可知該函數(shù)為偶函數(shù)，時的函數(shù)值接近于1，對于A，，，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A；對于B，時，，故排除B；對于C，時，接近于1，故C符合；對于D，時，，故排除D；故選：C.7.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有圓亭（圓亭可看作圓臺），下周三丈，上周二丈，高一丈.”則該圓亭的側(cè)面積為（）A平方丈 B.平方丈C.平方丈 D.平方丈【答案】B【解析】【分析】由條件求圓臺的底面半徑和側(cè)棱長，再由圓臺側(cè)面積公式求解.【詳解】如圖，ABCD是圓臺的軸截面，O，H分別為AB，CD的中點，則，過點C作于G，由題意知丈，丈，丈，得BC=（丈），所以該圓亭的側(cè)面積為所以（平方丈）.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】因為，所以.故選:D9.在平面四邊形中，，若，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，建立以所在直線為軸，的垂直平分線為軸的平面直角坐標系，利用平面向量的坐標法即可得答案.【詳解】設(shè)，如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，則，，因為，所以，所以,解得，所以.故選：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)周期的計算可判斷A，根據(jù)對稱軸以及對稱中心可判斷BC，代入驗證的表達式可判斷D.【詳解】由，得的最小正周期為，故選項A正確；因為，所以關(guān)于點對稱，故選項B正確；因為，所以關(guān)于直線對稱，故選項C正確；因為而，所以，故選項D錯誤.故選：D11.已知三點在球的球面上，且，若球上的動點到點所在平面的距離的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)點到平面的距離最大時，與在球的大圓截面且，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，代入表面積公式即可求解.【詳解】因為，所以，則外接圓的半徑為，當(dāng)點到平面的距離最大時，與在球的大圓截面且，所以球的半徑滿足：，解得，所以球的表面積為.故選：B.12.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意將已知條件化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解.【詳解】由得，令，則，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即.故選：A.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，令，由幾何意義得出最值.詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，令，平移直線，則當(dāng)直線過點時，取最小值，所以的最小值為.故答案為：14.若直線與曲線相切，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】設(shè)切點坐標為，由曲線可得，則，解得，所以故答案為：215.橢圓的四個頂點為、、、，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和四邊形內(nèi)切圓的性質(zhì)，分析可得其內(nèi)切圓的半徑的大小等于橢圓的半焦距的長度，進而得到關(guān)于、的方程進行求解.【詳解】易知邊的直線方程為：，即，則平行四邊形的內(nèi)切圓的圓心是橢圓的中心，半徑為中心到直線的距離，又因為四邊形的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，所以，即，即，即，即，解得或（舍），則.故答案為：.16.在中，點在邊上，，則邊的最小值為__________.【答案】1【解析】【分析】在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】令，則，又，在中，由余弦定理可得，化簡整理得，因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為1.故答案為：1三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22?23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項和為，且時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，求出通項公式；運用分組求和法求和.【小問1詳解】因為時，，所以時，，兩式相減可得：，所以時，，又，，，即是首項為1，公比為2等比數(shù)列，所以的通項公式為；【小問2詳解】由（1）知.所以.所以數(shù)列的前項和；綜上，，.18.據(jù)統(tǒng)計，某校高三打印室月份購買的打印紙的箱數(shù)如表：月份代號t1234打印紙的數(shù)量y（箱）60657085（1）求相關(guān)系數(shù)r，并從r的角度分析能否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合）；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程，并用其預(yù)測5月份該校高三打印室需購買的打印紙約為多少箱.參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，相關(guān)系數(shù)參考數(shù)據(jù)：【答案】（1），線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；（2），90箱.【解析】【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)最小二乘法可得線性回歸直線方程，然后將代入回歸方程即得.【小問1詳解】由已知數(shù)據(jù)可得，又，，所以，因為，所以線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；【小問2詳解】因為8，，所以y關(guān)于t的回歸方程為，將代入回歸方程，得箱，所以預(yù)測5月份該校高三打印室需購買的打印紙約為90箱.19.如圖，三棱柱中，是的中點，.（1）證明：平面；（2）若，點到平面的距離為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)是的中點得到，利用線面垂直的判定得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定得到平面，進而得到面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)，過點作于點，進而得到平面，求出所需的各邊長，進而計算即可求解.【小問1詳解】因為是的中點，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，因為是的中點，所以，又因為，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，所以平面，因為，所以，取的中點，連接，可得，所以平面即為平面，又平面，所以平面平面，過點作于點，則平面，所以，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，.因為平面，所以因為，所以.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）對原函數(shù)求導(dǎo)，二次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)值的符號，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）存在極值點，，即存在變號實根，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并分析，求范圍即可.【小問1詳解】的定義域為，當(dāng)時，，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】存在極值點等價于存在變號零點，等價于存在變號實根，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以單調(diào)遞減，令，所以，令，解得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值即最小值，所以，所以，當(dāng)無限趨向于0時，趨向于正無窮大，當(dāng)無限趨向于正無窮大時，趨向于0，所以，即.故實數(shù)的取值范圍為.21.已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）過點分別作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于與，記的面積分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）利用定義法求出拋物線的方程；（2）拋物線焦點弦的性質(zhì)：過拋物線的焦點的直線與拋物線交于點，設(shè)其方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出面積的表達式，然后將式子代入，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】由，知，所以，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由題意知直線與的斜率均不為0，設(shè)，聯(lián)立消去得，則，因為，用替換得所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值為32.（二）選做題：共10分.請考生在22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為（1）求的普通方程與的直角坐標方程；（2）求與交點的極坐標.【答案】（1）C的普通方程為，的直角坐標方程為；（2），.【解析】【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)恒等變換消去參數(shù)可得的普通方程，利用將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）聯(lián)立方程組求交點的直角坐標，再將其轉(zhuǎn)化為極坐標.【小問1詳解】因為所以得..由，得，所以，所以所以C的普通方程為，l的直角坐標方程為.【小問2詳解】聯(lián)立得或，所以l與C交點的直角坐標分別為，，設(shè)點的極坐標為，，，則，，所以，，所以點的極坐標為，同理可得點的極坐標