2024屆安徽省宣城市名校數學九上期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆安徽省宣城市名校數學九上期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知和是以點為位似中心的位似圖形，且和的周長之比為，點的坐標為，則點的坐標為（）．A． B． C． D．2．已知的直徑是8，直線與有兩個交點，則圓心到直線的距離滿足（）A． B． C． D．3．如圖，過反比例函數的圖象上一點作軸于點，連接，若，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．如圖，已知點是第一象限內橫坐標為2的一個定點，軸于點，交直線于點，若點是線段上的一個動點，，，點在線段上運動時，點不變，點隨之運動，當點從點運動到點時，則點運動的路徑長是（）A． B． C．2 D．5．如圖，拋物線交x軸的負半軸于點A，點B是y軸的正半軸上一點，點A關于點B的對稱點A?恰好落在拋物線上．過點A?作x軸的平行線交拋物線于另一點C，則點A?的縱坐標為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．36．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數的情況下，為了估計白球數，小剛向其中放入了8個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復這一過程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估計盒中大約有白球（

）A．32個 B．36個 C．40個 D．42個7．若點（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函數圖象上的點，并且y1＜0＜y2，則下列結論中正確的是（）A．x1＞x2 B．x1＜x2 C．y隨x的增大而減小 D．兩點有可能在同一象限8．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．109．點P（x﹣1，x+1）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點0）20米的A處，則小明的影長為（）米．A．4 B．5 C．6 D．711．如圖，在四邊形ABCD中，，，，AC與BD交于點E，，則的值是（）A． B． C． D．12．已知x2＋y＝3，當1≤x≤2時，y的最小值是()A．－1 B．2 C．2.75 D．3二、填空題（每題4分，共24分）13．現(xiàn)有三張分別標有數字2、3、4的卡片，它們除了數字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中任意抽取一張，將上面的數字記為a（不放回）；從剩下的卡片中再任意抽取一張，將上面的數字記為b，則點（a,b）在直線圖象上的概率為__．14．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于點D，則△ABD與△ADC的面積比為________.15．如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點O分斜邊AB為BO：OA=1：，將△BOC繞C點順時針方向旋轉到△AQC的位置，則∠AQC=．16．一男生推鉛球，鉛球行進高度y與水平距離x之間的關系是，則鉛球推出的距離是_____．此時鉛球行進高度是_____．17．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是_____．18．如圖，在中，，，為邊上的一點，且，若的面積為，則的面積為__________．三、解答題（共78分）19．（8分）關于的一元二次方程的兩個實數根分別為，.（1）求的取值范圍；（2）若，求的值.20．（8分）計算：2cos230°+﹣sin60°．21．（8分）如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連結AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連結DG.(1)填空：若∠BAF＝18°，則∠DAG＝______°.(2)證明：△AFC∽△AGD；(3)若＝，請求出的值.22．（10分）如圖，二次函數的圖象經過坐標原點，與軸的另一個交點為A(－2，0)．（1）求二次函數的解析式（2）在拋物線上是否存在一點P，使△AOP的面積為3，若存在請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．23．（10分）(1)計算：(2119－)1－(cos61°)-2＋－tan45°；(2)解方程：2x2－4x＋1=1．24．（10分）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E，F(xiàn)中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構成無數個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．25．（12分）某網店打出促銷廣告：最潮新款服裝30件，每件售價300元，若一次性購買不超過10件時，售價不變；若一次性購買超過10件時，每多買2件，所買的每件服裝的售價均降低6元.已知該服裝成本是每件200元.設顧客一次性購買服裝x件時，該網店從中獲利y元.（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.（2）顧客一次性購買多少件時，該網店從中獲利最多，并求出獲利的最大值？26．定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，對角線BD平分∠ABC．求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；（3）如圖3，已知FH是四邊形EFCH的“相似對角線”，∠EFH=∠HFG=30°，連接EG，若△EFG的面積為2，求FH的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】設位似比例為k，先根據周長之比求出k的值，再根據點B的坐標即可得出答案．【題目詳解】設位似圖形的位似比例為k則和的周長之比為，即解得又點B的坐標為點的橫坐標的絕對值為，縱坐標的絕對值為點位于第四象限點的坐標為故選：A．【題目點撥】本題考查了位似圖形的坐標變換，依據題意，求出位似比例式解題關鍵．2、B【分析】先求出圓的半徑,再根據直線與圓的位置關系與d和r的大小關系即可得出結論．【題目詳解】解:∵的直徑是8∴的半徑是4∵直線與有兩個交點∴0≤d＜4（注：當直線過圓心O時，d=0）故選B．【題目點撥】此題考查的是根據圓與直線的位置關系求圓心到直線的距離的取值范圍，掌握直線與圓的位置關系與d和r的大小關系是解決此題的關鍵．3、C【分析】根據，利用反比例函數系數的幾何意義即可求出值，再根據函數在第一象限可確定的符號.【題目詳解】解：由軸于點，，得到又因圖象過第一象限,，解得故選C【題目點撥】本題考查了反比例函數系數的幾何意義.4、D【分析】根據題意利用相似三角形可以證明線段就是點運動的路徑（或軌跡），又利用∽求出線段的長度，即點B運動的路徑長．【題目詳解】解：由題意可知，，點在直線上，軸于點，則為頂角30度直角三角形，.如下圖所示，設動點在點（起點）時，點的位置為，動點在點（終點）時，點的位置為，連接，∵，∴又∵，∴（此處也可用30°角的）∴∽，且相似比為，∴現(xiàn)在來證明線段就是點運動的路徑（或軌跡）.如圖所示，當點運動至上的任一點時，設其對應的點為，連接，，∵，∴又∵，∴∴∽∴又∵∽∴∴∴點在線段上，即線段就是點運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點運動的路徑（或軌跡）是線段，其長度為.故選：【題目點撥】本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大．本題的要點有兩個：首先，確定點B的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中.5、B【分析】先求出點A坐標，利用對稱可得點橫坐標，代入可得縱坐標.【題目詳解】解：令得，即解得點B是y軸的正半軸上一點，點A關于點B的對稱點A?恰好落在拋物線上點的橫坐標為1當時，所以點A?的縱坐標為2.故選：B【題目點撥】本題考查了二次函數的圖像，熟練利用函數解析式求點的坐標是解題的關鍵.6、A【分析】可根據“黑球數量÷黑白球總數=黑球所占比例”來列等量關系式，其中“黑白球總數=黑球個數+白球個數“，“黑球所占比例=隨機摸到的黑球次數÷總共摸球的次數”【題目詳解】設盒子里有白球x個，

根據得：解得：x=1．

經檢驗得x=1是方程的解．

答：盒中大約有白球1個．

故選；A．【題目點撥】此題主要考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解，注意分式方程要驗根．7、B【解題分析】根據函數的解析式得出反比例函數y的圖象在第二、四象限，求出點（x1，y1）在第四象限的圖象上，點（x1，y1）在第二象限的圖象上，再逐個判斷即可．【題目詳解】反比例函數y的圖象在第二、四象限．∵y1＜0＜y1，∴點（x1，y1）在第四象限的圖象上，點（x1，y1）在第二象限的圖象上，∴x1＞0＞x1．A．x1＞x1，故本選項正確；B．x1＜x1，故本選項錯誤；C．在每一個象限內，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤；D．點（x1，y1）在第四象限的圖象上，點（x1，y1）在第二象限的圖象上，故本選項錯誤．故選A．【題目點撥】本題考查了反比例函數的圖象和性質的應用，能熟記反比例函數的性質是解答此題的關鍵．8、B【解題分析】先通過解方程求出等腰三角形兩邊的長，然后利用三角形三邊關系確定等腰三角形的腰和底的長，進而求出三角形的周長．本題解析：x2-4x+3=0(x?3)(x?1)=0，x?3=0或x?1=0，所以x?=3,x?=1，當三角形的腰為3，底為1時，三角形的周長為3+3+1=7，當三角形的腰為1，底為3時不符合三角形三邊的關系，舍去，所以三角形的周長為7.故答案為7.考點：解一元二次方程-因式分解法,三角形三邊關系,等腰三角形的性質9、D【解題分析】本題可以轉化為不等式組的問題，看下列不等式組哪個無解，（1）x-1＞0,x+1＞0，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，點在第一象限；（2）x-1＜0,x+1＜0，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，點在第三象限；（3）x-1＞0,x+1＜0，無解；（4）x-1＜0,x+1＞0，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，點在第二象限．故點P不能在第四象限，故選D．10、B【分析】直接利用相似三角形的性質得出，故，進而得出AM的長即可得出答案．【題目詳解】解：由題意可得：OC∥AB，則△MBA∽△MCO，∴，即解得：AM＝1．故選：B．【題目點撥】此題主要考查了相似三角形的應用，根據題意得出△MBA∽△MCO是解題關鍵．11、C【分析】證明，得出，證出，得出，因此，在中，由三角函數定義即可得出答案．【題目詳解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，；故選：C．【題目點撥】本題考查了平行線的性質、相似三角形的判定與性質以及解直角三角形的應用等知識；熟練掌握解直角三角形，證明三角形相似是解題的關鍵．12、A【分析】移項后變成求二次函數y=-x2+2的最小值，再根據二次函數的圖像性質進行答題．【題目詳解】解：∵x2+y=2，∴y=-x2+2．∴該拋物線的開口方向向下，且其頂點坐標是（0，2）．∵2≤x≤2，∴離對稱軸越遠的點所對應的函數值越小，∴當x=2時，y有最小值為-4+2=-2．故選：A．【題目點撥】本題考查了二次函數的最值．求二次函數的最值有常見的兩種方法，第一種是配方法，第二種是直接套用頂點的縱坐標求，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解決本題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【解題分析】根據題意列出圖表，即可表示（a，b）所有可能出現(xiàn)的結果,根據一次函數的性質求出在圖象上的點，即可得出答案．【題目詳解】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直線圖象上的只有(3,2)，

∴點（a，b）在圖象上的概率為．【題目點撥】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題屬于不放回實驗．14、1:1【分析】根據∠BAC=90°，可得∠BAD+∠CAD=90°，再根據垂直的定義得到∠ADB=∠CDA=90°，利用三角形的內角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根據同角的余角相等得到∠B=∠CAD，利用兩對對應角相等兩三角形相似得到△ABD∽△CAD，由tanB=tan60°=，再根據相似三角形的面積比等于相似比（對應邊的之比）的平方即可求出結果．【題目詳解】：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠CDA=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠B=∠CAD，又∠ADB=∠CDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴,

∵∠B=60°，

∴，

∴．

故答案為1：1．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似比即為對應邊之比，周長比等于相似比，面積之比等于相似比的平方是解決問題的關鍵．15、105°．【分析】連接OQ，由旋轉的性質可知：△AQC≌△BOC，從而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根據特殊直角三角形邊的關系，分別求出∠AQO與∠OQC的值，可求出結果．【題目詳解】連接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋轉的性質可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，設BO=1，OA=，∴AQ=1，則tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案為105°．16、12【分析】鉛球落地時，高度，把實際問題理解為當時，求x的值即可．【題目詳解】鉛球推出的距離就是當高度時x的值當時，解得：（不合題意，舍去）則鉛球推出的距離是1．此時鉛球行進高度是2故答案為：1；2．【題目點撥】本題考查了二次函數的應用，理解鉛球推出的距離就是當高度時x的值是解題關鍵．17、（2，1）【分析】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【題目詳解】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【題目點撥】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．18、1【分析】首先判定△ADC∽△BAC，然后得到相似比，根據面積比等于相似比的平方可求出△BAC的面積，減去△ADC的面積即為△ABD的面積．【題目詳解】∵∠CAD=∠B，∠C=∠C∴△ADC∽△BAC∴相似比則面積比∴∴故答案為：1．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）m=-1.【分析】（1）根據一元二次方程有兩個實數根可得：△≥0，列出不等式即可求出的取值范圍；（2）根據根與系數的關系，分別表示出和，然后代入已知等式即可求出m的值.【題目詳解】（1）解：由題可知：解出：（2）解：由根與系數的關系得：，又∵∴解出：【題目點撥】此題考查的是求一元二次方程的參數的取值范圍和參數的值，掌握一元二次方程根的情況與△的關系和根與系數的關系是解決此題的關鍵.20、【分析】先根據特殊三角函數值計算,然后再進行二次根式的加減.【題目詳解】原式=,=,=.【題目點撥】本題主要考查特殊三角函數值,解決本題的關鍵是要熟練掌握特殊三角函數值.21、(1)27；(2)證明見解析；(3)＝.【分析】(1)由四邊形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到結論；(2)由四邊形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到結果；(3)設BF＝k，CF＝2k，則AB＝BC＝3k，根據勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到結論.【題目詳解】解：(1)∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴∠BAC＝∠GAF＝45°，∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠HAG＝∠BAF＝18°，∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，故答案為：27.(2)∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴＝，＝，∴＝，∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠DAG＝∠CAF，∴△AFC∽△AGD；(3)∵＝，設BF＝k，∴CF＝2k，則AB＝BC＝3k，∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，∴△AFH∽△ACF，∴，∴＝＝.【題目點撥】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，找準相似三角形是解題的關鍵．22、（4）y＝－x3－3x；（3）（4，-4），（4，-4）．【分析】（4）把點（3，3）和點A（-3，3）分別代入函數關系式來求b、c的值；（3）設點P的坐標為（x，-x3-3x），利用三角形的面積公式得到-x3-3x=±4．通過解方程來求x的值，則易求點P的坐標．【題目詳解】解：（4）∵二次函數y=-x3+bx+c的圖象經過坐標原點（3，3）∴c=3．又∵二次函數y=-x3+bx+c的圖象過點A（-3，3）∴-（-3）3-3b+3=3，∴b=-3．∴所求b、c值分別為-3，3；（3）存在一點P，滿足S△AOP=4．設點P的坐標為（x，-x3-3x）∵S△AOP=4∴×3×|-x3-3x|=4∴-x3-3x=±4．當-x3-3x=4時，此方程無解；當-x3-3x=-4時，解得x4=-4，x3=4．∴點P的坐標為（-4，-4）或（4，-4）．【題目點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點．解（4）題時，實際上利用待定系數法來求拋物線的解析式．23、（1）-2；（2），【分析】（1）先計算特殊角的三角函數，然后計算負整數指數冪、零次冪、立方根，再合并同類項即可；（2）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案.【題目詳解】解：（1）原式===；（2）∵，∴，∴；∴，.【題目點撥】本題考查了特殊角的三角函數，實數的混合運算，以及解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行計算.24、（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，直線AB的解析式為y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面積最大，最大值是，此時點P（，）．【分析】（1）將A（3，0），B（0，3）兩點代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到拋物線的解析式，設直線AB的解析式為y=kx+n，將A、B兩點坐標代入即可求出解析式；（2）由題意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分兩種情況：①若∠AEF=∠AOB=90°時，證明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°時，證明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；（3）如圖，存在，連接OP，設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），根據，得到，由此得到當x=時△ABP的面積有最大值，最大值是，并求出點P的坐標.【題目詳解】（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，設直線AB的解析式為y=kx+n，∴，解得，∴直線AB的解析式為y=﹣x+3；（2）由題意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①若∠AEF=∠AOB=90°時，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AEF∴=，∴，∴t=．②若∠AFE∠AOB=90°時，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AFE，∴=，∴，∴t=；綜上所述，t=或；（3）如圖，存在，連接OP，設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），∵,∴===，∵<0，∴當x=時△ABP的面積有最大值，最大值是，此時點P（，）．【題目點撥】此題是二次函數與一次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定及性質，函數與動點問題，函數圖象與幾何圖形面積問題.25、（1）y=100x（的整數）y=x(的整數);（2）購買22件時