九　空間中直線、平面的平行

10九空間中直線、平面的平行【基礎必會練】1.已知向量a=(2,1,-5),b=(4,y,z),且a∥b,則y+z= ()A.-8 B.-12 C.8 D.12【解析】選A.因為向量a=(2,1,-5),b=(4,y,z),且a∥b,所以b=λa,則有4=2λy=λz=?5所以y+z=-8.2.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,1,1),則 ()A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.由題意,a·n=1×(-2)+2×1=0,所以a⊥n,故l?α或l∥α.3.(2022·溫州高二檢測)已知平面α的一個法向量是(2,-1,1),α∥β,則下列向量可作為平面β的一個法向量的是 ()A.(4,2,-2) B.(2,0,4)C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2)【解析】選D.平面α的一個法向量是(2,-1,1),α∥β,設平面β的法向量為(x,y,z),則(2,-1,1)=λ(x,y,z),λ≠0,對比四個選項可知,只有D符合要求.4.如圖,在空間直角坐標系中,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點E是棱B1C1的中點,點F(x,y,z)是平面AA1D1D上的點,且CF∥平面A1BE,則點F(x,y,z)滿足方程 ()A.y-z=0 B.y-z-1=0C.2y-z-2=0 D.2y-z-1=0【解析】選C.如題圖知B(2,0,0),E(2,1,2),A1(0,0,2),C(2,2,0),故=(-2,y-2,z),=(0,1,2),=(-2,0,2),設平面A1BE的法向量為e=(m,n,k),則,即n+2k令m=1,得n=-2,k=1,故平面A1BE的一個法向量為e=(1,-2,1),又·e=0,故有-2-2y+4+z=0,即2y-z-2=0.5.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則能使l∥α的是 ()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,0)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)【解析】選CD.若l∥α,則a·n=0.A選項中a·n=-2,B選項中a·n=1+5=6,C選項中a·n=0,D選項中a·n=-3+3=0.6.(多選題)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點M,P,Q分別為棱AB,CD,BC中點,若平行六面體的各棱長均相等,則下列說法中正確的是()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1【解析】選ACD.連接PM(圖略),因為M,P分別為AB,CD的中點,故PM平行且等于AD,由題意知AD平行且等于A1D1,故PM平行且等于A1D1,所以四邊形PMA1D1為平行四邊形,故A正確;顯然A1M與B1Q為異面直線,故B錯誤;由A知A1M∥D1P,由于D1P既在平面DCC1D1內(nèi),又在平面D1PQB1內(nèi),且A1M既不在平面DCC1D1內(nèi),又不在平面D1PQB1內(nèi),故C,D正確.7.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,則λ的值為________.

【解析】因為α∥β,所以α的法向量與β的法向量也互相平行,所以24=3λ=?1?2,所以答案:68.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面PAD的位置關系為________.

【解析】以點A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略),設AB=a,AP=c,AD=b,則A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),故E(a,b2,c2),則=(0,b2,又=(a,0,0)為平面PAD的一個法向量,且·=0,BE?平面PAD,故BE∥平面PAD.答案:平行9.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,BB1的中點,求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.【證明】以點D為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略),設該正方體的棱長為1,則A(1,0,0),E(0,0,12),C1(0,1,1),F(1,1,12所以=(-1,0,12),=(-1,0,12),=(0,1,12),=(0,1,12),因為=,=,且F?AE,F?EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF,所以四邊形AEC1F是平行四邊形.10.如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD,點M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求證:MN∥【證明】因為M在BD上,且BM=13BD所以=13=13+13,同理=13+13,又==-,所以=++=(13+13)++(13+13)=23+13=23+13,又與不共線,所以,,共面,因為MN不在平面CDE內(nèi),所以MN∥平面CDE.【能力進階練】11.(2022·北京高二檢測)已知直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則“m·n=0”是“l(fā)∥α”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.因為m·n=0,所以m⊥n,因為m·n=0,即m⊥n,不一定有l(wèi)∥α,也可能l?α,所以“m·n=0”是“l(fā)∥α”的不充分條件,因為l∥α,可以推出m⊥n,所以“m·n=0”是“l(fā)∥α”的必要條件,綜上所述,“m·n=0”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件.12.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點M的坐標為 ()A.(1,1,1) B.(23,2C.(22,22,1) D.(24【解析】選C.連接OE(圖略),設點M的坐標為(x,y,1),因為AC∩BD=O,所以O(22,22,0),又E(0,0,1),A(2,所以=(-22,-22=(x-2,y-2,1),因為AM∥平面BDE,所以∥,所以x?2所以M點的坐標為(22,2213.已知O為坐標原點,四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直線BD∥CA,并且與坐標平面xOz相交于點D,點D的坐標為________.

【解析】由題意可設點D的坐標為(x,0,z),則=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).因為BD∥CA,所以x?2=0,z所以點D的坐標為(2,0,5).答案:(2,0,5)14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M是線段AC的中點,點N是線段A1B上的點,若MN∥平面B1BCC1,則A1N=________A1B.

【解析】設=λ(0≤λ≤1),因為MN∥平面B1BCC1,所以存在實數(shù)x,y,使得=x+y,①又=-=λ-12(+)=λ(+)-12(+)=-12+λ+(λ-12),②比較①②,可知λ-12=0,即λ=1即點N是線段A1B的中點,所以A1N=12A1答案:115.如圖,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD,B1C的中點,利用向量法證明:(1)MN∥平面CC1D1D;(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【證明】(1)以D為坐標原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1),由正方體的性質(zhì),知AD⊥平面CC1D1D,所以=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個法向量,由于=(0,1,-1),則·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥,又MN?平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D;(2)因為=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),則,即=(2,0,0)也是平面MNP的一個法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.【創(chuàng)新拓展練】16.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,P是側面BCC1B1內(nèi)一點,若A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的最小值為()A.2 B.322 C.3 D【解析】選B.以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),=(-1,2