數(shù)學(xué)人教A版選修2-2教材習(xí)題點撥1.4生活中的優(yōu)化問題舉例

教材習(xí)題點撥教材問題解答(思考)如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比，那么如何計算磁盤的存儲量？此時，是不是r越小，磁盤的存儲量越大？答：如果每條磁道存儲的信息與磁道的長度成正比，可以通過計算每條磁道存儲的信息量，然后再相加即可．此時，r越小，磁盤存儲量越大．A組1．解：設(shè)兩段鐵絲的長度分別為x，l－x，則這兩個正方形的邊長分別為eq\f(x,4)，eq\f(l－x,4)，兩個正方形的面積和為S＝f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l－x,4)))2＝eq\f(1,16)(2x2－2lx＋l2)，0＜x＜l.令f′(x)＝0，即4x－2l＝0，x＝eq\f(l,2).容易知道，在(0，l)內(nèi)，x＝eq\f(l,2)是函數(shù)f(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點．因此，當(dāng)x＝eq\f(l,2)，即兩段鐵絲的長度分別是eq\f(l,2)時，兩個正方形的面積之和最?。穑簝啥舞F絲的長度分別是eq\f(l,2)時，兩個正方形的面積之和最小．2．解：如圖所示，由于在邊長為a的正方形鐵片的四個角截去四個邊長為x的小正形，做成一個無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面為正方形，且邊長為a－2x，高為x.(1)無蓋方盒的容積V(x)＝(a－2x)2x，0＜x＜eq\f(a,2).(2)因為V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，所以V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得x＝eq\f(a,2)(舍去)，或x＝eq\f(a,6).容易知道，在(0，eq\f(a,2))內(nèi)，x＝eq\f(a,6)是函數(shù)V(x)的唯一極值點，且為極大值點．因此，當(dāng)x＝eq\f(a,6)時，無蓋方盒的容積V最大．答：當(dāng)x＝eq\f(a,6)時，無蓋方盒的容積V最大．3．解：如圖，設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S＝2πRh＋2πR2.由V＝πR2h，得h＝eq\f(V,πR2)，因此S(R)＝2πReq\f(V,πR2)＋2πR2＝eq\f(2V,R)＋2πR2，R＞0.令S′(R)＝－eq\f(2V,R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r(3,\f(V,2π)).從而h＝eq\f(V,πR2)＝eq\f(V,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))))2)＝eq\r(3,\f(4V,π))＝2eq\r(3,\f(V,2π))，即h＝2R.容易知道，在(0，＋∞)上，S(R)只有一個極值，且是極小值，所以它是最小值．表面積最小時，所用材料最?。穑寒?dāng)罐高與底面直徑相等時，所用材料最?。?．解：由于f(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,)(x－ai)2，所以f′(x)＝eq\f(2,n)eq\i\su(i=1,n,)(x－ai)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,a)i.容易知道，f(x)只有一個極值，且為極小值，所以它是最小值．這個結(jié)果表明，用n個數(shù)據(jù)的平均值eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,a)i表示這個物體的長度是合理的，這就是最小二乘法的基本原理．5．解：設(shè)矩形的底寬為xm，則圓的半徑為eq\f(x,2)m，半圓的面積為eq\f(πx2,8)m2，矩形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(πx2,8)))m2，矩形的另一邊長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\f(πx,8)))m，因此鐵絲的長為l(x)＝eq\f(πx,2)＋x＋eq\f(2a,x)－eq\f(πx,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(π,4)))x＋eq\f(2a,x)，0＜x＜eq\r(\f(8a,π)).令l′(x)＝1＋eq\f(π,4)－eq\f(2a,x2)＝0，得x＝eq\r(\f(8a,4＋π))(負值舍去)．容易知道，l(x)只有一個符合要求的極值，且為極小值，所以它是最小值．因此，當(dāng)?shù)讓挒閑q\r(\f(8a,4＋π))m時，所用材料最?。穑簽槭顾貌牧献钍?，底寬應(yīng)為eq\r(\f(8a,4＋π))m.6．解：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤．收入R＝q·p＝qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq\f(1,8)q2，利潤L＝R－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100，求導(dǎo)得L′＝－eq\f(1,4)q＋21.令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，q＝84.當(dāng)q∈(0,84)時，L′＞0；當(dāng)q∈(84,200)時，L′＜0.因此，q＝84是函數(shù)L的極大值點，也是最大值點．所以產(chǎn)量為84時，利潤L最大．答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大．B組1．解：設(shè)每個房間每天的定價為x元，那么賓館利潤L(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(x－180,10)))(x－20)＝－eq\f(1,10)x2＋70x＋1360(180＜x＜680)．令L′(x)＝－eq\f(1,5)x＋70＝0，解得x＝350.容易知道，L(x)只有一個極值，且為極大值，所以x＝350為最大值點．因此，當(dāng)每個房間每天的定價為350元時，賓館利潤最大．答：當(dāng)每個房間每天的定價為350元時，賓館利潤最大．2．解：設(shè)銷售價為x元/件時，利潤L(x)＝(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋c\f(b－x,b)×4))＝c(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(4,b)x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(5,4)b)).令L′(x)＝－eq\f(8c,b)x＋eq\f(4ac＋