關(guān)于行列式計(jì)算方法的探討

關(guān)于行列式計(jì)算方法的探討

列是線(xiàn)性代碼的重要內(nèi)容。這是討論線(xiàn)性方程組的有力工具，在許多數(shù)學(xué)分支中得到了廣泛應(yīng)用。然而行列式的計(jì)算靈活多變,具有一定的規(guī)律和技巧,筆者結(jié)合幾年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐,從實(shí)例出發(fā),探討一下行列式的計(jì)算方法。一、lnd-1型利用已給的行列式的特點(diǎn),建立起n階行列式與n-1階行列式(或更低階)行列式之間遞推關(guān)系式,利用這個(gè)關(guān)系式求行列式的值。降階遞推法,常見(jiàn)的有兩類(lèi)。1.Dn=LDn-1型;這時(shí)根據(jù)遞推關(guān)系有2.(n>2,q≠0)型;這時(shí)我們可設(shè)α、β是方程x2-px-q=0的根,則α+β=p,-αβ=q,于是有:若α≠β,則由(1)和(2)得注意又由(1)和(2)遞推可得若α=β,則(1)和(2)變?yōu)橛谑墙?D=cDn-1-baDn-2設(shè)α,β是x2-cx+ba=0的根,則,若c2-4ab≠0,則α≠β,于是易算得所以若c2=4ab,則α=β,二、治療弓型行列式行列式的計(jì)算一般是想辦法降階,但對(duì)于某些行列式,在保持原行列式值不變的基礎(chǔ)上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是由1和0構(gòu)成),然后可化成箭型行列式(主對(duì)角上,第一行與第一列元素非零,其余元素為零),最終可化成一個(gè)上三角形行列式求之。例2.計(jì)算分析:這類(lèi)行列式的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是每一行每一列除個(gè)別元素外均相同,這時(shí)可加一條邊,將相同元素化為0。解:三、利益整除理論的應(yīng)用析因子法思想是:若行列式中含有未定元x,則行列式一定是關(guān)于x的一個(gè)多項(xiàng)式,且當(dāng)x取某些值,如x=a能夠使行列式的值為零,根據(jù)多項(xiàng)式整除理論,則行列式一定可以被x-a這個(gè)線(xiàn)性因子整除,也即行列式的表達(dá)里應(yīng)該有這個(gè)因子,如果可以找出行列式的所有因子,求出待定常數(shù)即可得到行列式的值。例3.計(jì)算解:令f(x)=D顯然它是一個(gè)關(guān)于x的n-1次的多項(xiàng)式,易見(jiàn)對(duì)i=1,2,…n-1,f(i)=0,即(x-1),…(x-n+1)是f(x)的因子,且互質(zhì),所以他們的乘積還是f(x)的因子,通過(guò)比較xn-1的系數(shù)知四、二元制變換行列式乘法的主要思想就是:設(shè)A,B都是n階方陣,則其行列式具有性質(zhì)|AB|=|A||B|。此法關(guān)鍵的一步是能把一個(gè)已知矩陣拆成兩個(gè)(行列式值易算出的)矩陣之積。例4.計(jì)算解:根據(jù)行列式乘法,這個(gè)行列式可寫(xiě)成兩個(gè)行列式乘積,一個(gè)是下三角形行列式,另一個(gè)是范德蒙行列式。五、y的n次多項(xiàng)式根據(jù)所給行列式特點(diǎn),構(gòu)造出一個(gè)新行列式再進(jìn)行計(jì)算。例5.計(jì)算解:根據(jù)行列式的特點(diǎn),把原行列式加一行一列構(gòu)造成范德蒙行列式,即這是一個(gè)關(guān)于y的n次多項(xiàng)式。由于Dn是D-1中yn-1的系數(shù)的相反數(shù),由上式右端可知yn-1的系數(shù)為。故原行列式的值就是。六、列方程的降序方程第一降階定理:設(shè)是方陣,且A可逆,則七、其他常用法解:易知Dn的結(jié)果是一個(gè)關(guān)于未知參數(shù)x的多項(xiàng)式,根據(jù)n階行列式求導(dǎo)公式:下面對(duì)它求導(dǎo):此外行列式的計(jì)算方法還有很多,除了以上幾種方法外還有一些常見(jiàn)的方法,如:目標(biāo)行列式法,展開(kāi)法,歸納法等等,由于這些方法簡(jiǎn)單,教科書(shū)上都有詳細(xì)的介紹,這里就不加贅述了。正因?yàn)樾辛惺降挠?jì)算方法是多種多樣的,