相似三角形與圓的綜合應(yīng)用

相似三角形與圓的綜合應(yīng)用個性化輔導(dǎo)講義：課題相似三角形與圓的綜合應(yīng)用教學(xué)目的理解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的鑒定定理及相似三角形的性質(zhì)掌握與圓的有關(guān)性質(zhì)，以及與圓有關(guān)的角的概念及性質(zhì)，理解切線及切線長定理在圓中的應(yīng)用掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的有關(guān)位置關(guān)系，理解相似三角形在圓中的應(yīng)用重點(diǎn)、難點(diǎn)相似三角形的定義及相似三角形的鑒定定理和性質(zhì)與圓有關(guān)的性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系相似三角形在圓中的應(yīng)用考點(diǎn)及考試規(guī)定考點(diǎn)一：相似三角形，理解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的鑒定定理及相似三角形的性質(zhì)?？键c(diǎn)二：圓的基本性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系，掌握圓的基本性質(zhì)，尤其是垂徑定理、圓周角及圓心角；理解與圓有關(guān)的位置關(guān)系，特殊是直線與圓位置關(guān)系中的相切關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容知識框架相似三角形的概念與鑒定（一）定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫相似三角形。相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比（也叫相似系數(shù)）。（二）鑒定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。③有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。④三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比值2.相似三角形各組對應(yīng)角相等3.相似三角形各組對應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項圓的性質(zhì)1、旋轉(zhuǎn)不變性2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．3、軸對稱：4、與圓有關(guān)的角⑴圓心角⑵圓周角點(diǎn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2.鑒定直線與圓的位置關(guān)系的措施有兩種3、常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系：1.兩圓的位置關(guān)系有五種2.根據(jù)兩圓交點(diǎn)個數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系3.根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和的數(shù)量關(guān)系圓中常見的輔助線1．作半徑，運(yùn)用同圓或等圓的半徑相等；2．作弦心距，運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明或計算；3．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行計算；4．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角；5．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角；6．碰到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)?？键c(diǎn)一：相似三角形經(jīng)典例題1在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,∠ABC的平分線BD與AC交于D,求證:BC＝BD(2)△ABC∽△BDC2.兩個相似三角形對應(yīng)中線之比是3:7，周長之和為30cm,則它們的周長分別是3．如圖，已知EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(BC,DE)=EQ\F(AC,AE)，求證：△ABD∽△ACE4．在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則BD∶AD等于（）（A）a∶b（B）a2∶b2（C）eq\r(a)∶eq\r(b)（D）不能確定5.如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EQ\F(CE,DE)=EQ\F(1,2)求EQ\F(BC,AC)的值。知識概括、措施總結(jié)與易錯點(diǎn)分析相似三角形的概念與鑒定（一）定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫相似三角形。相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比（也叫相似系數(shù)）。（二）鑒定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。③有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。④三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比值2.相似三角形各組對應(yīng)角相等3.相似三角形各組對應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項針對性練習(xí)1．兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線的長分別為10cm和20cm，若它們的周長的差是60cm，則較大的三角形的周長是----------，若它們的面積之和為260cm2，則較小的三角形的面積為----------cm22.如圖，PLMN為矩形，AD⊥BC于D，PL∶LM=5∶9，且BC=36cm，AD=12cm，求矩形PLMN的周長3.如圖，在RtΔABD中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C，AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的長如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,求矩形的面積考點(diǎn)二：圓、相似與圓的綜合應(yīng)用經(jīng)典例題1.如圖，AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE的延長線分別交AC、⊙O、BC的延長線于F、M、G.求證：AE·BE＝EF·EG；2.如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點(diǎn)，且AD∥CO。(1)求證：ΔADB∽ΔOBC；(2)若AB=2，BC=，求AD的長。(成果保留根號)ABCDOP圖5－1－23.已知：如圖，AB是ABCDOP圖5－1－2求證：（1）BC平分∠PBD；（2）4.如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，弦AD∥OC.求證：CD是⊙O的切線。AAODB.知識概括、措施總結(jié)與易錯點(diǎn)分析圓的性質(zhì)1、旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和本來圖形重疊；2、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．性質(zhì)：在同圓或等圓中，假如兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其他各對量也分別相等。3、軸對稱：圓是軸對稱圖形，通過圓心的任一直線都是它的對稱軸．4、與圓有關(guān)的角⑴圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。⑵圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的性質(zhì)：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的二分之一．②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外d＞r點(diǎn)在圓上d=r點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r直線與圓的位置關(guān)系鑒定措施有兩種（1）根據(jù)定義，由直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)來判斷；（2）根據(jù)性質(zhì)，由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來判斷常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系（1）當(dāng)兩圓有唯一的公共點(diǎn)時，叫做兩圓相切，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相切的兩個圓除了切點(diǎn)外，一種圓上的點(diǎn)都在另一種圓的外部時，我們就說這兩個圓外切（如圖1）；，相切的兩個圓，除了切點(diǎn)外，一種圓上的點(diǎn)都在另一種圓的內(nèi)部時，我們就說這兩個圓內(nèi)切（如圖2）。（2）設(shè)兩個圓的半徑為R和r,(R＞r)，圓心距為d，則可得兩圓外切d=R+r;兩圓內(nèi)切d=R-r。（3）相切兩圓也構(gòu)成軸對稱圖形，通過兩圓的圓心的直線叫做連心線，是他們的對稱軸，由此我們得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：相切兩圓的連心線必通過切點(diǎn)。兩圓的位置關(guān)系尚有如下三種狀況：當(dāng)兩個圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做兩圓相交（如圖1）；當(dāng)兩個圓沒有公共點(diǎn)時，叫做兩圓相離，相離的兩個圓，假如一種圓上的點(diǎn)都在另一種圓的外部，我們就說這兩個圓外離（如圖2），假如一種圓上點(diǎn)都在另一種圓的內(nèi)部。我們就說這兩個圓內(nèi)含（如圖3）設(shè)兩個圓的半徑為R和r,圓心距為d,則（1）兩圓相交R-r＜d＜R+r;（2）兩圓外離d＞R+r;（3）兩圓內(nèi)含d＜R-r（R＞r）;圓中常見的輔助線1．作半徑，運(yùn)用同圓或等圓的半徑相等；2．作弦心距，運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明或計算；3．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行計算；4．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角；5．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角；6．碰到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)。針對性練習(xí)：1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB，垂足為C，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BA的延長線于點(diǎn)P，tan∠P＝，PO＝16。(1)求⊙O的半徑；(2)求OC的長；(3)若F為弧AE的中點(diǎn)，求cos∠AOF的值。2.已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點(diǎn)，PA的垂線DC切⊙O于點(diǎn)C，過A點(diǎn)作⊙O的直徑AB。（1）求證：AC平分DAB；（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直徑。3.PC切⊙O于點(diǎn)C，過圓心的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是PC上一點(diǎn)，且PF＝AF，F(xiàn)A的延長線交⊙O于點(diǎn)G。求證：（1）∠FGD＝2∠PBC；（2）.4.已知直線L與⊙O相切于點(diǎn)A，直徑AB=6，點(diǎn)P在L上移動，連接OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC并延長BC交直線L于點(diǎn)D，若AP=4，求線段PC的長若ΔPAO與ΔBAD相似，求∠APO的度數(shù)和四邊形OADC的面積（答案規(guī)定保留根號）鞏固作業(yè)1、如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若∠APB=60°，則∠ABO=.(第1題)(第2題)(第3題)2．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點(diǎn)D，則⊙A的半徑為cm．3．如圖，已知∠AOB=30°，M為OB邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2cm為半徑作⊙M．若點(diǎn)M在OB邊上運(yùn)動，則當(dāng)OM=cm時，⊙M與OA相切．4．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)B，PA=3，OA=4，則cos∠APO的值為（）（A）eq\f(3,4)（B）eq\f(3,5)（C）eq\f(4,5)（D）eq\f(4,3)5．已知正三角形的內(nèi)切圓半徑為eq\f(\r(3),3)cm，則它的邊長是（）（A）2cm（B）eq\f(4,3)cm（C）2eq\r(3)cm（D）eq\r(3)cm6．已知半徑均為1厘米的兩圓外切，半徑為2厘米，且和這兩圓都相切的圓共有（）（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個7.如圖，AD、AE分別是⊙O的切線，D、E為切點(diǎn)，BC切⊙O于F,交AD、AE于點(diǎn)B、C，若AD=8.則三角形ABC的周長是（）A.8B.10C.16D.不能確定8.如圖，BC是⊙O的直徑，弦AE⊥BC，垂足D,,AE與BF相交于點(diǎn)G.求證：(1)；(2)BG=GE9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O過BC的中點(diǎn)D,且DE⊥AC.(1)求證:DE是⊙O的切線.(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半徑．OOＡＢＤＥ10.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，BC＝8。以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是B