第01講 空間向量及其運(yùn)算（解析版）

第1講空間向量及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線.注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法.證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二：向量共面問題共面向量（1）定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.（3）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）.知識(shí)點(diǎn)三：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識(shí)點(diǎn)四：夾角問題1.定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖.根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作.2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到.在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角.知識(shí)點(diǎn)五：空間向量的長(zhǎng)度定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；.利用向量求線段的長(zhǎng)度.將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題.一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解.【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算【例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．若，，則與所在直線平行B．向量、、共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個(gè)向量共面D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，當(dāng)時(shí)與所在直線可以不平行，因此不正確；對(duì)于B，向量、、共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確；對(duì)于C，根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個(gè)向量共面，正確；對(duì)于D，若且，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使，因此不正確．故選：C．【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求.【詳解】正六棱柱中，故選：B【例3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】可先畫出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C錯(cuò)誤；，所以D錯(cuò)誤；故選：B．【例4】（2022·全國·高一單元測(cè)試）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長(zhǎng)交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D【題型專練】1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.【答案】D【分析】由空間向量的模長(zhǎng)、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】空間中任意兩個(gè)向量必然共面，A錯(cuò)誤；若，則?的長(zhǎng)度相等但方向不確定，B錯(cuò)誤；向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；由可得向量與長(zhǎng)度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.2.（2022·全國·高一）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項(xiàng).【詳解】連接.故選：A3.（2021·山西·長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識(shí)求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知為正方體且，，，則______．【答案】【詳解】正方體中，則故答案為：5.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體中，若，，，那么______．【答案】【詳解】平行六面體中，則故答案為：6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，E為棱上任意一點(diǎn).只考慮以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)E的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負(fù)向量；(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示；(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示（舉兩個(gè)例子）.【答案】(1)，，；，，，(2)，，，（答案不唯一）(3)，（答案不唯一）【解析】(1)解：的相等向量有：，，；的負(fù)向量即相反向量有：，，，.(2)由向量加減運(yùn)算法則得：，，，（答案不唯一）(3)由向量加法運(yùn)算法則得：，（答案不唯一）題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用【例1】（2022·全國·高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【答案】AC【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線可判斷D.【詳解】由向量共面定理可知A正確；當(dāng)，為零向量可知B錯(cuò)誤；由向量共面定理可知共面，又因?yàn)楣彩键c(diǎn)，所以點(diǎn)，，A，共面，故C正確；當(dāng)，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線時(shí)可知D錯(cuò)誤.故選：AC【例2】（2022·全國·高二）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)【答案】A【詳解】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.故選：A.【例3】（2022·江蘇常州·高二期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點(diǎn)位置有關(guān)【答案】B【詳解】由，所以A，B，C，P四點(diǎn)共面，故選：B【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.【答案】0【詳解】因A，B，C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)k使，顯然且，否則點(diǎn)A，B重合或點(diǎn)B，C重合，則，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，顯然實(shí)數(shù)λ，m，n不為0，因此，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，此時(shí)λ+m+n=k-1+1+(-k)=0，所以λ+m+n的值為0.故答案為：0【題型專練】1．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的共線向量定理、共面向量定理及平行概念，再結(jié)合充要條件即可求解.【詳解】對(duì)于A,由∥，則一定有∥，故A正確；對(duì)于B，由反向共線，可得，故B不正確；對(duì)于C，由三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則，即，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D,若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），當(dāng)，即時(shí)，可得，即，所以三點(diǎn)共線，反之也成立，即是三點(diǎn)共線的充要條件，故D正確.故選：ACD.2.（2021·河南·范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有B．“”是“、共線”的充要條件C．若、共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.【詳解】A項(xiàng)中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；B項(xiàng)中、同向時(shí)，應(yīng)有，所以“”是“、共線”的充分不必要條件；C項(xiàng)中、所在直線可能重合；D項(xiàng)中需滿足，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面．故選：BCD3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面【答案】B【詳解】因?yàn)椋瑒t即即由空間向量共面定理可知，共面，則P，A，B，C四點(diǎn)一定共面故選：B4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得，解之得故選：B5.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，則在下列各條件中，能得到點(diǎn)與A，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論判斷的系數(shù)之和是否等于1，即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以此條件不能保證點(diǎn)與A，，共面；對(duì)于B，因?yàn)?，所以此條件能保證點(diǎn)與A，，共面；對(duì)于C，因?yàn)?，所以此條件不能保證點(diǎn)與A，，共面；對(duì)于D，因?yàn)?，所以此條件不能保證點(diǎn)與A，，共面.故選：B．6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝______．【答案】【詳解】P，A，B，C四點(diǎn)共面，且，，解得.故答案為:題型三：空間向量的數(shù)量積【例1】已知單位正方體，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】(1)0；(2)0；(3)1；(4)1；(5)1；(6).【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)、空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義即求.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【例2】（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，故.故選：D.【例3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，則___________，___________，___________，___________.【答案】

0【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，每個(gè)面都是正三角形.所以.因?yàn)镋?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，所以,所以的夾角為60°，所以；所以的夾角為0°，所以；所以的夾角為120°，所以；取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，則.又,所以面ABG,所以AB，所以的夾角為90°.所以的夾角為90°，所以.故答案為：.【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)與平面的位置關(guān)系是______；當(dāng)最小且最小時(shí)，______．【答案】

平面

【詳解】解：由四點(diǎn)共面定理及三點(diǎn)共線定理可知：平面，直線，當(dāng)最小且最小時(shí)，則是等邊的中心，是邊中點(diǎn).所以，,又因?yàn)槭沁呏悬c(diǎn)，所以故.故答案為：平面，【題型專練】1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）三棱錐中，，，，則______．【答案】-2【詳解】由題意得，故，,故答案為：-22.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1)0(2)1(3)1(4)【解析】【分析】(1)正方體中可得，從而可得答案.(2)正方體中可得，從而可得答案.(3)在正方體中可得，且向量的夾角為，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得答案.(4)在正方體中可得,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.(1)在正方體中，所以，即所以(2)在正方體中，所以，即，即的夾角為所以(3)在正方體中，又向量的夾角為,且所以(4)在正方體中，3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．【答案】24【詳解】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：244.已知長(zhǎng)方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可證AD1⊥B1C可判斷A；當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可證AC⊥BD1可判斷B；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時(shí)有，故正確；選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可得AC⊥BD，，，平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時(shí)有，故正確；選項(xiàng)C，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時(shí)必有0，故正確；選項(xiàng)D，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即，故錯(cuò)誤.故選：D.題型四：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，根據(jù)空間向量夾角公式即可求解．【詳解】設(shè)，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：D【例2】（2022·全國·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，，設(shè)異面直線與所成角為，設(shè)，則，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，則，，，故，故選：C.【題型專練】1．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】∵，∴，∴，，故選：C.2.已知空間四邊形中，，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，將化為，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則和向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】在空間四邊形中,,則,故答案為：03.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，若點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得A-BCD為正四面體，根據(jù)其幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積公式，即可得答案.【詳解】連接AC、BD，由題意得A-BCD為正四面體，底面為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，所以，且，所以.故答案為：4．（2022·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)向量與的夾角為鈍角，則·<0，求得λ的范圍，在將與共線且反向的情況排除即可.【詳解】∵向量與的夾角為鈍角，∴·＝解得.當(dāng)與共線時(shí)，設(shè)＝k(k<0)，可得，解得，即當(dāng)時(shí)，向量與共線且反向，此時(shí)·<0，但與的夾角不是鈍角.綜上：λ的取值范圍是.故答案為：5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，與AB、AD的夾角都為求：（1）的長(zhǎng)；

（2）與AC所成的角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，，，求得，，，根據(jù)，即可求得對(duì)角線的長(zhǎng)；；（2）由，，分別計(jì)算模長(zhǎng)，利用即可得解.【詳解】（1）設(shè)，，，所以，，因?yàn)樗云叫兴倪呅沃兴詫?duì)角線的長(zhǎng)為：.（2）由，可得，所以由，可得.所以，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，求模長(zhǎng)和夾角，屬于基礎(chǔ)題.題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度【例1】如圖，在平行六面體中，底面