斜軋鋼球輥形曲面的解法

斜軋鋼球輥形曲面的解法

一、輥形曲面問題的提出縱軸研究是傾斜工程中的一項重要理論。特別是對于高精度斜軋,這一問題尤為重要。輥形曲面的數(shù)學(xué)描述及其研究是孔型設(shè)計和加工方法分析的理論基礎(chǔ)。輥形曲面問題,許多學(xué)者從不同的角度進(jìn)行研究,曾獲得一些重要結(jié)論。但這些結(jié)論給出的公式較為復(fù)雜,不便進(jìn)行軋輥的設(shè)計與制造,主要因為:(1)軋件在從進(jìn)料口到出料口的運(yùn)動過程中,自身變形過程復(fù)雜:(2)軋輥的轉(zhuǎn)動與軋件的軸向運(yùn)動融合到一起考慮。針對上述問題,作者認(rèn)為:軋輥的轉(zhuǎn)動與軋件的軸向運(yùn)動在實(shí)際中雖然有其內(nèi)在聯(lián)系,但又是獨(dú)立的,可以分開考慮。這樣可使問題簡化,無論對軋輥的設(shè)計還是制造更具實(shí)際意義。二、輥形曲面法的建立在鋼球軋制過程中,軋件與軋輥的兩軸線異面,交角為α0,軸間距離為A。兩軸線的交叉處設(shè)在軋件從棒料變成完整球(球的最終成形狀態(tài))時的球心位置(圖1的虛線圓心)。坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在此交叉處,Z軸與軋輥軸線重合,X軸在兩軸線的公垂線上,Y軸垂直于X軸與Z軸決定的平面(圖1)。坐標(biāo)系的設(shè)置固定,不隨軋輥轉(zhuǎn)角θ變化。在軋制過程中,軋輥繞其軸線旋轉(zhuǎn),軋件沿其軸線移動逐漸成球。在任一瞬時,軋件的表面廓形與軋輥的輥形曲面為線接觸。根據(jù)微分幾何原理,它們之間的關(guān)系是被包絡(luò)曲面與包絡(luò)曲面之間的關(guān)系。在軋制的任一瞬時,棒料的幾何形狀由四部分構(gòu)成:球臺(直線a、b或c、d間的部分)、平直段(直線b、c間的部分)與連接頸(直線d、e間的部分)。保證這四部分的相互協(xié)調(diào)是軋制優(yōu)質(zhì)鋼球的必要條件,當(dāng)然,這最終取決于與這幾部分對應(yīng)的輥形曲面形狀。下面將分別用畫法幾何中的圖形變換法與微分幾何中的包絡(luò)法詳細(xì)研究各部分的輥形曲面。1.與球臺O1、O2成線接觸的輥形曲面(1)輥形曲面的圖解法(圖2)將軋件軸線放成水平位置,根據(jù)交角α0作出輥軸的正面投影O′Z′,根據(jù)中心距A作出輥軸的側(cè)面投影O″Z″,同時作出O″X″,O″Y″。為求球臺O1與輥形曲面的接觸線,必先求其接觸點(diǎn)。為此,在輥軸上取一點(diǎn)M,正面投影M′,側(cè)面投影M″,M″與軋件軸心O″1的連線O″1M與O″X″的負(fù)向夾角設(shè)為ω。同時,需設(shè)立一個與W面垂直的水平位置的新投影面,作出軋件的新投影,按換面法的變換規(guī)律,在輥軸上定出點(diǎn)M。在側(cè)面投影上以軋件軸線O″1為軸心將O″1M″轉(zhuǎn)到水平位置O″1N″,在新投影上求出旋轉(zhuǎn)后的投影N,而軋件繞其本身軸線旋轉(zhuǎn)投影不變。連接O1N與球臺O1交于點(diǎn)K,點(diǎn)K就是旋轉(zhuǎn)后所作球N與軋件的接觸點(diǎn)(切點(diǎn)),NK的長度就是球N的半徑,也是以點(diǎn)M為球心與軋件球臺O1相切的球M的半徑r。將點(diǎn)K投影到水平位置O″X″軸上再轉(zhuǎn)回到原來的投影連線O″1M″上,即得接觸點(diǎn)K的側(cè)面投影K″。用面上取點(diǎn)的方法便可找到其正面投影K′。若在輥軸的某一范圍內(nèi)取一系列點(diǎn)M,就可得一系列接觸點(diǎn)K,將各點(diǎn)K光滑地連接起來就是一條接觸線,此接觸線就是對應(yīng)球臺O1的軋輥輥形曲線。隨著球臺O1在軸向的移動,可作出一系列相應(yīng)的輥形曲線,在輥面上不同轉(zhuǎn)角的輥形曲線連成輥形曲面。同理可作出對應(yīng)球臺O2的軋輥輥形曲線與輥形曲面。(2)輥形曲面的解析法——球臺O1、O2的輥形曲線(接觸線)方程1)與球臺O1相切的球面族Σω的方程設(shè)球M為球面族Σω中任意球面,由圖2中的投影關(guān)系,得球M的球心坐標(biāo)(0?0?Atanωsinα0)在H旋轉(zhuǎn)面上N點(diǎn)坐標(biāo)(A-Acosω,Acotα0tanω)O1點(diǎn)坐標(biāo)(A,tθ)Ο1Ν=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-tθ)2令d=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-tθ)2(1)式中tθ——當(dāng)軋輥轉(zhuǎn)角為θ時,球心O1到X軸的距離,mm球M的半徑r=NK=d-R式中R——軋球半徑,mm球M的方程為:X2+Y2=(Ζ-Atanωsinα0)2=(d-R)2以ω為族參數(shù)的球面族Σω的方程為:F(X,Y,Z;ω)=X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0(2)2)球面族Σω的包絡(luò)曲面方程Fω=(X,Y,Ζ；ω)=2Asec2ωsin2α0[-Ζsinα0+12tθsin2α0-Rd(12tθsin2α0-Atanω)]令Fω(X,Y,Z;ω)=0則Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(3)又FX(X,Y,Z;ω)=2XFY(X,Y,Z;ω)=2YFZ(X,Y,Z;ω)=2(Ζ-Atanωsinα0)令{FX(X,Y,Ζ；ω)=0FY(X,Y,Ζ；ω)=0FΖ(X,Y,Ζ；ω)=0得{X=0Y=0Ζ=Atanωsinα0(4)點(diǎn)族(0?0?Atanωsinα0)是球面族Σω中各球心坐標(biāo),非球面族Σω上的點(diǎn)。由微分幾何知以ω為族參數(shù)的曲面族Σω的包絡(luò)曲面方程為:{F(X?Y?Ζ；ω)=0Fω(X?Y?Ζ；ω)=0且去掉Σω上的奇點(diǎn)(FX=FY=Fz=0的點(diǎn))。由(2),(3),(4)得以ω為族參數(shù)的球面族Σω的包絡(luò)曲面方程為:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(5)3)球臺O1的輥形曲線(接觸線)方程球心O1的坐標(biāo)(A,tθsinα0,tθcosα0)球臺O1的方程為:(X-A)2+(Y-tθsinα0)2+(Z-tθcosα0)2-R2=0(6)由(5)(6)聯(lián)立得球臺O1的輥形曲線方程:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(X-A)2+(Y-tθsinα0)2+(Ζ-tθcosα0)2-R2=0(7)在方程組中,tθ是軋輥轉(zhuǎn)角θ的函數(shù),即tθ=f(θ)。設(shè)棒料咬入開始變形的瞬時,軋輥轉(zhuǎn)角θ=0°,棒料經(jīng)過軋制變成完整的球時,軋輥轉(zhuǎn)角θ=θmax。當(dāng)θ從0°到θmax之間取值時,式(7)又為球臺O1的輥形曲面方程。4)球臺O2的輥形曲線(接觸線)方程與求解球臺O1的輥形曲線方程同理,得球臺O2的輥形曲線方程:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d′-R)2=0Ζsinα0-12t′θsin2α0+Rd′(12t′θsin2α0-Atanω)=0(X-A)2+(Y-t′θsinα0)2+(Ζ-t′θcosα0)2-R2=0(8)式中d′=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-t′θ)2(9)t′θ——當(dāng)軋輥轉(zhuǎn)角為θ時,球心O2到X軸的距離,mm在方程組中,t′θ是軋輥轉(zhuǎn)角θ的函數(shù),即t′θ=f′(θ)。當(dāng)θ從0°到θmax之間取值時,式(8)又為球臺O2的輥形曲面方程。2.與連接頸ˉj1j2、平直段ˉΟ1Ο2成線接觸的輥形曲面(1)輥形曲面的圖解法(圖3)在正面投影上,將軋件軸線放成水平位置,根據(jù)交角α0作出輥軸的正面投影O′Z′,在側(cè)面投影上根據(jù)連接頸ˉj1j2的半徑rθ作出有積聚性的投影——圓O″j,再根據(jù)中心距A作出輥軸的側(cè)面投影O″Z″,同時作出O″X″、O″Y″。為求連接頸ˉj1j2與輥形曲面的接觸線,必先求其接觸點(diǎn)。為此,在輥軸上取一點(diǎn)Mj,正面投影為M′j,側(cè)面投影為M″j,M″j與軋件軸心O″j的連線O″jM″j與O″X″的負(fù)方向夾角設(shè)為ωj。O″jM″j與圓O″j的交點(diǎn)K″j就是球Mj與軋件連接頸ˉj1j2的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))Kj的側(cè)面投影,顯然球Mj的半徑r為K″jM″j。由于K″j在球Mj側(cè)面投影的外形輪廓大圓上,而此大圓的正面投影就是過點(diǎn)M′j且與軋件軸線垂直的直徑,這樣便可找到接觸點(diǎn)Kj的正面投影K′j。若在輥軸的某一范圍內(nèi)取一系列Mj,就可得一系列接觸點(diǎn)Kj,將各點(diǎn)Kj光滑地連接起來就是一條接觸線,此接觸線就是對應(yīng)軋件連接頸j1j2ˉ的軋輥輥形曲線。隨著連接頸j1j2ˉ的軸向移動,可作出一系列相應(yīng)的輥形曲線,在輥面上不同轉(zhuǎn)角的輥形曲線連成輥形曲面。若將連接頸j1j2ˉ的半徑rθ增大到軋球半徑R,同理,在輥軸上取一系列Ms,得到一系列接觸點(diǎn)Ks,連接各點(diǎn)Ks的接觸線就是對應(yīng)軋件平直段Ο1Ο2ˉ的軋輥輥形曲線,相應(yīng)的輥形曲面為對應(yīng)其平直段Ο1Ο2ˉ的輥形曲面。(2)輥形曲面的解析法——連接頸j1j2ˉ、平直段Ο1Ο2ˉ的輥形曲線(接觸線)方程1)連接頸j1j2ˉ的輥形曲線(接觸線)方程從理論上講,連接頸j1j2ˉ的輥形曲線方程的推導(dǎo)過程與前述方法相同:(a)求與連接頸j1j2ˉ相切的球面族Σωj的方程;(b)求球面族Σωj的包絡(luò)曲面方程;(c)求連接頸j1j2ˉ的輥形曲線方程。然而,由于連接頸j1j2ˉ的側(cè)面投影的積聚性——圓O″j,任意球Mj與連接頸j1j2ˉ的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))Kj的坐標(biāo)可以由圖3中的幾何關(guān)系直接求出。具體方法如下:設(shè)點(diǎn)Kj的坐標(biāo)為(X,Y,Z)。在側(cè)面投影上O″E=O″O″j-EO″j=A-rθcosωj∴X=O″E=A-rθcosωj(10)Κ″jΜ″j=Acosωj-rθ在正面投影上K′jM′j=K″jM″jsinωj=Atanωj-rθsinωj∴Y=K′jF=K′jM′jcosα0=Acosα0tanωj-rθcosα0sinωj(11)M′jF=K′jM′j·sinα0=Asinα0tanωj-rθsinα0sinωj又0′Μ′j=Atanωjsinα0∴Ζ=0′Μ′j-Μ′jF=Acosα0cotα0tanωj+rθsinα0sinωj(12)由(10)、(11)、(12)得連接頸j1j2ˉ的輥形曲線(接觸線)方程:{X=A-rθcosωjY=Acosα0tanωj-rθcosα0sinωjΖ=Acosα0cotα0tanωj+rθsinα0sinωj(13a)即{X=A-rθcosωjY=(Atanωj-rθsinωj)?cosα0Ζ=(Acot2α0tanωj+rθsinωj)?sinα0(13b)在方程組中,rθ是軋輥轉(zhuǎn)角θ的函數(shù),即rθ=g(θ)。當(dāng)θ從0°到θmax之間取值時,式(13)又為連接頸j1j2ˉ的輥形曲面方程。2)平直段Ο1Ο2ˉ的輥形曲線(接觸線)方程在式(13)中,用R取代rθ,用ωs取代ωj,得平直段Ο1Ο2ˉ的輥形曲線(接觸線)方程:{X=A-RcosωsY=(Atanωs-Rsinωs)?cosα0Ζ=(Acot2α0tanωs+Rsinωs)?sinα0(14)當(dāng)軋輥的轉(zhuǎn)角θ從0°到θmax變化時,軋件的平直段Ο1Ο2ˉ在軸線方向移動,對應(yīng)式(14)中的ωs有不同的取值范圍,從而由式(14)得到一系列輥形曲線,軋輥在不同轉(zhuǎn)角θ的輥形曲線連成輥形曲面。因此,式(14)又為平直段Ο1Ο2ˉ的輥形曲面方程。3.ω、ωs、ωj的取值范圍(圖4)設(shè)切球臺O1二極限位置的球的球心在軋輥軸上的位置分別為M1,M2;切球臺O2二極限位置的球的球心在軋輥軸上的位置分別為M3,M4;切連接頸j1j2二極限位置的球的球心在軋輥軸上的位置分別為Mj1,Mj2。在側(cè)面投影上,M1,M2,M3,M4,Mj1,Mj2分別對應(yīng)著ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6。(1)確定ω1在H旋轉(zhuǎn)投影上M1點(diǎn)的坐標(biāo)(0,Acotα0tanω1)D點(diǎn)的坐標(biāo)(0,tθ-Acot∠1)在ΔDM1N1中DΜ1=tθ-Acot∠1-Acotα0tanω1Ν1Μ1=Acosω1-Atan∠1=Ν1Μ1DΜ1tan∠1=Acosω1-Atθ-Acot∠1-Acotα0tanω1即-tan∠1cotα0sinω1+tθAtan∠1cosω1=1(15)令A(yù)0=-tan∠1cotα0=-tanβθcotα0=-rθcotα0R2-rθ2(16)B0=tθAtan∠1=tθAtanβθ=tθ?rθA?R2-rθ2(17)式中βθ——軋輥轉(zhuǎn)角為θ的連接頸頸夾角rθ——軋輥轉(zhuǎn)角為θ的連接頸半徑,mm則A0sinω1+B0cosω1=1(18)解之得ω1=arcsin(A0±B0A02+B02-1A02+B02)(舍去增根)(19)設(shè)γθ=arctan(Atθ)(20)式中γθ——頸夾角的比較角當(dāng)βθ≥γθ時?0°≤ω1<90°當(dāng)βθ<γθ時?-90°<ω1<0°}(21)由式(16)、(17)、(19)、(20)、(21)可確定ω1的值。(2)確定ω4與確定ω1同理,得tan∠2cotα0sinω4-t′θAtan∠2cosω4=1(22)令C0=tan∠2cotα0=tanβ(θ-360)cotα0=r(θ-360)cotα0R2-r(θ-360)2(23)D0=-t′θAtan∠2=-t′θA?tanβ(θ-360)=-t′θ?r(θ-360)A?R2-r(θ-360)2(24)式中β(θ-360)——軋輥轉(zhuǎn)角為θ-360°的連接頸頸夾角r(θ-360)——軋輥轉(zhuǎn)角為θ-360°的連接頸半徑,mm則C0sinω4+D0cosω4=1(25)解之得ω4=arcsin(C0±D0C02+D02-1C02+D02)(舍去增根)(26)因為0<ω4<90°(27)由式(23)、(24)、(26)、(27)可確定ω4的值。(3)確定ω2、ω3由圖4知Atanω2=tθ·tanα0(28)又Atanω3=t′θtanα0(29)ω2=arctan(tθA?tanα0)且0°<ω2<90°(30)ω3=arctan(tθ′A?tanα0)且0°<ω3<90°(31)由式(30)、(31)分別確定ω2、ω3的值。(4)確定ω5、ω6與前述同理ω5=arctan(ΡθA?tanα0)且0°<ω5<90°(32)ω6=arctan(Ρθ′A?tanα0)且0°<ω6<90°(33)式中Pθ——當(dāng)軋輥轉(zhuǎn)角為θ時,連接頸一端到X軸的距離,mmP′θ——當(dāng)軋輥