九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)(人教版)：《一元二次方程的解法（三）-公式法因式分解法》-知識(shí)講解（提高）

PAGE《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》—知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2.正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；3.通過(guò)求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無(wú)實(shí)根.

要點(diǎn)詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來(lái)求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：;①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：;②當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：;③當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒(méi)有實(shí)根.

要點(diǎn)二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1．解關(guān)于x的方程．【答案與解析】(1)當(dāng)m+n＝0且m≠0，n≠0時(shí)，原方程可化為．∵m≠0，解得x＝1．(2)當(dāng)m+n≠0時(shí)，∵，，，∴，∴，∴，．【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時(shí)，應(yīng)該對(duì)各種可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行討論．舉一反三：【變式】解關(guān)于的方程；【答案】原方程可化為∵∴∴∴2．用公式法解下列方程：(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；【答案與解析】方程整理為，∴，∴a＝1，b＝-2，c＝-13，∴，∴，∴，．【總結(jié)升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解.舉一反三：【變式】用公式法解下列方程：【答案】∵∴∴∴類型二、因式分解法解一元二次方程3．解方程：（1）（2020?廣東模擬）﹣3x2+22x﹣12=12．（2）（2020春?上城區(qū)期末）3x2﹣x﹣4=0【思路點(diǎn)撥】先把方程變形，然后利用因式分解法解方程，注意對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)的分解．【答案與解析】解：（1）原式變形得：3x2﹣22x+24=0，（3x﹣4）（x﹣6）=0，3x﹣4=0或x﹣6=0，∴x1=，x2=6．（2）3x2﹣x﹣4=0，分解因式得：（3x﹣4）（x+1）=0，∴（3x﹣4）=0或（x+1）=0∴x1=，x2=﹣1；【總結(jié)升華】此題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020春?相城區(qū)期末）解方程：5x（x﹣3）=（x+1）（x﹣3）.【答案】解：5x（x﹣3）=（x+1）（x﹣3），5x（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣3）=0，（x﹣3）4x﹣1）=0，∴x﹣3=0或4x﹣1=0，∴x1=3，x2=．4．（1）解方程x（x﹣1）=2．有學(xué)生給出如下解法：∵x（x﹣1）=2=1×2=（﹣1）×（﹣2），∴或或或解上面第一、四方程組，無(wú)解；解第二、三方程組，得x=2或x=﹣1．∴x=2或x=﹣1．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)解法對(duì)嗎？試說(shuō)明你的理由．（2）在平面幾何中，我們可以證明：周長(zhǎng)一定的多邊形中，正多邊形面積最大．使用上邊的事實(shí)，解答下面的問(wèn)題：用長(zhǎng)度分別為2，3，4，5，6（單位：cm）的五根木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），求能夠圍成的三角形的最大面積．【思路點(diǎn)撥】（1）這種做法不對(duì)，兩個(gè)數(shù)的積是2，這兩個(gè)數(shù)的情況有無(wú)數(shù)種，不一定只是所列出的幾種；（2）因?yàn)橹荛L(zhǎng)一定的多邊形中，正多邊形面積最大，那么就把五根木棒都用上，不會(huì)得到正三角形，也就是等邊三角形，只能取最接近的辦法，即2+5，3+4，6來(lái)圍成三角形，其面積最大，得到一個(gè)等腰三角形，則其底邊上的高等于2，S△=6．【答案與解析】（1）答案一：對(duì)于這個(gè)特定的已知方程，解法是對(duì)的．理由是：一元二次方程有根的話，只能有兩個(gè)根，此學(xué)生已經(jīng)將兩個(gè)根都求出來(lái)了，所以對(duì)．答案二：解法不嚴(yán)密，方法不具有一般性．理由是：為何不可以2=3×等，得到其它的方程組此學(xué)生的方法只是巧合了，求對(duì)了方程的解．（2）解：因?yàn)橹荛L(zhǎng)一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面積最大．取三邊盡量接近，使圍成的三角形盡量接近正三角形，則面積最大．此時(shí)，三邊為6、5+2、4+3，這是一個(gè)等腰三角形．可求得其最大面積為6．【總結(jié)升華】考察解一元二次方程，以及周長(zhǎng)一定的多邊形中，正多邊形面積最大等知識(shí)．5.請(qǐng)先閱讀例題的解答過(guò)程，然后再解答：代數(shù)第三冊(cè)在解方程3x（x+2）=5（x+2）時(shí)，先將方程變形為3x（x+2）﹣5（x+2）=0，這個(gè)方程左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積，所以方程變形為（x+2）（3x﹣5）=0．我們知道，如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于0，它們的積等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相當(dāng)于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解為x1=﹣2，x2=．根據(jù)上面解一元二次方程的過(guò)程，王力推測(cè)：a﹒b＞0，則有或，請(qǐng)判斷王力的推測(cè)是否正確？若正確，請(qǐng)你求出不等式＞0的解集，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)利用因式分解法求方程根的方法判斷出王力的推測(cè)是正確的，再根據(jù)其范