模塊二專題1解三角形與平面向量

模塊二專題1解三角形與平面向量專題1

解三角形與平面向量【解讀】此類問題往往以坐標(biāo)形式給出向量，以向量的運(yùn)算（特別是數(shù)量積）、平行或垂直為條件，重點(diǎn)考查三角恒等變換，進(jìn)一步考查解三角形問題，求邊、角、三角形面積等.應(yīng)熟知向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，熟記三角恒等變換公式，掌握三角恒等式化簡(jiǎn)的方法、技巧及一般規(guī)律.如三角恒等變換中的“三變”：“變名”，如切弦互化；“變角”，將未知角向已知角轉(zhuǎn)換；“變式”，將式子有理化、降（升）次等.應(yīng)注意充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想方法.這類問題主要體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）1.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．（1）求；（2）若，邊上的高線長，求．【思路引導(dǎo)】（1）第一步，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算；第二步，利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)整理；第三步，根據(jù)，通過平方可得的值；（2）第一步，利用（1）的結(jié)果，應(yīng)用平方關(guān)系求的值；第二步，利用方程思想，解方程組得到的值；第三步，利用題目條件、三角形的面積公式，得到；第四步，應(yīng)用正弦定理邊實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化即可得解.【解析】（1）由已知得；（2），，，，，，，，，又，，，，，.【交匯點(diǎn)闡釋】對(duì)于向量運(yùn)算條件下解三角形問題，向量運(yùn)算往往是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).解答的總體思路可歸結(jié)為三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）根據(jù)向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，加以計(jì)算；（2）應(yīng)用三角公式，進(jìn)行變形進(jìn)而完成化簡(jiǎn)；（3）應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等，實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.就整體而言，正確向量運(yùn)算、恒等變形是基礎(chǔ)，恰當(dāng)?shù)倪吔寝D(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查的核心是解三角形、三角問題，向量運(yùn)算是工具.應(yīng)該注意的是，向量運(yùn)算條件的給出，也可能是向量平行、垂直（如訓(xùn)練1），需根據(jù)相關(guān)條件加以轉(zhuǎn)化.【跟蹤訓(xùn)練1】（2023春·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）1．在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，且．(1)求的大小；(2)若，，求邊上的高．【跟蹤訓(xùn)練2】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）2．在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，___________.(1)求的值；(2)若的面積為2，，求的周長.注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解讀】此類問題往往以三角形邊角關(guān)系為條件，重點(diǎn)考查三角恒等變換、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，以及應(yīng)用相關(guān)知識(shí)完成向量（模的運(yùn)算）的運(yùn)算問題等.應(yīng)熟知向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，熟記三角恒等變換公式，掌握三角恒等式化簡(jiǎn)的方法、技巧及一般規(guī)律.其中，三角形邊角關(guān)系或三角形圖形特征，往往是進(jìn)行向量（模）的運(yùn)算的基礎(chǔ).應(yīng)注意充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想方法.這類問題主要體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【典例1】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求角的大小和邊的取值范圍；（2）如圖，若是的外心，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）第一步，利用正弦定理將轉(zhuǎn)化成角的三角函數(shù)關(guān)系；第二步，應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)；第三步，根據(jù)上述方程及角的范圍求；第三步，根據(jù)正弦定理建立的關(guān)系式；第四步，結(jié)合的范圍，求邊的取值范圍；（2）兩種思路，思路一：第一步，明確，并由正弦定理確定得到圓的半徑；第二步，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用向量表示；第三步，應(yīng)用數(shù)量積定義加以運(yùn)算，將用表示，進(jìn)而可求取值范圍，過程中應(yīng)考慮圓心是否在三角形內(nèi)部兩種情況.思路二：分別取線段的中點(diǎn)，由于O是的外心，則；根據(jù)數(shù)量積結(jié)合余弦定理整理可得，進(jìn)而可求取值范圍.（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：，因?yàn)椋瑒t，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，則，所以，解得，由正弦定理，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所?（2）解法1：由正弦定理得，且，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)O不在外部時(shí)（如圖），；當(dāng)點(diǎn)O在外部時(shí)（如圖），，；由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.解法2：由題可知：，如圖，分別取線段的中點(diǎn)，由于O是的外心，則，則，所以，由余弦定理得，即，整理得，所以，由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.【交匯點(diǎn)闡釋】對(duì)于三角形中向量運(yùn)算問題，解三角形、圖形特征往往成為進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).解答的總體思路可歸結(jié)為三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等，實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化；（2）應(yīng)用三角公式，進(jìn)行變形進(jìn)而完成化簡(jiǎn)；（3）根據(jù)向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，完成計(jì)算.就整體而言恰當(dāng)?shù)倪吔寝D(zhuǎn)化、恒等變形是基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，考查的核心是解三角形、向量運(yùn)算.應(yīng)該注意的是，向量數(shù)量積運(yùn)算有著不同的方法，即可應(yīng)用定義，也可以應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算，因此，要善于發(fā)現(xiàn)圖形中基本量的幾何意義，開發(fā)利用圖形特征，本題充分利用了圓、圓內(nèi)接三角形的幾何性質(zhì).在訓(xùn)練1中，提供坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，從而完成求解.【跟蹤訓(xùn)練1】（2023春·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）3．在平面凸四邊形（每個(gè)內(nèi)角都小于）中，，，，.(1)求四邊形的面積；(2)若，為邊，的中點(diǎn)，求的值.【跟蹤訓(xùn)練2】（浙江省S9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下期中）4．在中，角的對(duì)邊分別是，，，如圖所示，點(diǎn)D在線段AC上，滿足.(1)求A的值；(2)若，求的值.【解讀】此類問題往往以三角形中邊、線段的關(guān)系為條件，重點(diǎn)考查平面向量、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，以及應(yīng)用相關(guān)知識(shí)完成三角形面積（范圍）、周長（范圍）、邊（邊的關(guān)系）問題等.應(yīng)熟知向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，熟記三角恒等變換公式，掌握三角恒等式化簡(jiǎn)的方法、技巧及一般規(guī)律.其中，三角形邊角關(guān)系或三角形圖形特征，往往是進(jìn)行向量（模）的運(yùn)算的基礎(chǔ).應(yīng)注意充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想方法.這類問題主要體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【典例1】（2023春·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，與交于點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）若，求的面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）兩種思路.思路一：第一步，連接，根據(jù)三點(diǎn)共線得到，；第二步，解方程組，確定，，；第三步，根據(jù)余弦定理求；第四步，計(jì)算的面積.思路二：第一步，取中點(diǎn)為，連接，得到；第二步，根據(jù)條件推出，以下同思路一.（2）第一步，設(shè)，知，且；第二步，在中，由余弦定理，確定的表達(dá)式；第三步，計(jì)算；第四步，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算最值.【解析】（1）法1：連接，由、、三點(diǎn)共線，設(shè)，（），即，由、、三點(diǎn)共線，設(shè)，（），即，故，代入解得，，.所以，即，，即，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，，在中，由余弦定理得：，所以，所?法2：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?以下同法1.（2）因?yàn)?，設(shè)，則，在中：，，由（1）得，則，，故，在中，由余弦定理得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的面積的最大值為12.【交匯點(diǎn)闡釋】對(duì)于共線向量條件下解三角形中問題，由于共線向量明確了點(diǎn)的位置關(guān)系、線段間的位置關(guān)系等，更有助于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)必需幾何量的探求.本題第一問兩種思路，都是利用向量共線、應(yīng)用平面向量基本定理，確定必需的幾何量.解答過程中，要善于發(fā)現(xiàn)圖形中基本量的幾何意義，開發(fā)利用圖形特征.【跟蹤訓(xùn)練1】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）5．尺規(guī)作圖三等分角是古希臘三大幾何難題之一，現(xiàn)今已證明該問題無解．但借助有刻度的直尺、其他曲線等，可將一個(gè)角三等分．古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯曾提出以下作法：如圖，以的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點(diǎn)；取線段三等分點(diǎn)O，D；以B為焦點(diǎn)，A，D為頂點(diǎn)作雙曲線，與圓弧交于點(diǎn)E，連接，則．若圖中交于點(diǎn)P，，則（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（2023春·吉林·高一東北師大附中?？计谥校?．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則線段的長的最大值為（

）A． B． C． D．【解讀】向量的模與三角形的邊、角之間存在著密切的聯(lián)系，并且?？梢酝ㄟ^“平方”化模為向量的數(shù)量積，因此，此類問題往往與向量的運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化；線段的模實(shí)際上是線段的長、實(shí)際上是線段長與夾角余弦的積，故更易于與余弦定理發(fā)生聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.解決問題中充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想方法.主要考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【典例1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為的面積為.（1）求的大小.（2）點(diǎn)滿足.若，求.【思路引導(dǎo)】（1）第一步，由三角形的面積公式及已知得到，；第二步，根據(jù)正弦定理將邊化角；第三步，應(yīng)用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn).（2）第一步，由余弦定理可得方程；第二步，設(shè)法得出的另一方程.由平面向量的減法公式可得，兩邊同時(shí)平方，實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算向模的關(guān)系轉(zhuǎn)化；第三步，整理得到；第四步，解方程組即可.【解析】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以，因?yàn)?，所以，則，由正弦定理得，所以，展開得，即，因?yàn)椋?，?又因?yàn)?，所?（2）由余弦定理知，，則.①由題可知，，所以，即，又，所以，故，又，所以，則，②由①②得，化簡(jiǎn)得，解得.③將③代入①，解得.【交匯點(diǎn)闡釋】本題第二問，通過觀察已知條件及圖形特征，利用，并兩邊平方，轉(zhuǎn)化得到所需幾何量的關(guān)系，結(jié)合余弦定理構(gòu)建關(guān)于的方程組.由此可見，解答過程中，要善于發(fā)現(xiàn)圖形中基本量的幾何意義，分析幾何量之間的關(guān)系，并開發(fā)利用圖形特征，化模為“方”是常見變形技巧.【跟蹤訓(xùn)練1】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）7．已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（2023·河南·校聯(lián)考三模）8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求C的大小；(2)若點(diǎn)D滿足，，，求c．（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）9．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別a，b，c，若，，則，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考期中）10．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【多選題】（2023·浙江·二模）11．在中，，，則（

）A． B． C． D．（2023春·浙江·高二期中）12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量和向量互相垂直．(1)求角C的大?。?2)若，的面積是，求的周長．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）13．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.(1)求；(2)若，，求的面積的最大值.（2023春·湖南·高一桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）14．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知，．(1)求角B；(2)若M是△ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若D是△ABC中AC上的一點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）由平行向量的坐標(biāo)公式代入化簡(jiǎn)即可得出答案；

（2）由余弦定理求出，設(shè)邊上的高為，由三角形的面積公式帶入計(jì)算即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所?由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所?（2）在中，因?yàn)椋?/p>

所以，所以.解得，或（舍），設(shè)邊上的高為，因?yàn)?，所?2．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可求的值；（2）由面積公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周長.【詳解】（1）若選①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得.若選②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得.（2）由的面積為2，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為.3．(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，，根據(jù)得到，，計(jì)算面積得到答案.（2）確定，，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】（1）中，，中，，因?yàn)?，所以，所以?/p>

所以，因?yàn)椋?，，所?（2）法1：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所?

法2：由，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，則，，，，，，則，解得，所以，，則，因?yàn)椋?4．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理可得.然后在的兩邊同時(shí)，乘以，整理可得.根據(jù)角的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，由已知可知為等邊三角形，所以.在中，根據(jù)余弦定理可推得，，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得出.然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義，即可得出答案.【詳解】（1）由正弦定理可得，.又，所以，即，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?（2）設(shè)，，則，，在中，有，，可知為等邊三角形，所以.在中，有，，，，由余弦定理可得，，即，整理可得，解得，所以，.由余弦定理可得，.所以，.5．C【分析】根據(jù)正弦定理及二倍角的正弦公式，得的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出.【詳解】設(shè)，則，.在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得.又因?yàn)椋?，所以，所以，?又因?yàn)?，所以，?所以.故選：C.6．D【分析】根據(jù)寫出的向量表達(dá)式，平方后轉(zhuǎn)化為與的邊，有關(guān)的表達(dá)式，再利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，從而求出最大值.【詳解】在中，由正弦定理得，，所以，.由得，，兩邊平方得，，其中，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值為，所以最大值為.故選：D.7．A【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合，及余弦定理可得，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，即，所以，所以，又，，則，所以，即，由，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)取最大值時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形重心的性質(zhì)和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.8．(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理邊化角的性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行求解；（2）三角形的邊長關(guān)系及平面向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解c.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，展開得，即．因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以A為CD的中點(diǎn)，又，所以．由題可知，，所以，則，解得，，所以，即．9．C【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而可得，根據(jù)向量的模長公式，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，由正弦定理知，，又，，故在中,．，，又由余弦定理可得：，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，的最大值為．又，故的取值范圍是，10．D【分析】設(shè)，中點(diǎn)為，化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合余弦函數(shù)的范圍可得，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，中點(diǎn)為，則即，故，即，.故，因?yàn)?，故，則，故，故的取值范圍為.故選：D11．BD【分析】根據(jù)條件，結(jié)合余弦定理求得，再建立不等關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，，，由條件可知，，中，，中，，所以，，得，即，故B正確；