上海高考數(shù)理科試卷(帶詳解)

PAGE高考學(xué)習(xí)網(wǎng)：高考學(xué)習(xí)網(wǎng)：2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）一、填空題1．計(jì)算：.【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)列極限的運(yùn)算.【考查方式】給出了數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)極限運(yùn)算法則算出極限.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】根據(jù)極限運(yùn)算法則，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則.【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)的基本概念.【考查方式】給出復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的基本概念算出m的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】．3．若，則.【測(cè)量目標(biāo)】行列式的初步運(yùn)算.【考查方式】給出行列式，由行列式的運(yùn)算法則計(jì)算出的大小.【難易程度】容易【參考答案】0【試題解析】．4．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【測(cè)量目標(biāo)】余弦定理，反三角函數(shù).【考查方式】利用余弦定理解出角C，再用反三角函數(shù)值表示.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，故．5．設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則.【測(cè)量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】根據(jù)某一項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出未知量的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】，故．6．方程的實(shí)數(shù)解為________.【測(cè)量目標(biāo)】指數(shù)方程.【考查方式】給出了指數(shù)方程，化簡(jiǎn)求值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為__________.【測(cè)量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程，兩點(diǎn)間的距離公式.【考查方式】給出參數(shù)方程，聯(lián)立方程組得到兩點(diǎn)的距離.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】聯(lián)立方程組得（步驟1），又，故所求為．（步驟2）8．盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是___________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【測(cè)量目標(biāo)】古典概型，隨機(jī)事件的的概率【考查方式】所求事件為一個(gè)隨機(jī)事件，利用隨機(jī)事件概率的求法求出答案【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．【參考答案】A【試題解析】，而，故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè)，選A．18．在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,,則滿足（）.A B C D【測(cè)量目標(biāo)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用.【考查方式】根據(jù)平面幾何中的向量性質(zhì)，容易求出答案.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】由題意記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，利用向量的數(shù)量積公式，只有，其余均有，故選D．三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面，并求直線BC1到平面D1AC第19題圖【測(cè)量目標(biāo)】直線與平面平行的判定，錐的體積.【考查方式】給出長(zhǎng)方體及若干條件，根據(jù)直線與平面平行的判定定理以及三棱錐的體積公式求出答案.【難易程度】容易【試題解析】因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為長(zhǎng)方體，，故ABC1D1為平行四邊形，故（步驟1），顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面（步驟2）；直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得（步驟3）而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．（步驟4）20．（6分+8分）甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).【測(cè)量目標(biāo)】二次函數(shù)模型的建立，求函數(shù)的最值.【考查方式】給出實(shí)際問題建立函數(shù)模型，求出其最值.【難易程度】容易【試題解析】(1)根據(jù)題意，又，可解得（步驟1）(2)設(shè)利潤(rùn)為元，則故時(shí)，元．（步驟2）21．（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，圖像及其變化.【考查方式】將三角函數(shù)進(jìn)行變化求出的取值范圍；將三角函數(shù)進(jìn)行平移和變換求出零點(diǎn)進(jìn)而求出答案.【難易程度】中等【試題解析】(1)因?yàn)椋鶕?jù)題意有（步驟1）(2)，或，即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，（步驟2）故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值．（步驟3）22．（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲，P是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”．(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”；(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”．第22題圖【測(cè)量目標(biāo)】圓錐曲線的探索性問題.【考查方式】給出了“C1—C2型點(diǎn)”的概念，證明3個(gè)命題的正確性.【難易程度】較難【試題解析】：（1）C1的左焦點(diǎn)為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1C2型點(diǎn)”，且直線可以為；（步驟1）（2）直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須；（步驟2）直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1C2型點(diǎn)”.（步驟3）（3）顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，則直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡(jiǎn)得，①（步驟4）若直線與曲線C1有交點(diǎn)，則（步驟5）化簡(jiǎn)得，②由①②得，（步驟6）但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)”．（步驟7）23．（3

分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.【測(cè)量目標(biāo)】間接證明，等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.【考查方式】給出函數(shù)解析式及數(shù)列，間接證明出命題的正確，利用等差數(shù)列的綜合應(yīng)用證明是否存在.【難易程度】較難【試題解析】（1）因?yàn)椋?，（步驟1）（2）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證