振動(dòng)與波習(xí)題課期末復(fù)習(xí)

一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的證明機(jī)械振動(dòng)

以物體受力平衡的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)若物體所受合力F

與-x

成正比，則物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。式中圓頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。注意周期：頻率：周期、頻率與圓頻率的關(guān)系準(zhǔn)則一準(zhǔn)則二或9/25/20231式中圓頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。注意周期：頻率：周期、頻率與圓頻率的關(guān)系在直立的U形管中裝有質(zhì)量為的水銀（密度為），管的截面積為。經(jīng)初始擾動(dòng)后，水銀在管內(nèi)作微小振動(dòng)，不計(jì)各種阻力，試列出振動(dòng)微分方程，并求出振動(dòng)周期。 例1.9/25/20232物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)在直立的U形管中裝有質(zhì)量為的水銀（密度為），管的截面積為。經(jīng)初始擾動(dòng)后，水銀在管內(nèi)作微小振動(dòng)，不計(jì)各種阻力，試列出振動(dòng)微分方程，并求出振動(dòng)周期。 例1.Ox2xx解：水銀柱兩端的壓強(qiáng)差：水銀柱所受合力：即：振動(dòng)周期：9/25/20233物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)Ox2xx解：水銀柱兩端的壓強(qiáng)差：水銀柱所受合力：即：振動(dòng)周期：二振動(dòng)方程的建立振動(dòng)方程：振動(dòng)速度：9/25/20234二振動(dòng)方程的建立振動(dòng)方程：振動(dòng)速度：9/25/20235二振動(dòng)方程的建立振動(dòng)方程：振動(dòng)速度：振動(dòng)加速度：

——由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定.——由初始條件決定。9/25/20236

——由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定. 在一輕彈簧下掛一的砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子，將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（這時(shí)）選X軸向下，求振動(dòng)方程。例2.9/25/20237例2.fm0g解：mkOx振動(dòng)方程 在一輕彈簧下掛一的砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子，將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（這時(shí)）選X軸向下，求振動(dòng)方程。9/25/20238fm0g解：mkOx振動(dòng)方程

旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用1.定初相和圓頻率9/25/20239一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x-t

曲線如圖所示，求振動(dòng)方程。例3.x(cm)t(s)1.0-1.0-0.52O1.0-1.0解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖知:2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)相位的改變量圓頻率振動(dòng)方程：9/25/202310解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖知:2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)相位的改變量圓頻率振動(dòng)方程：例4.一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，再經(jīng)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知AB=10cm，質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在A處的速率。XAB9/25/202311例4.一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，再經(jīng)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知AB=10cm，質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在A處的速率。XABX(cm)ABO解：質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，故A、B兩點(diǎn)在平衡位置兩側(cè)對(duì)稱(chēng)分布。由題意知：4s內(nèi)相位變化圓頻率由題意還可知初相：振幅：9/25/202312例4.一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，再經(jīng)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知AB=10cm，質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在A處的速率。XABX(cm)ABO解：圓頻率由題意還可知初相：振幅：振動(dòng)方程：振動(dòng)速度：9/25/202313例4.一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，再經(jīng)2

秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知AB=10cm，質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在A處的速率。XABX(cm)ABO解：振動(dòng)方程：振動(dòng)速度：A點(diǎn)的相位：9/25/202314旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用1.定初相和圓頻率2.畫(huà)振動(dòng)曲線9/25/202315x(cm)O例5.三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為畫(huà)出它們t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在同一坐標(biāo)上畫(huà)出它們的振動(dòng)曲線。A1t(s)x(cm)OA-AA2A3x1x2x39/25/202316旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用1.定初相和圓頻率2.畫(huà)振動(dòng)曲線3.

計(jì)算相位改變所需的時(shí)間9/25/202317例6.一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅

A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐標(biāo)原點(diǎn)。若t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)x=-2cm

處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過(guò)x=-2cm

處的時(shí)刻為_(kāi)________。x(cm)O4-4解：圓頻率質(zhì)點(diǎn)相位的改變量質(zhì)點(diǎn)第二次通過(guò)x=-2cm

處的時(shí)刻為9/25/202318旋轉(zhuǎn)矢量的應(yīng)用1.定初相和圓頻率2.畫(huà)振動(dòng)曲線3.

計(jì)算相位改變所需的時(shí)間三振動(dòng)能量振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)勢(shì)能總能量：能量的周期是振動(dòng)周期的一半注意9/25/202319振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)勢(shì)能總能量：能量的周期是振動(dòng)周期的一半注意例7.一物塊懸掛在彈簧下方作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)這物塊的位移等于振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能是總能量的________，（設(shè)平衡位置處勢(shì)能為零）。當(dāng)這物塊在平衡位置時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度比原長(zhǎng)長(zhǎng)Δl

，這一振動(dòng)系統(tǒng)的周期為_(kāi)___________。9/25/202320例7.一物塊懸掛在彈簧下方作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)這物塊的位移等于振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能是總能量的________，（設(shè)平衡位置處勢(shì)能為零）。當(dāng)這物塊在平衡位置時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度比原長(zhǎng)長(zhǎng)Δl

，這一振動(dòng)系統(tǒng)的周期為_(kāi)___________。解：（1）總能量：動(dòng)能：（2）平衡時(shí)：振動(dòng)周期:9/25/202321解：（1）總能量：動(dòng)能：（2）平衡時(shí)：振動(dòng)周期:四同方向同頻率兩個(gè)振動(dòng)的合成9/25/202322四同方向同頻率兩個(gè)振動(dòng)的合成同相疊加振動(dòng)加強(qiáng)反相疊加振動(dòng)減弱9/25/202323同相疊加振動(dòng)加強(qiáng)反相疊加振動(dòng)減弱例8.兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為它們的合振動(dòng)的振幅為_(kāi)______，初位相為_(kāi)_________。9/25/202324例8.兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為它們的合振動(dòng)的振幅為_(kāi)______，初位相為_(kāi)_________。解：第二種振動(dòng)的方程可表示為：合振動(dòng)振幅初位相：A9/25/202325機(jī)械波一波動(dòng)方程的建立已知坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：時(shí)間延遲法P*O相位落后法9/25/202326應(yīng)用解題思路：1.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)方程，求波動(dòng)方程。yox已知：時(shí)間延遲法相位落后法9/25/202327時(shí)間延遲法相位落后法例9. 一平面間諧波以速度u沿X

軸正向傳播如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為，則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為_(kāi)_________，波動(dòng)方程為_(kāi)_______，C點(diǎn)的振動(dòng)方程為_(kāi)_________。OXl2lPC9/25/202328例9. 一平面間諧波以速度u沿X

軸正向傳播如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為，則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為_(kāi)_________，波動(dòng)方程為_(kāi)_______，C點(diǎn)的振動(dòng)方程為_(kāi)_________。解：OXl2lPC波動(dòng)方程O(píng)點(diǎn)超前于P點(diǎn)的時(shí)間t

時(shí)刻O(píng)點(diǎn)的振動(dòng)相同于時(shí)刻

P點(diǎn)的振動(dòng)O點(diǎn)的振動(dòng)方程C點(diǎn)的振動(dòng)方程（x=3l）9/25/202329波動(dòng)方程O(píng)點(diǎn)超前于P點(diǎn)的時(shí)間t

時(shí)刻O(píng)點(diǎn)的振動(dòng)相同于時(shí)刻

P點(diǎn)的振動(dòng)O點(diǎn)的振動(dòng)方程C點(diǎn)的振動(dòng)方程（x=3l）應(yīng)用1.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)方程，求波動(dòng)方程。2.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求波動(dòng)方程。9/25/202330應(yīng)用1.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)方程，求波動(dòng)方程。2.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求波動(dòng)方程。任意點(diǎn)振動(dòng)曲線解題思路：任意點(diǎn)振動(dòng)方程波動(dòng)方程9/25/202331任意點(diǎn)振動(dòng)曲線解題思路：任意點(diǎn)振動(dòng)方程例10.一簡(jiǎn)諧波沿OX軸正方向傳播，波長(zhǎng)

λ=4m

，已知x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示，求：（1）x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）波動(dòng)方程；（3）t=1s時(shí)的波形曲線。0yt(s)9/25/202332例10.一簡(jiǎn)諧波沿OX軸正方向傳播，波長(zhǎng)

λ=4m

，已知x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示，求：（1）x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）波動(dòng)方程；（3）t=1s

時(shí)的波形曲線。0y/mt(s)y/m解：（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖知7/3s內(nèi)相位變化圓頻率：x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（2）波動(dòng)方程相位落后法（3）1s后原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位9/25/202333例10.一簡(jiǎn)諧波沿OX軸正方向傳播，波長(zhǎng)

λ=4m

，已知x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示，求：（1）x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）波動(dòng)方程；（3）t=1s

時(shí)的波形曲線。y/m解：x=0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（2）波動(dòng)方程相位落后法（3）1s后原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位y/mx/m9/25/202334應(yīng)用1.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)方程，求波動(dòng)方程。2.已知傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求波動(dòng)方程。3.已知某時(shí)刻波形曲線，求波動(dòng)方程。解題思路：某時(shí)刻的波形曲線時(shí)的波形曲線原點(diǎn)的振動(dòng)方程波動(dòng)方程9/25/202335解題思路：某時(shí)刻的波形曲線時(shí)的波形曲線原點(diǎn)的振動(dòng)方程波動(dòng)方程例11.

已知一平面簡(jiǎn)諧波在t=2s

時(shí)的波形如圖所示，其振幅為

0.2m，周期為4s。（1）寫(xiě)出P點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出以O(shè)為原點(diǎn)的波動(dòng)方程。ut=2s21x(m)y(m)0.2-0.2P9/25/202336例11.

已知一平面簡(jiǎn)諧波在t=2s

時(shí)的波形如圖所示，其振幅為

0.2m，周期為4s。（1）寫(xiě)出P點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出以O(shè)為原點(diǎn)的波動(dòng)方程。ut=2s21x(m)y(m)0.2-0.2Pt=0

（1）首先畫(huà)出t=0時(shí)的波形圖解：2s內(nèi)波前進(jìn)λ/2y(m)

t=0時(shí)，P點(diǎn)的相位振動(dòng)圓頻率P點(diǎn)的振動(dòng)方程