2013年江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題12空間平行與垂直

2013年江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題12空間平行與垂直回顧2009～2012年的考題，主要考查線面平行和面面垂直，幾何體為常見(jiàn)的錐體和柱體，其中2009年考查了位置關(guān)系基本定理判定的小題，2010年考查了點(diǎn)到平面的距離，2011年考查了線面平行與面面垂直，2012年考查了一道體積小題和線面平行與面面垂直的證明；其他基本考查證明位置關(guān)系如：平行、垂直的大題，難度不大.柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體和平面及其基本性質(zhì)雖然沒(méi)有單獨(dú)考查，但作為立體幾何最基本的要素是融入在解答題中考查的.對(duì)于立體幾何表面積和體積考查要求不高.預(yù)測(cè)在2013年的高考題中：1填空題依然主要是會(huì)出現(xiàn)考查判斷位置關(guān)系基本定理真假的問(wèn)題，以及表面積和體積的求解的問(wèn)題.2在解答題中，主要是空間幾何體的位置關(guān)系的證明，可能是雙證，也可能是一證一算.1.(2012·江蘇高考)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為_(kāi)_______解析：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，則四棱錐A－BB1D1D的體積為eq\f(1,3)SBB1D1D·AO＝6.答案：62.(2012·南師大信息卷)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿足|PA|＋|PC1|＝2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：點(diǎn)P在以A，C1為焦點(diǎn)的橢圓上，若P在AB上，設(shè)AP＝x，有PA＋PC1＝x＋eq\r(1－x2＋\r(2)2)＝2，解得x＝eq\f(1,2).故AB上有一點(diǎn)P(AB的中點(diǎn))滿足條件．同理在AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C上各有一點(diǎn)滿足條件又若點(diǎn)P在BB1上，則PA＋PC1＝eq\r(1＋BP2)＋eq\r(1＋B1P2)>2.故BB1上不存在滿足條件的點(diǎn)P，同理DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上不存在滿足條件的點(diǎn)P.答案：63．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以BC邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體的側(cè)面積為_(kāi)_______．解析：將矩形ABCD以BC邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體為是以2為底面半徑，以3為高的圓柱體，故它的側(cè)面積為2π×2×3＝12π.答案：12π4．(2012·南京三模)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)條件：①存在一條直線a，a⊥α，a⊥β；②存在一個(gè)平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分條件的為_(kāi)_______．(填上所有符合要求的序號(hào))解析：②③中的α與β可以相交．答案：①④5．(2012·江蘇最后一卷)給出下列四個(gè)命題：①如果平面α與平面β相交，那么平面α內(nèi)所有的直線都與平面β相交；②如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β；③如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與平面β也不垂直；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β.真命題的序號(hào)是________．(寫出所有真命題的序號(hào))解析：①中α內(nèi)存在與β平行的直線；②中α內(nèi)只有垂直于交線的直線才垂直于β；③、④正確．答案：③④eq\a\vs4\al([典例1])如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求證：PC⊥BC；(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．[解](1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得CD⊥BC.又PD∩DC＝D，PD，DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因?yàn)镻C?平面PCD，故PC⊥BC.(2)法一：分別取AB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF，易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D，E到平面PBC的距離相等．又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．由(1)知，BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC.因?yàn)镻D＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC.所以DF⊥平面PBC于F.易知DF＝eq\f(\r(2),2)，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于eq\r(2).法二：體積法：連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.因?yàn)锳B∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.從而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PD＝eq\f(1,3).因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝eq\r(2).由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S△PBC＝eq\f(\r(2),2).由VA－PBC＝VP－ABC，eq\f(1,3)S△PBC·h＝V＝eq\f(1,3)，得h＝eq\r(2)，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于eq\r(2).本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力．eq\a\vs4\al([演練1])如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形且AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝DC＝2，AB＝4.(1)求證：BC⊥PC；(2)四面體A－PBC的體積．解：(1)證明：作CE⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝EB＝CE＝2，BC＝2eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，故∠ACB＝90°，即AC⊥CB.又PA⊥平面ABCD，故PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC.又PC?面PAC，因此BC⊥PC.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以VA－PBC＝VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·BC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×2＝eq\f(8,3).故四面體A－PBC的體積為eq\f(8,3).eq\a\vs4\al([典例2])(2012·泰州模擬)已知四面體ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為棱BC和AD的中點(diǎn)．(1)求證：AE⊥平面BCD；(2)求證：AD⊥BC；(3)若△ABC內(nèi)的點(diǎn)G滿足FG∥平面BCD，設(shè)點(diǎn)G構(gòu)成集合T，試描述點(diǎn)集T的位置．(不必說(shuō)明理由)[解](1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC.又∵平面ABC⊥平面BCD，AE?平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD.(2)證明：連結(jié)DE，∵BD＝CD，E為BC的中點(diǎn)，∴BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE，DE?平面AED，∴BC⊥平面AED.又AD?平面AED，∴BC⊥AD.(3)取AB，AC的中點(diǎn)M，N，所有的點(diǎn)G構(gòu)成的集合T即為△ABC的中位線MN.本題的第(3)問(wèn)考查線面平行，沒(méi)有直接給出點(diǎn)G的位置，而是需要探究點(diǎn)的位置．根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到線面平行，并且利用面面的交線確定點(diǎn)G的位置．eq\a\vs4\al([演練2])如圖ABCD為直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PB⊥BD.(1)求證：PA⊥BD；(2)若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD.解：(1)證明：∵ABCD為直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，∴AD＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)BD.∴AB⊥BD.∵PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB?平面PAB，∴BD⊥平面PAB.∵PA?面PAB，∴PA⊥BD.(2)證明：假設(shè)PA＝PD，取AD中點(diǎn)N，連結(jié)PN，BN，則PN⊥AD，BN⊥AD，∴AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又∵BC⊥CD，且PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，與已知條件PC與CD不垂直矛盾，∴假設(shè)不成立，∴PA≠PD.eq\a\vs4\al([典例3])(2011·江蘇高考)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x((1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．[解]設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).本題主要考查空間幾何體中的最值問(wèn)題，綜合考查數(shù)學(xué)建模能力及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．eq\a\vs4\al([演練3])某加工廠有一塊三角形的鐵板余料(如圖)，經(jīng)測(cè)量得知：AC＝3，AB＝3eq\r(3)，BC＝6.工人師傅計(jì)劃利用它加工成一個(gè)無(wú)蓋直三棱柱型水箱，設(shè)計(jì)方案為：將圖中的陰影部分切去，再把它沿虛線折起．請(qǐng)計(jì)算容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為x，∵AC＝3，AB＝3eq\r(3)，BC＝6，∴BC2＝AC2＋AB2，得∠A＝eq\f(π,2)，∠C＝eq\f(π,3)，∠CED＝eq\f(π,3)，∠FEG＝eq\f(π,3)，∴CD＝DE·tan∠CED＝eq\r(3)x.∴GE＝3－x－eq\r(3)x＝3－(eq\r(3)＋1)x.∴GF＝eq\r(3)GE＝eq\r(3)[3－(eq\r(3)＋1)x]．又GE>0，∴0<x<eq\f(3,\r(3)＋1).設(shè)容器的容積為V，則V＝eq\f(1,2)x·eq\r(3)·[3－(eq\r(3)＋1)x]2∴V′＝eq\f(\r(3),2)[3－(eq\r(3)＋1)x]2－eq\r(3)x[3－(eq\r(3)＋1)x]·(eq\r(3)＋1)＝eq\f(3\r(3),2)[3－(eq\r(3)＋1)x][1－(eq\r(3)＋1)x]．令V′＝0，又0<x<eq\f(3,\r(3)＋1)，∴x＝eq\f(1,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2).當(dāng)0<x<eq\f(\r(3)－1,2)時(shí)，V′>0，eq\f(\r(3)－1,2)<x<eq\f(3,\r(3)＋1)時(shí)，V′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3)－1,2)時(shí)，Vmax＝3－eq\r(3).eq\a\vs4\al([專題技法歸納])1．證明線面平行或垂直關(guān)系時(shí)，要認(rèn)真體會(huì)“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法，既要領(lǐng)會(huì)平行、垂直內(nèi)部間的轉(zhuǎn)化，也要注意平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化．2．空間幾何體的表面積和體積的研究策略研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)→計(jì)算相關(guān)邊長(zhǎng)→代入公式計(jì)算．3．空間幾何體的結(jié)構(gòu)的研究策略運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將空間幾何體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，如幾何體的外接球或內(nèi)切球問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為多邊形的外接圓或內(nèi)切圓的問(wèn)題．4．組合體體積的求解組合體的體積求解無(wú)論是分割還是補(bǔ)形，關(guān)鍵是有利于求出幾何體的高，即找到線面垂直．1．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題：①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：②中l(wèi)與m可能異面；④中α與β也可能相交．答案：①③2．已知PA，PB，PC兩兩互相垂直，且△PAB，△PBC，△PAC的面積分別為1.5cm2,2cm2,6cm2，則過(guò)P，A，B，C四點(diǎn)的外接球的表面積為_(kāi)_______cm2.(注S球＝4πr解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA·PB＝1.5，,\f(1,2)PB·PC＝2，,\f(1,2)PC·PA＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝3，,PB＝1，,PC＝4.))因?yàn)镻A，PB，PC兩兩互相垂直，所以可構(gòu)造長(zhǎng)方體．長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(26)，即為外接球的直徑，所以外接球的表面積為26π.答案：26π3．(2012·蘇州二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若α∥β，m?β，n?α，則m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n.上面命題中，所有真命題的序號(hào)為_(kāi)_______．解析：①③中的直線m與n可以是異面直線．答案：②④4．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的頂點(diǎn)，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，其余頂點(diǎn)在α的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離分別為1,2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面α的距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上結(jié)論正確的為_(kāi)_______．(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))解析：如圖，B，D，A1到平面α的距離分別為1,2,4，則D，A1的中點(diǎn)到平面α的距離為3，所以D1到平面α的距離為6；B，A1的中點(diǎn)到平面α的距離為eq\f(5,2)，所以B1到平面α的距離為5；則D，B的中點(diǎn)到平面α的距離為eq\f(3,2)，所以C到平面α的距離為3；C，A1的中點(diǎn)到平面α的距離為eq\f(7,2)，所以C1到平面α的距離為7；而P為C，C1，B1，D1中的一點(diǎn)，所以所有可能的結(jié)果為3,5,6,7.答案：①③④⑤5．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及平面β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.解析：同垂直于一個(gè)平面的兩條直線互相平行，同垂直于兩個(gè)平行平面的兩條直線也互相平行，故②③④?①.(同理①③④?②)．答案：②③④?①(或①③④?②)6．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，四面體ACB1D1的體積為_(kāi)_______．解析：用正方體體積減去4個(gè)相同的三棱錐體積(或求棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四面體的體積)．答案：eq\f(1,3)7．(2012·南京二模)一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐容器，當(dāng)x＝6cm時(shí)，該容器的容積為_(kāi)_______解析：正四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(52－32)＝4，V＝eq\f(1,3)×62×4＝48(cm3)．答案：488．在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))．①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體．解析：當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)為矩形；當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，若有三點(diǎn)在正方體的某一面內(nèi)，則可形成③⑤中的幾何形體，若任意三點(diǎn)都不在正方體的某一面內(nèi)，則形成④中的幾何形體．答案：①③④⑤9．一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為2，△DEF為等腰直角三角形，DF為斜邊，設(shè)DF長(zhǎng)為x，則DE＝EF＝eq\f(\r(2),2)x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，則EG＝eq\r(DE2－DG2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，F(xiàn)I＝eq\r(EF2－EI2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，F(xiàn)H＝FI＋HI＝FI＋EG＝2eq\r(\f(x2,2)－4)，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(x2,2)－4)))2，解得x＝2eq\r(3).即該三角形的斜邊長(zhǎng)為2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10.(2012·南通一模)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、D1C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為正方形B1BCC1的中心．則空間四邊形AEFG在該正方體各個(gè)面上的正投影所構(gòu)成的圖形中，解析：如圖1，當(dāng)E與A1重合，F(xiàn)與B1重合時(shí)，四邊形AEFG在前、后面的正投影的面積最大值為12；如圖2，當(dāng)E與A1重合，四邊形AEFG在左、右面的正投影的面積最大值為8；如圖3，當(dāng)F與D重合時(shí)，四邊形AEFG在上、下面的正投影的面積最大值為8；綜上得，面積最大值為12.答案：1211.(2012·南京二模)如圖，四邊形ABCD是