等式的性質(zhì)與方程的解集（原卷版）-1

等式的性質(zhì)與方程的解一、等式的性質(zhì)1、性質(zhì)1：等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立符號(hào)語(yǔ)言：如果，則對(duì)任意c，都有；2、性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立符號(hào)語(yǔ)言：如果，則對(duì)任意不為零的c，都有.3、等式性質(zhì)理解（1）因?yàn)闇p去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，因此上述性質(zhì)中的“加上”與“乘以”，如果分別改為“減去”與“除以”，結(jié)論仍成立。（2）等式性質(zhì)的眼神=1\*GB3①對(duì)稱性：等式左右兩邊呼喚，所得結(jié)果仍是等式，即如果，那么；=2\*GB3②傳遞性：如果，，那么（也叫等量代換）。二、恒等式1、恒等式的含義：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等。2、恒等式的變形：把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。3、恒等式的證明方法：證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡(jiǎn)捷。一般可將恒等式的證明分為兩類：一類是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件愛你的恒等式的證明。4、常見的代數(shù)恒等式（1）完全平方公式：，（2）平方差公式：（3）立方和/差公式：，（4）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：，5、十字相乘法對(duì)于任意的，都有。可以利用這個(gè)恒等式來(lái)進(jìn)行因式分解。給定式子，如果能找到和，使得且，則為了方便記憶，已知和，尋找滿足條件的和的過程，常用圖來(lái)表示：其中兩條交叉的線表示對(duì)應(yīng)數(shù)相乘后相加等于C，正因?yàn)槿绱耍@種因式分解的方法稱為“十字相乘法”。6、利用恒等式化簡(jiǎn)的步驟（1）先看各項(xiàng)有無(wú)公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)=1\*GB3①若多項(xiàng)式為兩項(xiàng)，則考慮用平方差公式分解；=2\*GB3②若多項(xiàng)式為三項(xiàng)，則考慮用完全平方公式因式分解；=3\*GB3③若多項(xiàng)式為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上，就考慮綜合運(yùn)用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項(xiàng)式重新整理、變形，再按照上面步驟進(jìn)行。三、方程的解集方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程解（或根）能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.方程的解集把一個(gè)方程所有解組成的稱為這個(gè)方程的解集.解方程求方程的解的過程叫做解方程.2、一元一次方程一元一次方程方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做一元一次方程。滿足條件=1\*GB3①必須是整式方程；=2\*GB3②只含有一個(gè)未知數(shù)；=3\*GB3③未知數(shù)的次數(shù)是1.表示形式或題型一等式的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2022秋·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）已知等式，則下列變形正確的是（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·云南·高一昆明一中?？奸_學(xué)考試）已知等式，則下列變形一定正確的是（）A．B．C．D．【變式12】（2022秋·上?！じ咭辉驴迹┰O(shè)，下列命題中為假命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式13】（2022秋·遼寧朝陽(yáng)·高一建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么題型二恒等式的判斷及應(yīng)用【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列等式中，屬于恒等式的是（）A．B．C．D．【變式21】（2023秋·重慶·高一開學(xué)考試）下列各式中，不一定成立的是（）A．B．C．D．【變式22】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若等式恒成立，則常數(shù)；．【變式23】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證的等式為（）.A．B．C．D．題型三二次三項(xiàng)式因式分解【例3】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，正確的是（）A．B．C．D．【變式31】（2023秋·山西運(yùn)城·高一校考階段練習(xí)）將下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果中不含因式的是（）A．B．C．D．【變式32】（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）.【變式33】（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）題型四多元高次式因式分解【例4】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）分解因式：；．【變式41】（2023秋·浙江紹興·高一浙江省柯橋中學(xué)校考開學(xué)考試）分解因式：．【變式42】（2023秋·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）【變式43】（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.題型五方程的解集的求法【例5】（2022秋·高一單元測(cè)試）若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是.【變式51】（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解為非正數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【變式52】（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于的