第03講圓的方程

第03講圓的方程1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．一．圓的方程例1．（1）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．（2）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到該圓的方程.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解之得則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為則該圓的方程為，故選：D．（3）已知，則的外接圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為：，然后將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組求出的值，從而可求出的外接圓的一般方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為：，由題意可得：，解得：，即的外接圓的方程為：．故選：C.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求圓的方程(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．（4）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．（5）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般是方程表示圓的條件得，再根據(jù)集合關(guān)系判斷必要不充分條件即可.【詳解】方法一：因?yàn)榉匠瘫硎緢A，，所以，解得所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.方法二：方程表示圓，即表示圓，則需，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．（6）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（7）圓的直徑為___________.【答案】5【分析】轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即得解【詳解】由題意，故圓的半徑為，直徑為5故答案為：5二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2．（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】由點(diǎn)到原點(diǎn)距離與圓半徑大小比較，即可判斷點(diǎn)、圓位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外．故選：C（2）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用該交點(diǎn)到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點(diǎn)為，依題意得，解得.故選：B（3）已知四點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三點(diǎn)求出圓的方程，再把代入方程即可求解【詳解】設(shè)過四點(diǎn)的圓的方程為，將代入可得：，解得，所以圓的方程為，將代入圓的方程得，解得，故選：D（4）若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得關(guān)于的不等式，求解得答案．【詳解】點(diǎn)在圓外，，且，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．三．與圓有關(guān)的最值問題例1．（1）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由即可求解.【詳解】∵圓，∴圓心，半徑，∴圓心到直線的距離，∴圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2）已知直線：與圓：，則上各點(diǎn)到距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圖形求距離最小值.【詳解】易知圓心，半徑，圓心到直線l：的距離d，所以圓與直線相離，如圖所示：所以圓C上各點(diǎn)到l距離的最小值為，故選：C．（3）已知直線l過點(diǎn)，則直線l被圓O：截得的弦長的最小值為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題可知當(dāng)OA與直線l垂直時(shí)，所截得的弦長最短，利用弦長公式即得.【詳解】依題意可知在圓內(nèi)，且，圓O的半徑為．當(dāng)OA與直線l垂直時(shí)，所截得的弦長最短，即弦長的最小值為.故選：B．（4）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A．B．C．D．【答案】C【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．（5）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則=1\*GB3①的最大值和最小值分別為________和________；=2\*GB3②y－x的最大值和最小值分別為________和________；=3\*GB3③的最大值和最小值分別為_______和_______．【答案】////【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得圓心坐標(biāo)和半徑，利用設(shè)＝k，利用的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，可求出的最大值和最小值；將y－x看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．利用直線與圓相切可求出y－x的最大值和最小值；將x2＋y2看成圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，利用平面幾何知識(shí)知可求出的最大值和最小值.【詳解】原方程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．=1\*GB3①的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－.=2\*GB3②y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.=3\*GB3③表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方．由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以的最大值是，的最小值.故答案為：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；.（6）已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．=1\*GB3①求的最大值和最小值．=2\*GB3②求的最大值和最小值．=3\*GB3③求的最大值和最小值．【答案】【小問1】最大值為，最小值為

【小問2】最大值為，最小值為

【小問3】最大值為9，最小值為1【分析】=1\*GB3①利用圖形及點(diǎn)與圓的關(guān)系即可得結(jié)果；=2\*GB3②利用圖形將問題轉(zhuǎn)化為斜率最值即可；=3\*GB3③利用圖形將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系；【詳解】=1\*GB3①圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點(diǎn)，當(dāng)M與A重合時(shí)取得最小值，即，與B重合時(shí)取得最大值即，故最大值為，最小值為；=2\*GB3②易知，由圖形知當(dāng)與圓C相切時(shí)取得最值，如圖所示.可設(shè)，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為=3\*GB3③設(shè)，如圖所示，即過點(diǎn)M的直線，所以或9，故最大值為9，最小值為1.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．四．與圓有關(guān)的軌跡方程例4．（1）已知點(diǎn)，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)即得.【詳解】設(shè)，由條件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，即，所以，因?yàn)闉橹苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)，所以，故所求軌跡方程為．故選：C.（2）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓的垂徑定理得，利用勾股關(guān)系求得，結(jié)合圓的定義即可求出點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】因?yàn)橹悬c(diǎn)為P，所以，又，所以，所以點(diǎn)P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.（3）點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為______．【答案】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，利用條件得到，再化簡即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題知，兩邊平方化簡得，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.（4）在平面直角坐標(biāo)系中，A（6，0），點(diǎn)B為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為_________.的最小值為_________.【答案】/【分析】答題空1：可利用直接設(shè)點(diǎn)列方程方法解得P的軌跡方程；答題空2：先利用將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，再利用點(diǎn)B的軌跡解決取最小的位置，最后利用三點(diǎn)共線解決動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離和問題，綜合得出的最小值.【詳解】答題空1：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得，化簡得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為圓上,答題空2：，則圓內(nèi)含于圓，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立）又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立）綜上：當(dāng)四點(diǎn)共線，且從左到右的位置順序依次為時(shí)取得最小值故答案為：；.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．1．已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圓的方程即可進(jìn)行選擇.【詳解】設(shè)外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D2．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件利用點(diǎn)到直線的距離公式求得半徑，可得要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意可得圓心為點(diǎn)(0，1)，半徑為，要求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．3．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即故選：A4．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D5．若圓：過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結(jié)合過原點(diǎn)列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過原點(diǎn)，∴，∴或（舍去）；.故選:C.6．已知直線過定點(diǎn)P，線段MN是圓的直徑，則（

）A． B．3 C．7 D．9【答案】C【分析】求出定點(diǎn)P，圓心及半徑，利用向量的運(yùn)算可得，即可求值.【詳解】直線可化為：，由解得，所以直線過定點(diǎn)，圓的圓心為,半徑為，所以,所以，故選：C7．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判斷在圓外，則，計(jì)算即可．【詳解】圓的圓心，半徑為，由于在圓外，．故選：D.8．已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.9．已知圓上兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿足為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由條件可得，由此確定點(diǎn)的軌跡方程，再求的最大值可得結(jié)論.【詳解】由題可知是邊長為1的正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且．因?yàn)椋?，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，所以的最大值為．故選：D．10．已知是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，得到，連接，，，根據(jù)，得到,設(shè)，求得，得出點(diǎn)的軌跡，再由，得到當(dāng)取最大值時(shí)，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由，可得，連接，，，則，所以，所以,設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)?，所以?dāng)取最大值時(shí)，取最大值，又因?yàn)?，故的最大值?故選：A．11．已知過點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)N．若動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷出四點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進(jìn)而求得方程，由點(diǎn)在直線上得出點(diǎn)軌跡為，又在圓上，進(jìn)而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點(diǎn)弦即為，故，整理得，又點(diǎn)在直線上，故，即點(diǎn)軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故選：B.12．已知，關(guān)于直線對(duì)稱的圓記為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，EF長度的最小值為4，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】畫出圖形，當(dāng)過兩圓圓心且與對(duì)稱軸垂直又接近于對(duì)稱軸時(shí)，長度最小，此時(shí)圓心到對(duì)稱軸的距離為4，根據(jù)點(diǎn)到直線的的公式建立方程即可求解.【詳解】由題易知兩圓不可能相交或相切，則如圖，當(dāng)過兩圓圓心且與對(duì)稱軸垂直又接近于對(duì)稱軸時(shí)，長度最小，此時(shí)圓心到對(duì)稱軸的距離為4，所以，解得或.故選：D13．已知圓內(nèi)一點(diǎn)P(2，1)，則過P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心，由圓的對(duì)稱性可知過點(diǎn)與垂直的直線被圓所截的弦長最短【詳解】由題意可知，當(dāng)過圓心且過點(diǎn)時(shí)所得弦為直徑，當(dāng)與這條直徑垂直時(shí)所得弦長最短，圓心為，，則由兩點(diǎn)間斜率公式可得，所以與垂直的直線斜率為，則由點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)的直線方程為，化簡可得，故選：B14．直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出弦AB最短時(shí)直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點(diǎn)P.當(dāng)CP⊥l時(shí)，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知圓的方程為，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則弦的最小值為（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】確定圓的圓心和半徑，確定當(dāng)時(shí)，最短，根據(jù)圓心距和圓的半徑以及弦長的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】圓的方程可化為，則，因?yàn)?，故點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦一定是圓的直徑，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)，則，故選：A．16．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（，且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式可得，整理并化為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可確定圓心.【詳解】令P(x，y)，則，兩邊平方并整理得：，∴圓心為(4，0)．故選：A．17．已知點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的一般方程求出圓心半徑，再結(jié)合問題計(jì)算即可.【詳解】圓,即圓

圓心為，半徑，得點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為.故選：B.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【詳解】由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點(diǎn)A(－1,2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2.故選B.19．（多選）已知直線，圓，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．圓的半徑是1C．存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過圓的圓心D．無論取何值，直線與圓相交【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，將變形得到，求出直線所過定點(diǎn)；B選項(xiàng)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心與半徑，B正確；C選項(xiàng)，求出當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過圓心；D選項(xiàng)，得到點(diǎn)在圓內(nèi)，所以無論取何值，直線與圓都相交.【詳解】變形為，令，解得：，可得直線過定點(diǎn)，正確；變形為，圓的圓心為，半徑為3，則B錯(cuò)誤；將代入直線中，，解得：，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過圓心，則正確；將代入中，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以無論取何值，直線與圓都相交，則D正確.故選：ACD20．（多選）已知圓的方程為，對(duì)任意的，該圓（

）A．圓心在一條直線上 B．與坐標(biāo)軸相切C．與直線不相交 D．不過點(diǎn)【答案】ABC【分析】對(duì)A：顯然圓心在上；對(duì)B：用圓心到坐標(biāo)軸的距離判斷；對(duì)C：用圓心到直線的距離判斷；對(duì)D：將點(diǎn)代入圓方程看是否有解.【詳解】對(duì)于：顯然圓心在故A對(duì)；對(duì)于B：圓心到坐標(biāo)軸的距離均為，等于圓的半徑，故該圓與坐標(biāo)軸相切，B正確；對(duì)于C：圓心到直線距離，故相離，C對(duì)；對(duì)于D：將點(diǎn)代入圓方程得，顯然，故有解，所以可能過點(diǎn)錯(cuò)；故選：ABC．21．（多選）橢圓上一點(diǎn)和圓上一點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】BC【分析】先轉(zhuǎn)化為橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離，利用二次函數(shù)單調(diào)性求出范圍，再由圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì)，求出的取值范圍.【詳解】設(shè)圓心為，，則，其中，由對(duì)稱軸為知，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，則有，．故選：BC22．（多選）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，記M到l的距離為d，則（

）A． B．d的最大值為C．是等腰三角形 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)垂徑定理以及弦長公式，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)題意作圖，結(jié)合圓上點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于C，求弦的中垂線的直線方程，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于D，由題意，作圖，根據(jù)線段組合，求得答案.【詳解】對(duì)于A，由圓，可得，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，則，故A正確；對(duì)于B，由題意，可作下圖：點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B與題意，如下圖：易知，，則直線的斜率，由，則直線的斜率，由，則直線的方程為，則，即點(diǎn)在直線上，為的中垂線，是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，由題意，可作圖：則，顯然，則，故D正確；故選：ACD.23．（多選）過圓外一點(diǎn)作直線交圓于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)（

）A．軌跡為圓 B．滿足方程C．軌跡為一段圓弧 D．滿足方程【答案】CD【分析】設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理可知，利用勾股定理化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理可知，由勾股定理可得，即，整理可得，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，且，所以，圓與圓相交，所以，點(diǎn)的軌跡是圓在圓內(nèi)的圓弧，如下圖圓內(nèi)實(shí)線部分所示：故選：CD.24．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)C．經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為4π【答案】ABD【詳解】圓心坐標(biāo)為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0無實(shí)數(shù)根，∴B正確；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有兩個(gè)不相等實(shí)根，∴經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．25．與圓同圓心且過點(diǎn)的圓的方程是_____________．【答案】【分析】先求出同心圓的圓心，在利用兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用求出所求圓的半徑，由此即可求出結(jié)果．【詳解】圓，即所以所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為所以圓的方程為．故答案為：．26．若圓的圓心在直線上，則C的半徑為______．【答案】【分析】先求得參數(shù)D，再去求C的半徑即可解決.【詳解】圓的圓心為則有，則，則C的半徑為故答案為：27．若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則_______．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是圓半徑的一半，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.【詳解】圓化為，圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線距離是1，所以圓心到直線的距離是圓的半徑的一半，即，解得．故答案為：28．若不同的四點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三點(diǎn)確定其外接圓，再計(jì)算即可.【詳解】易知圓心在線段的垂直平分線上，該直線方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，解得，所以所求圓的方程為，點(diǎn)在圓上，所以，解得或．故答案為：-1或529．直線與的交點(diǎn)在曲線上，則______．【答案】【分析】先聯(lián)立方程求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入曲線的方程進(jìn)行求解.【詳解】聯(lián)立，得，即直線與的交點(diǎn)為，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在曲線上，所以，解得.故答案為：.30．已知，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合圖像即可得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.【詳解】如圖，曲線是以為圓心，以為半徑的圓，則根據(jù)圓的性質(zhì)可知，的最小值為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則可得，解得，即，連接，分別交直線與圓于，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，所以的最小值為.故答案為:31．若點(diǎn)P在橢圓C1：＋y2＝1上，C1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義得，結(jié)合圓的性質(zhì)以及四點(diǎn)共線即可求解最小值.【詳解】記橢圓C1：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為E(－1,0)，右焦點(diǎn)F(1,0)，由橢圓的定義可得，，所以，由，得，即圓C2的圓心為，半徑為，作出圖形如圖所示，由圓的性質(zhì)可得，，＝＝4－3＝(當(dāng)且僅當(dāng)C2，Q，P，E四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立)，所以的最小值為.故答案為：32．在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標(biāo)，半徑為，求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：33．當(dāng)直線l：ax－y＋2－a＝0被圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為________.【答案】2【分析】求出直線過的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)MC與l垂直時(shí)，弦長最短，利用垂直時(shí)斜率關(guān)系列出方程，求出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由ax－y＋2－a＝0得直線l恒過點(diǎn)M(1，2).又因?yàn)辄c(diǎn)M(1，2)在圓C的內(nèi)部，當(dāng)MC與l垂直時(shí)，弦長最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2.故答案為：234．己知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)與圓外一點(diǎn)之間距離的最大值的平方，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】方程整理得，設(shè)點(diǎn)，即點(diǎn)是圓上一點(diǎn)又點(diǎn)在圓外，所以，則，所以的最大值為.故答案為：.35．已知圓過點(diǎn)，，則圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為___________.【答案】【分析】先求出圓心所在直線方程，再求原點(diǎn)到直線距離即可.【詳解】依題意，可知圓心在線段的中垂線上，的斜率為，線段的中點(diǎn)為，故線段的中垂線方程為，故到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為.故答案為：.36．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切，且被軸截得的弦長為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【分析】設(shè)圓心和半徑，由題意列出方程組，求得圓心和半徑，即得答案.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為R，則由題意可得，解得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：37．已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．【答案】2eq\r(5)【詳解】因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．連接A′C交圓C于Q，由對(duì)稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).38．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】【分析】設(shè)出，由題意列出方程組，化簡即可得到點(diǎn)的軌跡方程；【詳解】設(shè)，由題意可得，整理得，故動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，如圖所示，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：；39．已知直線l：與圓相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，則M的軌跡方程為_____；M到直線的距離的最小值為_____．【答案】2【分析】可得，設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系表示出，代入圓即可求出軌跡方程；M的軌跡圓心到直線距離，即可求出最小值.【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且在圓上，不妨令，設(shè)，因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)樵趫A上，所以，即，所以M的軌跡方程為，圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，所以M到直線的距離的最小值為.故答案為：；2.40．已知曲線：．（1）當(dāng)取何值時(shí)，方程表示圓？（2）求證：不論為何值，曲線必過兩定點(diǎn)．（3）當(dāng)曲線表示圓時(shí)，求圓面積最小時(shí)的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可知方程表示直線；當(dāng)時(shí)，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；（2）將已知方程整理為，從而可得方程組，解方程組求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)論可證得；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知以為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對(duì)應(yīng)相等可構(gòu)造方程組，解方程組求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，方程為表示一條直線．當(dāng)時(shí)，，整理得，由于，所以時(shí)方程表示圓．（2）證明：方程變形為．由于取任何值，上式都成立，則有．解得或所以曲線必過定點(diǎn)，，即無論為何值，曲線必過兩定點(diǎn).（3）由（2）知曲線過定點(diǎn)A，，在這些圓中，以為直徑的圓的面積最?。ㄆ溆嗖灰詾橹睆降膱A的直徑大于的長，圓的面積也大），從而以為直徑的圓的方程為，所以，解得．41．已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線上(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若直線PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是，端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得線段的垂直平分線的方程，通過聯(lián)立垂直平分線的方程和直線的方程求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，由解得，所以，,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由于是線段的中點(diǎn)，，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入原的方程得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為：.42．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式結(jié)合圓的方程即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解之得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)M（x，y），，由及M為線段EF的中點(diǎn)得，解得,又點(diǎn)E在圓C：上，所以有，化簡得：,故所求的軌跡方程為．43．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值．(2)求x2＋y2的最大值和最小值．【詳解】(1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).44．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)求面積的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入圓的方程，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，列出方程組，解之即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到弦的距離，進(jìn)而得圓上的動(dòng)點(diǎn)到弦距離的最大值，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則圓心為.由題可知解得圓的方程為.（2）易知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的圓心到弦的距離為.又由（1）知圓的半徑為2，圓上的動(dòng)點(diǎn)到弦距離的最大值為.又，面積的最大值為.45．已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)；(2)15【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)以及三點(diǎn)共線來求得的最大值.【詳解】（1）依題可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，解得，則圓心C的坐標(biāo)為，圓C的半徑，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)椋裕O(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)P，C，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．又，所以的最大值為15．46．已知圓心在軸上的圓與軸交于兩點(diǎn)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，求到直線的距離的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)先確定出圓心，半