浙江省寧波市五校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號、準考證號、班級和科類填寫在答題卡和答題紙規(guī)定的位置上。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第I卷（共60分）一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.2.設(shè)是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.線段 C.直線 D.平面3.在平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.5.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程是（）A. B. C. D.5.如右圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，若記，，，則（）A. B.C. D.7.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值是（）A.13 B.16 C.17 D.188.如右圖，在長方體中，，，.一質(zhì)點從頂點射向點，遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第次到第次反射點之間的線段記為，，將線段，，，豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.直線過定點，直線過定點D.當，平行時，兩直線的距離為10.下面四個結(jié)論正確的是（）A.若，，三點不共線，面外的任一點，有，則，，，四點共面B.有兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則C.已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為D.已知向量，，若，則為鈍角11.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體。如右圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是（）A.該半正多面體的外接球與原正方體的外接球半徑相等B.與所成的角是的棱共有18條C.與平面所成的角D.直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為12.已知雙曲線：與直線交于，兩點，點為上一動點，記直線，的斜率分別為，，曲線的左、右焦點分別為，.若，且的焦點到漸近線的距離為1，則下列說法正確的是（）A.B.的離心率為C.若，則的面積為2D.若的面積為，則為鈍角三角形第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中第15、16題有一空正確得3分.把正確答案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上）13.在空間直角坐標系中，已知，，則的中點到坐標原點的距離為______.14.經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.15.已知圓：，若圓：與圓內(nèi)切，則______；若點是圓上一動點，滿足“點到直線的距離等于2”的點，在圓上有且僅有三個，則______.16.如右圖，已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則______，橢圓的離心率為______.四、解答題：（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知點，及點.（1）若直線經(jīng)過點且，求直線的方程；（2）求的面積.18.（本小題滿分12分）已知向量，，.（1）求；（2）求在方向上的投影向量；（3）若，求，的值.19.（本小題滿分12分）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，，，，平面.（1）若點是的中點，求證：平面；（2）求點到平面的距離.20.（本小題滿分12分）已知點，為坐標原點，圓：.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）已知點在圓上運動，線段的中點為，設(shè)動點的軌跡為曲線；若直線：上存在點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，且，求實數(shù)的取值范圍.21.（本小題滿分12分）如圖，已知矩形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面.（1）求證：平面平面；（2）若點是線段上的一動點，且，當二面角的余弦值為時，求的值.22.（本小題滿分12分）橢圓：的右焦點是，且經(jīng)過點；直線與橢圓交于，兩點，以為直徑的圓過原點.（1）求橢圓的方程；（2）若過原點的直線與橢圓交于，兩點，且，求四邊形面積的范圍.2022學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345678答案ADBCDABA二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案ADACCDABD三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中第15、16題有一空正確得3分）13. 14.和；15.18，7； 16.，四、解答題：（共70分，其中第17題10分，第18-22題每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.解：（1）由題意可得：，∴直線的方程為，即則直線的方程為（2）由題意可得直線的方程為：，即，∴點到直線的距離為，，∴的面積18.（1）∵，，，（2）或采用求得（3）∵，∴存在實數(shù)，使得，，，19.（1）方法一：∵平面，，∴，，兩兩垂直，故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系∵，，∴面的一個法向量，故，∴又∵面，∴平面（2），，設(shè)面的一個法向量為，故方法二：（1）取中點，連接，因為，分別為，的中點，所以，且，因為四邊形是矩形，，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：平面.因為，平面，平面，所以平面所以到平面的距離為到平面的距離，所以，設(shè)到平面的距離，所以，因為，，，所以，所以，所以所以點到平面的距離為20.（1）解：由題意，圓：，可得圓心，半徑，因為直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.（2）設(shè)點，因為點，線段的中點為，可得，解得，又因為在圓上，可得，即，∴點的軌跡即曲線的方程為圓：.易得，在中，，∴到直線距離∴21.證明：（1）因為在矩形中，，，為的中點，所以，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：取中點，連接，則平面，過做的垂線，交于點，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，平面的一個法向量為，由且，所以，，設(shè)平面的一個法向量為則即取，得，所以，解得，所以22.（1）解：焦點為，則，點在橢圓：上，即，解得，所以