七年級數(shù)學(xué)上冊專題1.3 絕對值的綜合運(yùn)用（強(qiáng)化）（原卷版）

/專題1.3絕對值的綜合運(yùn)用【例題精講】已知，，且，求的值．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則．

同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．請你借助數(shù)軸進(jìn)行以下探索：（1）數(shù)軸上表示5與兩點(diǎn)之間的距離是，（2）數(shù)軸上表示與2的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．（3）如果，則．（4）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到和1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（5）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，說明理由．【題組訓(xùn)練】1．若，那么的值是多少？2．已知：，，且，求的值．3．若，；若，；①若，則；②若，則．4．若，且，求的值．5．已知與互為相反數(shù)，求的值．6．已知與互為相反數(shù)，求式子的值．7．已知與互為相反數(shù)，求的值．8．若．計(jì)算：（1），，的值．（2）求的值．9．計(jì)算：已知，，且，求的值．10．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的（探究）．（提出問題）兩個有理數(shù)、滿足、同號，求的值．解：①若、都是正數(shù)，即，，，，則；②若、都是負(fù)數(shù)，即，，有，，則，所以的值為2或．（探究）請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）兩個有理數(shù)、滿足、異號，求的值；（2）已知，，，且，求的值．11．同學(xué)們都知道表示5與之差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：（1）求．（2）找出所有符合條件的整數(shù)，使得成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．12．已知，，且，求的值．13．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．14．閱讀下列材料完成相關(guān)問題：已知，、是有理數(shù)（1）當(dāng)，時，求的值；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)，，的值．15．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示和2兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間，則的值為；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)，使得，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是．（4）當(dāng)時，的值最小，最小值是．16．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示和2兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．（2）如果，那么；（3）若，，且數(shù)、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)、點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間，則．17．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．②數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離表示為．?dāng)?shù)軸上表示和5的兩點(diǎn)之間的距離表示為．③若表示一個有理數(shù)，則的最小值．④若表示一個有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)的是．⑤若表示一個有理數(shù)，當(dāng)為，式子有最小值為．18．已知，，且，求的值．19．若，且，試求的值．20．若，，且，求的值．21．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則．22．如果、、是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為．23．同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．請你借助數(shù)軸進(jìn)行以下探索：（1）數(shù)軸上表示5與兩點(diǎn)之間的距離是，（2）數(shù)軸上表示與2的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．（3）如果，則．（4）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到和1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（5）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，說明理由．24．我們知道，在數(shù)軸上，表示數(shù)到原點(diǎn)的距離，這是絕對值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個點(diǎn)、，分別用，表示，那么、兩點(diǎn)之間的距離為：．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示15和的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)，之間的距離是，如果，那么是．（3）式子的最小值是．25．同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實(shí)際上也可理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；同理也可理解為與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求．（2）若，則（3）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到4和所對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．26．觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)之間的距離：4與，3與5，與，與3．并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)、兩點(diǎn)之間的距離表示為與，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：．（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，則與兩點(diǎn)間的距離可以表示為．（3）結(jié)合數(shù)軸探求的最小值是．27．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，．現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得，（稱，2分別為與的零點(diǎn)值）．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡代數(shù)式可分以下3種情況：（1）當(dāng)時，原式；（2）當(dāng)時，原式；（3）當(dāng)時，原式．綜上討論，原式通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出和的零點(diǎn)值；（2）化簡代數(shù)式；（3）求代數(shù)式的最小值．28．已知非零有理數(shù)，，滿足，．（1）求的值；（2）若，求的值．29．（1）當(dāng)時，求的值．（寫出解答過程）（2）若，，且，則的值為．（3）若，則的值為．30．已知：有理數(shù)，，滿足，當(dāng)時，求的值．31．（1）三個有理數(shù)、、滿足，求的值；（2）若、、三個不為0的有理數(shù)，且，求的值；32．閱讀下面材料：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和1兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和1的兩點(diǎn)之間的距離為6，則表示的數(shù)為；（3）若表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．33．我們知道：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，請回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和3的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)之間的距離為3，則有理數(shù)是．（3）若表示一個有理數(shù)，且，則．（4）式子的最小值為．34．已知點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．（1）數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離是；（3）若數(shù)軸上三個有理數(shù)、、滿足，，則的值為；（4）當(dāng)時，的值最小，最小值是．35．點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離表示為．（3）若表示一個有理數(shù)，且，則．（4）若，利用數(shù)軸求出的整數(shù)值為．36．同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實(shí)際上也可理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；同理也可理解為與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求．（2）若，則．（3）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到4和所對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（4）求：的最小值，并求出此時的值．37．在學(xué)習(xí)絕對值后，我們知道，表示數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．如：表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而，即表示5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．類似的有表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：，所以表示5、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．一般地，點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么、兩點(diǎn)之間的距離可表示為．請根據(jù)絕對值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離為3，若點(diǎn)表示的數(shù)是，則點(diǎn)表示的數(shù)是．（2）點(diǎn)、、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、、3，那么到的距離是；到的距離．（用含絕對值的式子表示）（3）若，則的值為．（4）若，則的取值范圍值為．38．如圖，點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為；（3）請寫出的幾何意義，并求出當(dāng)時的值；（4）請畫出數(shù)軸求的最小值，并直接寫出此時可取哪些整數(shù)？39．、兩點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離．請用上面的知識解答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和6的兩個點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之