第三知識(shí)塊三角函數(shù)三角恒等變換及解三角形第5課時(shí)第8課時(shí)2

第三知識(shí)塊三角函數(shù)三角恒等變換及解三角形第5課時(shí)第8課時(shí)2第一頁(yè)，共23頁(yè)?！局R(shí)拓展】

第一頁(yè)第二頁(yè)，共23頁(yè)。倍角公式sin2α＝

(S2α)cos2α＝

＝

＝

(C2α)tan2α＝

(T2α)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α第二頁(yè)第三頁(yè)，共23頁(yè)。(2010·南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測(cè)試)已知cosx＝，則sin2x的值為________．解析：

答案：1．設(shè)f(tanx)＝tan2x，則f(2)等于________．解析：∵f(tanx)＝tan2x，求f(2)，即令tanx＝2，∴

答案：

2．第三頁(yè)第四頁(yè)，共23頁(yè)。函數(shù)f(x)＝cosx－cos2x(x∈R)的最大值等于________．解析：原式＝f(x)＝cosx－(2cos2x－1)＝cosx－cos2x＋＝＝∵x∈R，∴－1≤cosx≤1.∴cosx＝時(shí)，f(x)max＝.答案：3．函數(shù)y＝2cos2x＋1(x∈R)的最小正周期為________．解析：∵y＝2cos2x＋1＝cos2x＋2，∴T＝＝π.答案：π4．第四頁(yè)第五頁(yè)，共23頁(yè)。已知π<α<2π，則cos等于________(用cosα)表示．解析：∵π<α<2π，∴.又∵cosα＝2cos2－1，∴

答案：－

5．第五頁(yè)第六頁(yè)，共23頁(yè)。1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) (1)化簡(jiǎn)的要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少； ③盡量使項(xiàng)數(shù)最少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不 含三角函數(shù)． (2)化簡(jiǎn)的方法：弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪等．第六頁(yè)第七頁(yè)，共23頁(yè)。【例1】 化簡(jiǎn)下列各式：（1）（2） 思路點(diǎn)撥：(1)若注意到化簡(jiǎn)式是開平方根和2α是α的二倍，α是的二倍，則不難找到解題的突破口；(2)注意到分子是一個(gè)平方差，分母中的角，則不難得到解題的切入點(diǎn)．第七頁(yè)第八頁(yè)，共23頁(yè)。解：(1)∵<α<2π，∴＝|cosα|＝cosα.又∵，∴，∴原式＝sin.(2)原式＝ ＝1.第八頁(yè)第九頁(yè)，共23頁(yè)。化簡(jiǎn)： (0<θ<π)．變式1：解：＝＝＝第九頁(yè)第十頁(yè)，共23頁(yè)。求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°；(2)(tan10°－)sin40°.變式2：解：(1)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝ ＝＝＝(2)原式＝()·sin40°＝＝ ＝－1.第十頁(yè)第十一頁(yè)，共23頁(yè)。1．證明三角恒等式的方法 觀察等式兩邊的差異(角、函數(shù)、運(yùn)算的差異)，從解決某一差異入手(同時(shí) 消除其他差異)，確定從該等式的哪邊證明(也可兩邊同時(shí)化簡(jiǎn))，當(dāng)從解決 差異方面不易入手時(shí)，可采用轉(zhuǎn)換命題法或用分析法等．2．證明三角條件等式的方法 首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決這一差異入手，確定從結(jié)論開始， 通過變換，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，或通過變換已知條件得出結(jié) 論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知條件含參 數(shù)，可采用消去參數(shù)法；如果已知條件是連比的式子，可采用換元法等．第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共23頁(yè)?！纠?】(浙江杭州調(diào)研)求證以下條件恒等式： (1)已知：2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα， 求證：2cos2β＝cos2γ； (2)已知：5sinα＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tanβ＝0. 思路點(diǎn)撥：(1)從條件式中消去α的正弦、余弦，然后推演， (2)把條件中的角進(jìn)行拆拼，使出現(xiàn)α－β及α，然后推演．第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共23頁(yè)。證明：(1)由已知可得4sin2β＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2γ，∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．

由此得cos2γ＝2cos2β，故所證明等式成立．

(2)把5sinα＝3sin(α－2β)化成5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，

得5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ

＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ.

移項(xiàng)合并得2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.依題意β≠kπ＋且α－β≠kπ＋，k∈Z.上式兩邊都除以2cosβcos(α－β)，即得tan(α－β)＋4tanβ＝0.第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共23頁(yè)。變式3：求證： ＝sinα＋cosα. 證明：證法一：左端＝ ＝sinα＋cosα＝右端，則原恒等式成立． 證法二：設(shè)sinα＋cosα＝t， 則左端＝ ＝t＝右端． 則原恒等式成立．第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共23頁(yè)。三角恒等變換是高考的重點(diǎn)，要求能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值、證明．在高考中，常以填空題、解答題的形式出現(xiàn)，難度以中低檔題為主，有時(shí)也以此為載體，與向量、不等式等相聯(lián)系，出綜合題，主要考查學(xué)生對(duì)三角知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)變能力．第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共23頁(yè)?！纠?】化簡(jiǎn)sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β. 思路點(diǎn)撥：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)是：(1)次數(shù)盡可能低；(2)角盡可能 少；(3)三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；(4)項(xiàng)數(shù)盡可能少．觀察欲化簡(jiǎn)的式子 發(fā)現(xiàn)：(1)有降次的可能；(2)涉及的角有α，β，2α，2β(需要把2α化 為α，2β化為β)；(3)函數(shù)名稱為正弦、余弦(可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名 稱的統(tǒng)一)；(4)共有3項(xiàng)(需要減少項(xiàng)數(shù))，由于側(cè)重的角度不同，出發(fā)點(diǎn)不 同，故本題的化簡(jiǎn)方法不止一種．第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共23頁(yè)。解：解法一：(從角入手)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.解法二：(從“名”入手，異名化同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β＝cos2β－cos2β ＝＝第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共23頁(yè)。解法三：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝＝(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2αcos2β＝＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.解法四：(從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方)原式＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β＝cos2(α＋β)＋sin2αsin2β－cos2αcos2β＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共23頁(yè)。變式4：已知0<α<，β為f(x)＝cos的最小正周期， a＝，b＝(cosα，2)，且a·b＝m， 求 的值．解：因?yàn)棣聻閒(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因?yàn)閍·b＝m，又a·b＝cosαtan－2，故cosαtan＝cosαtan＝m＋2.由于0<α<，所以

＝ ＝2(2＋m).第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共23頁(yè)?！疽?guī)律方法總結(jié)】1．公式的熟與準(zhǔn)，要依靠理解內(nèi)涵，明確聯(lián)系應(yīng)用練習(xí)嘗試，不可以機(jī)械記憶，因?yàn)榫ǖ哪康脑谟趹?yīng)用．2．要重視對(duì)于遇到的問題中角、函數(shù)名及其整體結(jié)構(gòu)的分析，提高公式選擇的恰當(dāng)性，有利于縮短運(yùn)算程序，提高學(xué)習(xí)效率．3．角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中關(guān)于角的變換問題常用的數(shù)學(xué)方法之一．4．三角恒等式的證明實(shí)際