北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷

北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷/北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷一．選擇題（共10小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，則BC的長度為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑物頂端M的仰角為30°，向N點方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測得建筑物頂端M的仰角為45°，則建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m4．已知∠A為銳角，且tanA=，那么下列判斷正確的是（）A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°5．拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b及反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)a=1時，函數(shù)圖象過點（﹣1，1）B．當(dāng)a=﹣2時，函數(shù)圖象及x軸沒有交點C．若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而減小D．若a＜0，則當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大7．點P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y38．如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，則陰影部分的面積為（）A． B．π C．2π D．4π9．若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+410．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共10小題）11．如圖，一山坡的坡度為i=1：，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點B，則小辰上升了米．12．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是．13．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面積為6，斜邊長為6，則tanA+tanB的值為．14．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為：（sinα）2+（cosα）2=1，=tanα．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解下題：已知tanα=2，則=．15．規(guī)定：sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．根據(jù)初中學(xué)過的特殊角的三角函數(shù)值，求得sin75°的值為．16．已知拋物線y=ax2﹣3x+c（a≠0）經(jīng)過點（﹣2，4），則4a+c﹣1=．17．若二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣1的圖象及x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則+的值為．18．如果拋物線y=2x2+mx+n的頂點坐標(biāo)為（1，3），那么m+n的值等于．19．已知拋物線y=ax2+bx+c過（﹣2，3），（4，3）兩點，那么拋物線的對稱軸為直線．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a為常數(shù)）的頂點A作AB⊥x軸于點B，過拋物線y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a為常數(shù)）的頂點C作CD⊥x軸于點D，連結(jié)AD、BC．則四邊形ABCD的面積為．三．解答題（共10小題）21．．22．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E．（1）求線段CD的長；（2）求cos∠ABE的值．23．如圖，在⊙O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點，C是⊙O上一點，CD=CE．（1）求證：=；（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半徑OA的長．24．如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線及地面的夾角是22°時，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE，而當(dāng)光線及地面夾角是45°時，辦公樓頂A在地面上的影子F及墻角C有25米的距離（B，F(xiàn)，C在一條直線上）．（1）求辦公樓AB的高度；（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請你求出A，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°，tan22）25．據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s，在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m，∠D=90°，第一次探測到一輛轎車從B點勻速向D點行駛，測得∠ABD=31°，2秒后到達(dá)C點，測得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，結(jié)果精確到1m）（1）求B，C的距離．（2）通過計算，判斷此轎車是否超速．26．如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+3及x軸交于A，B兩點，及y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0）（1）求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo)．（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)．27．如圖，拋物線y=x2﹣3x+及x軸相交于A、B兩點，及y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，及直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當(dāng)線段DE的長度最大時，求點D的坐標(biāo)．28．如圖，二次函數(shù)y=（x+2）2+m的圖象及y軸交于點C，點B在拋物線上，且及點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A（﹣1，0）及點B．（1）求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍．29．某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克，每千克可盈利6元，為減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種水果每千克降價1元，則每天可所多售出20千克．（1）設(shè)每千克水果降價x元，平均每天盈利y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若要平均每天盈利960元，則每千克應(yīng)降價多少元？30．如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷參考答案及試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2016?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，綜上，只有C不正確故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記銳角三角函數(shù)的定義．2．（2016?懷化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，則BC的長度為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴設(shè)BC=4x，AB=5x，又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），則BC=4x=8cm，故選：C．【點評】本題考查了三角函數(shù)及勾股定理，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．3．（2016?南通）如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑物頂端M的仰角為30°，向N點方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測得建筑物頂端M的仰角為45°，則建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m【分析】設(shè)MN=xm，由題意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，則AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．【解答】解：設(shè)MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=，∴tan30°==，解得：x=8（+1），則建筑物MN的高度等于8（+1）m；故選A．【點評】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了仰角和俯角的問題，要明確哪個角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的視線及水平線的夾角；俯角是向下看的視線及水平線的夾角；并及三角函數(shù)相結(jié)合求邊的長．4．（2016?雅安校級自主招生）已知∠A為銳角，且tanA=，那么下列判斷正確的是（）A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【分析】根據(jù)正切函數(shù)的增減性，可得答案．【解答】解：＜＜1，由正切函數(shù)隨銳角的增大而增大，得tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故選：B．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，利用正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．5．（2016?賀州）拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b及反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及系數(shù)的關(guān)系確定a＞0，b＜0，c＜0，根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定答案．【解答】解：由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限，故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象及系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2016?寧波）已知函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)a=1時，函數(shù)圖象過點（﹣1，1）B．當(dāng)a=﹣2時，函數(shù)圖象及x軸沒有交點C．若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而減小D．若a＜0，則當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大【分析】把a(bǔ)=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函數(shù)圖象不經(jīng)過點（﹣1，1），根據(jù)△=8＞0，得到函數(shù)圖象及x軸有兩個交點，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1判斷二次函數(shù)的增減性．【解答】解：A、∵當(dāng)a=1，x=﹣1時，y=1+2﹣1=2，∴函數(shù)圖象不經(jīng)過點（﹣1，1），故錯誤；B、當(dāng)a=﹣2時，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函數(shù)圖象及x軸有兩個交點，故錯誤；C、∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大，故錯誤；D、∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴若a＜0，則當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，故正確；故選D．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2016?蘭州）點P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為x=1，圖象開口向下，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1（﹣1，y1）及（3，y1）關(guān)于對稱軸對稱，可判斷y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴對稱軸為x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵3＜5，∴y2＞y3，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1（﹣1，y1）及（3，y1）關(guān)于對稱軸對稱，故y1=y2＞y3，故選D．【點評】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)及函數(shù)解析式的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性．8．（2016?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，則陰影部分的面積為（）A． B．π C．2π D．4π【分析】連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積公式求解即可．【解答】解：連接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=，故S△OCE=S△ODE，即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，又∵∠ABD=60°，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，∴S扇形OBD==，即陰影部分的面積為．故選A．【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．9．（2016?眉山）若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【分析】思想判定出拋物線的平移規(guī)律，根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律即可解決問題．【解答】解：將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，這個相當(dāng)于把拋物線向左平移有關(guān)單位，再向下平移3個單位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)閥=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案為C．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的平移和拋物線的平移是反方向的，記住左加右減，上加下減的規(guī)律，屬于中考?？碱}型．10．（2016?棗莊）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過原點，可得c=0，所以abc=0；然后根據(jù)x=1時，y＜0，可得a+b+c＜0；再根據(jù)圖象開口向下，可得a＜0，圖象的對稱軸為x=﹣，可得﹣，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象及x軸有兩個交點，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象經(jīng)過原點，∴c=0，∴abc=0∴①正確；∵x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正確；∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象及x軸有兩個交點，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正確；綜上，可得正確結(jié)論有3個：①③④．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象及系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a及b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a及b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線及y軸交點．拋物線及y軸交于（0，c）．二．填空題（共10小題）11．（2016?岳陽）如圖，一山坡的坡度為i=1：，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點B，則小辰上升了100米．【分析】根據(jù)坡比的定義得到tan∠A=，∠A=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【解答】解：根據(jù)題意得tan∠A===，所以∠A=30°，所以BC=AB=×200=100（m）．故答案為100．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式12．（2016?永春縣模擬）在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是．【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對邊比斜邊，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA==．故答案為．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．13．（2016?杭州校級模擬）在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面積為6，斜邊長為6，則tanA+tanB的值為3．【分析】由△ABC的面積為6可得ab=12，再由勾股定理可得a2+b2=62=36，再由tanA+tanB=+=求解．【解答】解：∵△ABC的面積為6，∴ab=12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∴a2+b2=62=36，∴tanA+tanB====3，故答案為：3．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理，關(guān)鍵是掌握正切定義．14．（2016?蘭州模擬）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為：（sinα）2+（cosα）2=1，=tanα．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解下題：已知tanα=2，則=．【分析】將（sinα）2+（cosα）2=1代入后得到（tanα+），然后求值即可．【解答】解：==（tanα+）=×（2+）=，故答案為：．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)Υ鷶?shù)式進(jìn)行正確的變形，難度不大．15．（2016?臨沂一模）規(guī)定：sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．根據(jù)初中學(xué)過的特殊角的三角函數(shù)值，求得sin75°的值為．【分析】根據(jù)sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny，可得答案．【解答】解：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°?cos30°+cos45°?sin30°=×+×=，故答案為：．【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，利用sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny是解題關(guān)鍵．16．（2016?牡丹江）已知拋物線y=ax2﹣3x+c（a≠0）經(jīng)過點（﹣2，4），則4a+c﹣1=﹣3．【分析】將點（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，進(jìn)一步求得4a+c﹣1的值．【解答】解：把點（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得4a+6+c=4，∴4a+c=﹣2，∴4a+c﹣1=﹣3，故答案為﹣3．【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，點在函數(shù)上，將點代入解析式即可．17．（2016?瀘州）若二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣1的圖象及x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則+的值為﹣4．【分析】設(shè)y=0，則對應(yīng)一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標(biāo)，利用根及系數(shù)的關(guān)系即可求出+的值．【解答】解：設(shè)y=0，則2x2﹣4x﹣1=0，∴一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標(biāo)，即x1，x2，∴x1+x2=﹣=2，x1，?x2=﹣，∴+==﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)及x軸的交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程的根是解題關(guān)鍵．18．（2016?普陀區(qū)一模）如果拋物線y=2x2+mx+n的頂點坐標(biāo)為（1，3），那么m+n的值等于1．【分析】根據(jù)拋物線y=2x2+mx+n的頂點坐標(biāo)為（1，3），可知，從而可以得到m、n的值，進(jìn)而可以得到m+n的值．【解答】解：∵拋物線y=2x2+mx+n的頂點坐標(biāo)為（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案為：1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式．19．（2016?河?xùn)|區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+bx+c過（﹣2，3），（4，3）兩點，那么拋物線的對稱軸為直線x=1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對稱性，由拋物線y=ax2+bx+c過（﹣2，3），（4，3）兩點，可以得到它的對稱軸，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c過（﹣2，3），（4，3）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線x=，故答案為：x=1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的圖象具有對稱性．20．（2016?長春模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a為常數(shù)）的頂點A作AB⊥x軸于點B，過拋物線y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a為常數(shù)）的頂點C作CD⊥x軸于點D，連結(jié)AD、BC．則四邊形ABCD的面積為4．【分析】根據(jù)題意知道兩個拋物線關(guān)于原點對稱，從而判斷四邊形ABCD的形狀為平行四邊形，然后根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)確定CD和BD的長，利用平行四邊形的面積計算方法確定面積即可．【解答】解：∵拋物線y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a為常數(shù)）及拋物線y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a為常數(shù)）關(guān)于原點對稱，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵拋物線y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a為常數(shù)）的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），拋物線y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a為常數(shù)）的頂點坐標(biāo)為（1，2），∴BD=2，CD=2，∴S四邊形ABCD=BD×CD=2×2=4，故答案為：4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定四邊形ABCD的形狀，難度不大．三．解答題（共10小題）21．（2016?濟(jì)南校級模擬）．【分析】先把各特殊角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式=1×﹣4××+×=﹣+=．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．22．（2016?江西模擬）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E．（1）求線段CD的長；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到sinA==，則可計算出AB=10，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC=6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC，則S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，于是可計算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中點，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中點，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值為．【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式．23．（2015秋?道外區(qū)期末）如圖，在⊙O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點，C是⊙O上一點，CD=CE．（1）求證：=；（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半徑OA的長．【分析】（1）連接OC，由SSS證明△OCD≌△OCE，得出對應(yīng)角相等∠COD=∠COE，由圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）連接AC，證明△AOC是等邊三角形，得出CD⊥OA，由三角函數(shù)求出OC，即可得出OA．【解答】解：（1）證明：連接OC，如圖1所示：∵D、E分別是半徑OA、OB的中點，OA=OB，∴OD=OE，在△OCD和△OCE中，，∴△OCD≌△OCE（SSS），∴∠COD=∠COE，∴=；（2）連接AC，如圖2所示：∵∠AOB=120°，∴∠COD=∠COE=60°，∵OC=OA，∴△AOC是等邊三角形，∵D是OA的中點，∴CD⊥OA，∴OC===4，∴OA=4．【點評】本題考查的是圓心角，弧，弦的關(guān)系、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角函數(shù)；證明三角形全等和等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．24．（2016?青海）如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線及地面的夾角是22°時，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE，而當(dāng)光線及地面夾角是45°時，辦公樓頂A在地面上的影子F及墻角C有25米的距離（B，F(xiàn)，C在一條直線上）．（1）求辦公樓AB的高度；（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請你求出A，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°，tan22）【分析】（1）首先構(gòu)造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可【解答】解：（1）如圖，過點E作EM⊥AB，垂足為M．設(shè)AB為x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，則=，解得：x=20．即教學(xué)樓的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之間的距離約為48m【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知得出tan22°=是解題關(guān)鍵25．（2016?六盤水）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s，在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m，∠D=90°，第一次探測到一輛轎車從B點勻速向D點行駛，測得∠ABD=31°，2秒后到達(dá)C點，測得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，結(jié)果精確到1m）（1）求B，C的距離．（2）通過計算，判斷此轎車是否超速．【分析】（1）在直角三角形ABD及直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD及CD的長，由BD﹣CD求出BC的長即可；（2）根據(jù)路程除以時間求出該轎車的速度，即可作出判斷．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，則B，C的距離為20m；（2）根據(jù)題意得：20÷2=10m/s＜15m/s，則此轎車沒有超速．【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．26．（2016?寧波）如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+3及x軸交于A，B兩點，及y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0）（1）求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo)．（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）首先把點B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=﹣x2+mx+3，利用待定系數(shù)法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）首先連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案．【解答】解：（1）把點B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點坐標(biāo)為：（1，4）．（2）連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，∵點C（0，3），點B（3，0），∴，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，當(dāng)x=1時，y=﹣1+3=2，∴當(dāng)PA+PC的值最小時，點P的坐標(biāo)為：（1，2）．【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問題．注意找到點P的位置是解此題的關(guān)鍵．27．（2016?大連）如圖，拋物線y=x2﹣3x+及x軸相交于A、B兩點，及y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，及直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當(dāng)線段DE的長度最大時，求點D的坐標(biāo)．【分析】（1）利用坐標(biāo)軸上點的特點求出A、B、C點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為（m，），E點的坐標(biāo)為（m，），可得兩點間的距離為d=，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2﹣3x+及x軸相交于A、B兩點，及y軸相交于點C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，則y=，∴C點坐標(biāo)為（0，），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，，解得：，∴直線BC的解析式為：y=x；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為（m，），∴E點的坐標(biāo)為（m，m），設(shè)DE的長度為d，∵點D是直線BC下方拋物線上一點，則d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)m==時，d最大===，∴D點的坐標(biāo)為（，）．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象及坐標(biāo)軸的交點，設(shè)出D的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)最值得D點坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．28．（2016?龍東地區(qū)）如圖，二次函數(shù)y=（x+2）2+m的圖象及y軸交于點C，點B在拋物線上，且及點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A（﹣1，0）及點B．（1）求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法先求出m，再求出點B坐標(biāo)，利用方程組求出一次函數(shù)解析式．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上面即可寫出自變量x的取值范圍．【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2+m經(jīng)過點A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴拋物線解析式為y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴點C坐標(biāo)（0，3），∵對稱軸x=﹣2，B、C關(guān)于對稱軸對稱，∴點B坐標(biāo)（﹣4，3），∵y=kx+b經(jīng)過點A、B，∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣1，（2）由圖象可知，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍為x≤﹣