第三章 矩陣的初等變換和方程組

第三章

矩陣初等變換

及線性方程組【主要內(nèi)容】線性方程組應(yīng)用介紹、矩陣的初等變換、矩陣的秩、線性方程組的解。一、線性方程組的應(yīng)用解決經(jīng)濟分析中投入產(chǎn)出問題解決交通流量的分析問題配置營養(yǎng)食譜解決化學(xué)方程式的平衡問題解決小行星軌道問題解決電路網(wǎng)絡(luò)問題進行地域人口預(yù)測進行石油勘探交通流量分析路口的車流量調(diào)查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ).根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案，必要時設(shè)計單行線，以免大量車輛長時間擁堵.550290600500370520680730ABCD

計算在4個交叉路口間車輛的數(shù)量.為了唯一確定未知流量，還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計？在DC或CA路段設(shè)置一個公交站點,選哪個好?站?站?分析問題交通網(wǎng)絡(luò)流量分析網(wǎng)絡(luò)流模型網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃任務(wù)分派以及計算機輔助設(shè)計等眾多領(lǐng)域.當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題時，線性方程組就自然產(chǎn)生了.例如，城市規(guī)劃設(shè)計人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)格內(nèi)的交通流量，電氣工程師計算電路中流經(jīng)的電流，經(jīng)濟學(xué)家分析產(chǎn)品通過批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生產(chǎn)者到消費者的分配等.大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千未知量和線性方程。網(wǎng)絡(luò)流模型一個網(wǎng)絡(luò)包含一組稱為接合點或節(jié)點的點集，并由稱為分支的線或弧連接部分或全部的節(jié)點流的方向在每個分支上有標(biāo)示，流量也有顯示或用變量標(biāo)記.網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)：(1)網(wǎng)絡(luò)的總流入量等于總流出量(2)每個節(jié)點上流入和流出的總量也相等30x2x1分析問題交通流量建立模型550290600500370520680730ABCD

【建立模型】即就是線性方程組分析問題交通流量線性方程組建立模型模型求解【模型求解】求線性方程組的解解其增廣矩陣該交通網(wǎng)絡(luò)中未知路段的車流量為寫成向量形式550290600500370520680730ABCD

計算在4個交叉路口間車輛的數(shù)量.為了唯一確定未知流量，還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計？在DC或CA路段設(shè)置一個公交站點,選哪個好?站?站?分析問題交通流量線性方程組線性方程組求解建立模型模型求解23路901路10路3路26路10路3路站71234856380420380350290450480150思考求解線性方程組方程組是否有解?有解時,解的個數(shù)是多少?如何解?有多解時,這些解之間的關(guān)系如何?所得的解針對實際問題是否合理?無解時,如何找出最接近實際問題的近似解.第一節(jié)矩陣的初等變換一、消元法解線性方程組1.上述消元法解方程組的方法中,始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于0的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互交換）（以替換）（以替換）2．上述三種變換都是可逆的,稱為方程組的同解變換．增廣矩陣定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換

定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)

矩陣初等行變換在本課程中的應(yīng)用求解線性方程組求矩陣的逆矩陣求矩陣的秩求向量組的秩(第四章)判定向量組的線性相關(guān)性(第四章)增廣矩陣二、階梯形矩陣定義3例如:(1)可畫出一條階梯線,線的下方全為零.(2)每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面為該行的首非零元.例1將矩陣A化為行階梯形矩陣:

行階梯形矩陣練習(xí)1:將矩陣B化為行階梯形矩陣:

定義4例如:解:例2練習(xí)2:將矩陣B繼續(xù)化為行最簡形矩陣:

初等變換法求逆陣(A|E)(E|A-1)初等行變換步驟：(1)構(gòu)造n×2n矩陣(A|E)；(2)對(A|E)施行初等行變換，將其化為行最簡形矩陣，此時，原矩陣A位置已化為單位矩陣E，而原右邊E對應(yīng)部分即為A-1.三、用矩陣初等變換求逆矩陣?yán)?

解練習(xí)3:用矩陣初等行變換求逆矩陣

四、小結(jié)

第二節(jié)矩陣的秩一、矩陣的秩例1解例2解例3解計算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.練習(xí):

練習(xí)3課本79頁12題.二、矩陣秩的性質(zhì)

三、小結(jié)矩陣的秩矩陣的最高階非零子式的階數(shù)即為該矩陣的秩.通常用下述方法求矩陣的秩:把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.第三節(jié)線性方程組的解線性方程組的矩陣表示一、線性方程組有解的判定條件問題：我們分齊次線性方程組(b=0)和非齊次線性方程組(b≠0)來討論:對n元齊次線性方程組Ax=0有:(1)R(A)=n時,方程組只有零解;(2)方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n.

n元非齊次線性方程組Ax=b：無解的充要條件是R(A)<R(A,b);(2)有惟一解的充要條件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有無限多解的充要條件是