南航戴華《矩陣論》第二章線線性映射與性變換

教學(xué)目的掌握線性映射的定義熟練掌握特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，掌握矩陣可對角化的條件理解酉空間的概念掌握酉空間與實內(nèi)積空間的異同。

在討論線性空間的同構(gòu)時，我們考慮的是一種保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對應(yīng).我們常稱映射(比同構(gòu)映射少了一一對應(yīng)的條件)兩線性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為線性線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種“動態(tài)的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時也意味著線性變換的運算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運算。

(4)如果

1,

2,…m是V1的線性相關(guān)組，則D(

1),D(

2),…D(

n)是V2的一組線性相關(guān)向量；并且當(dāng)且僅當(dāng)D是一一映射時，V1中的線性無關(guān)組的像是V2中的線性無關(guān)組.注3矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線性空間V1到V2的線性映射L與m

n矩陣一一對應(yīng)，且這種對應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運算。

解在R[x]n中取基

1=1，

2=x,…

n=xn-1,在R[x]n-1中取基

1=1，

2=x,…

n-1=xn-2，則D(

1)=0=0

1+0

2+…+0

n-1D(

2)=1=

1+0

2+…+0

n-1D(

3)=2x=0

1+2

2+…+0

n-1……

D(

n)=(n-1)xn-2=0

1+2

2+…+(n-1)

n-1D(1,

2,…

n)=(

1,

2…

n-1)即于是D

在基1，x,…

xn-1與1，x,…

xn-2下的矩陣為D=另：若在R[x]n-1中取基

1=1，

2=2x,…

n-1=(n-1)xn-2則D在基1，x,…

xn-1與1，2x,…

(n-1)xn-2下的矩陣為D=說明同一個線性映射在不同基下的矩陣不同即對V中的任意兩個向量

，

和任意kP，映射（未必是雙射）A：VV滿足

(i)(可加性):A

(

+

)=A

(

)+A

()

(ii)(齊次性):kA

(

)=A

(k)稱A(

)為

在變換A下的像，

稱為原像。V上的全體線性變換記為：L(V,V)線性變換的基本性質(zhì)如果T

：VV是線性變換，則零向量對應(yīng)零向量疊加原理

L(V,V)表示線性空間V

上的所有線性變換的集合，對任意的T,T1,T2∈L(V,V),

∈V,定義則可以驗證，都是線性變換，因此L(V,V)也是數(shù)域P上的線性空間。注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運算是兩個不同的概念特殊的變換：

對任意的k∈P定義數(shù)乘變換K（x）=kx，

恒等變換：I（x）=x，零變換：O(x)=0例2.3.1

設(shè)線性空間的線性變換為

求在自然基底下的矩陣.

解：

()=例2.3.2

在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在標準基下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：（1）由已知，有自然基底設(shè)在標準基下的矩陣為A，即即：為過渡矩陣因而，

設(shè)在下的矩陣為B，則（2）求在下的矩陣.定義2.3.3設(shè)D是數(shù)域P上的線性空間上的線性變換。令R(D)=Im(D)={D(a)|a

V}Ker(D)=N(D)={a

V|D(a)=0}稱R(D)是線性變換D的值域，而Ker(D)是線性變換的核。R(D)的維數(shù)稱為D的秩，Ker(D)的維數(shù)稱為D的零度。定理2.3.2設(shè)D是數(shù)域P上的線性空間V上的線性變換。令D

在V的一組基

1,

2,…

n下的矩陣表示為A，則（1）Im(D)和Ker(D)都是V的子空間；（2）Im(D)=span(D(

1),D(

2),…D(

n))（3）rank(D)=rank(A)（4）dim(Im(D))+dim(Ker(D))=n證明（1）顯然R(D)是V的非空子集，對任意D(

),D(

)

R(D)，k

P有D(

)+D(

)=D(

+

)

R(D)kD(

)=D(k

)

R(D)所以R(D)是V的子空間又D(0)=0,所以Ker(D)是V的非空子集,對任意

,

Ker(D)，k

P

D(

+

)=D(

)+D(

)=0

Ker(D)

D(k

)=kD(

)=0

Ker(D)所以Ker(D)是V的子空間如果D(

r+1),…D(

n)是線性無關(guān)的，則有dim(Im(D))=n-r證明（4）設(shè)dim(Ker(D))=r，在Ker(D)

中取一組基

1,

2,…

r，根據(jù)擴充定理，將它擴充成的基

1,

2,…

r,

r+1,…

n，則Im(D)=span(D(

1),…D(

r),D(

r+1),…D(

n))=span(D(

r+1),…D(

n))因為線性無關(guān)，所以ki=0(i=1,2…n),所以D(ar+1),…D(an)線性無關(guān)。事實上，設(shè)，則)(D

=0nj=r+1?kjaj

nj=r+1?kjD(aj)=0

從而則nj=r+1?kjaj

Ker(D)

nj=r+1?kjaj=

rj=1?kjaj

注意（1）雖然dim(Im(D))+dim(Ker(D))=n，但一般有Im(D)+Ker(D)

V（2）當(dāng)且僅當(dāng)(Ker(D)={0}，也即當(dāng)且僅當(dāng)Im(D)=V時，變換D是可逆的。例2.3.3設(shè)線性變換T在4維線性空間的基下的矩陣為（2）求Im(T)的一組基;（1）求Ker(T)的一組基;解（1）對任意有因此解得基礎(chǔ)解系則的基為（2）由于從而這說明例2.4.1

設(shè)線性變換A在基下的矩陣是求A的全部特征值與特征向量。解：求A的特征值等價于求對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。所以A的特征值是3(二重)與-6。對于特征值3，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：從而A

的屬于3的極大線性無關(guān)特征向量組是于是A屬于3的全部特征向量是

這里k1k2≠0。對于特征值-6，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：從而A的屬于-6的極大線性無關(guān)特征向量組是于是A的屬于-6的全部特征向量這里k為數(shù)域F中任意非零數(shù)。稱矩陣為多項式的友矩陣，這里例2.4.2對于多項式求C的特征多項式解記由上式逐次遞推得對di按第一行展開,有di=

di-1+ai,i

1dn=|I-A|=

dn-1+an=

(

dn-2+an-1)+an=

2(

dn-3+an-2)+an-1

+an=…=

n+a1

n-1+a2

n-2+…an-1+an接下來考慮線性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：證:（1）|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1||(I-A)||P|=|I-A|另：66頁例2.4.5的結(jié)論：m階方陣AB與n階方陣BA有相同的非零特征值，從而有tr(AB)=tr(BA)；特別地，若A，B為同階方陣，則AB與BA有相同的特征值.推論：若P-1AP=diag（

1,2,…n），則

1,2,…,n是A的n個特征值，C的第i個列向量是A的屬于

i的特征向量例2.5.1

在多項式空間P[t]3中，設(shè)

f(t)=a1+a2t+a3t2定義線性變換T[f(t)]=(a2+a3)

+(a1+a3)t++(a1+a2)t2試求P[t]3的一組基，使在該基下的矩陣為對角矩陣。解：

這里標準基在線性變換下的矩陣表示為矩陣A的特征值為屬于2的特征向量為p1=(1，1，