重難點專題05 與幾何意義有關(guān)的函數(shù)問題（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題05與幾何意義有關(guān)的函數(shù)問題題型1類比斜率 1題型2類比兩點間距離 5題型3類比點到直線距離 11題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系 15題型5類比和差距離問題 18題型6絕對值中的距離問題 19題型7兩曲線間點的距離 20題型1類比斜率形如nm的形式，用幾何意義來理解【例題1】（2020秋·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知fx是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=fx-1的圖象關(guān)于點1,0對稱，若實數(shù)m，n滿足等式fn-3A．2-23C．2-23【答案】C【分析】由函數(shù)fx是遞增函數(shù)，且y=fx-1的圖象關(guān)于點1,0對稱，可得函數(shù)再結(jié)合fn-3+f4m-【詳解】fx是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)y=fx-1的圖象關(guān)于點所以函數(shù)fx又fn-3所以n-3+4m-m即m-22畫出不等式組表示的圖形，如圖所示，所以nm表示圓弧上的點m,n與點0,0所以結(jié)合圖象可得：nm的最大值是直線OA的斜率，為3-0最小值是直線OB的斜率，不妨設(shè)為k，則n=kmm-2消去n，得m-22整理得k2令Δ=6k+4化簡得3k解得k=2±2應(yīng)取k=2-2所以nm的取值范圍是：2-故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，函數(shù)與方程的綜合運用，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題分兩部分，一部分是由函數(shù)單調(diào)性與奇偶性化fn-3+f4m-m2-3=0【變式1-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=sinA．-22 B．-1 C．-【答案】B【分析】對fx變形，得到f(x)=-11+(1-cosx1-sinx)?2，當(dāng)【詳解】當(dāng)sinx=1，當(dāng)sinx≠1時,因為f(x)=令g(x)=1-cosx1-sinx，g(x)的含義是點(1,1)所以-1?-11+g(x)?綜合得，f(x)∈-1,0故最小值為：-1.故選：B.【變式1-1】2.（2022秋?上城區(qū)校級期中）函數(shù)f(x)=1-x2【答案】-【分析】令x=cosα(0≤α≤π【詳解】令x=cos則y=f(x)=1-它表示半圓x2+y2=1(y≥0)由圖象得當(dāng)AB與半圓相切時，函數(shù)y=sin此時OB=1,OA=2,∠OAB=30°，kAB即y=f(x)=1-x2故答案為：-3【變式1-1】3.（2020?泰州一模）已知實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，c≠0，則ba-2c的取值范圍為【答案】-【詳解】由a2＋b2＝c2可設(shè)a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解為點(2，0)與單位圓上的點連線的斜率的范圍，而兩條切線的斜率為±，則的取值范圍為.題型2類比兩點間距離形如(x-a)2+(y-b)【例題2】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)a>0，b∈R，已知函數(shù)fx=xexA．e26 B．e25【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)fx的零點為t，可得t-3a+b+tet=0，由此可得點a,b【詳解】函數(shù)fx=xe則1≤t≤3，且tet+a所以點a,b在直線t-3x+y+t又a2+b故a2所以a2設(shè)gt則g'故g'設(shè)ht則h'因為1≤t≤3，所以h'所以函數(shù)ht=t所以當(dāng)1≤t≤3時，ht故當(dāng)1≤t≤3時，g't>0，函數(shù)g所以gt所以當(dāng)-2a+b+e=0，a=-2b時，a2所以當(dāng)a=2e5,b=-e故選：B.【點睛】知識點點睛：本題考查函數(shù)零點的定義，直線方程的定義，點到直線的距離，兩點之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a,b滿足(a+2)2+(b-3)2=2【答案】8【分析】求出圓心C-2,3到曲線y=lnx【詳解】因為實數(shù)a,b滿足(a+2)2+(b-3)2=2，故P而C-2,3，設(shè)g則gx表示C到曲線y=又g'因為hx=x2+2x+故當(dāng)x∈0,1時，hx<0即g'x<0；當(dāng)故gx在0,1上為減函數(shù)，在1,+∞為增函數(shù)，故gx的最小值為故C-2,3到曲線y=lnx而圓C的半徑為2，故圓C上的點到曲線y=lnx上的點的距離最小值為故(x-a)2+(故答案為：8.

【點睛】思路點睛：與圓有關(guān)的最值問題，往往需要轉(zhuǎn)化到圓心到幾何對象的最值問題來處理，另外注意代數(shù)式對應(yīng)的幾何意義.【變式2-1】2.（2022秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）不等式ea-b2+a-b-12≥m【答案】[-1,2]【分析】設(shè)P(a,ea),Q(b+1,b)，則可得PQ2≥m2-m，而P,Q分別在曲線f(x)=ex和直線【詳解】由題意設(shè)P(a,ea),Q(b+1,b)，則PQ因為P,Q分別在曲線f(x)=ex和直線所以將直線y=x-1平移恰好與曲線f(x)=ex相切時，切點到直線y=x-1的距離最小，此時設(shè)切線為y=x+m，切點為(x0,y0所以ex0=1，得x所以PQ的最小值為點(0,1)到直線y=x-1的距離d，d=-1-1即PQ的最小值為2，所以2≥m2-m，即m所以實數(shù)m的取值范圍是[-1,2]，故答案為：[-1,2]【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為P(a,ea),Q(b+1,b)，PQ2≥【變式2-1】3.（2021?南京一模）若實數(shù)x、y滿足x-4y=2x-y，則x【答案】{0}∪[4,20]【詳解】令y=a,x-y=b且題設(shè)等式化為a2于是，a、b滿足方程如圖，在aOb平面內(nèi)，點a,b的軌跡是以D1,2為圓心、5為半徑的圓在a、b≥0的部分，即點O故a2從而，x=a【變式2-1】4.記Z=(x-y)2+(2x+y2【答案】16【分析】根據(jù)題意，可知Z=(x-y)2+(2x+y2)2表示點A(x,2x)，B(y,-y2)兩點之間距離的平方，得出點A的軌跡方程是y=2x，點B的軌跡方程是y=-x2，設(shè)平行于y=-【詳解】解：Z=(x-y)2+(2點A的軌跡方程是y=2x，點B的軌跡方程是設(shè)平行于y=-x2且與y=2聯(lián)立y=2xy=-由Δ=-2b2所以與y=2x相切的直線方程為y=-x∴A(x,2x)即為兩平行直線y=-x2與y=-x∴Z的最小值是45故答案為：165【變式2-1】5.（2020·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┮阎獃=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且y=f(x)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱．若實數(shù)x,y滿足不等式f(x2-6x)+f(【答案】[16,36]【分析】根據(jù)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱，得到f(x+6)=-f(6-x)，從而將f(x2-6x)+f(y2-8y+36)≤0轉(zhuǎn)化為f(x【詳解】因為函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱，所以f(x+6)=-f(6-x).因為f(x所以f(x-f(y所以f(x又因為函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，所以x2整理得：(x-3)2因為x2+y2表示以(3,4)為圓心，所以(x(x所以x2+y故答案為：[16,36]【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，同時考查了圓的性質(zhì)，利用x2+題型3類比點到直線距離由兩點間距離公式，可以考慮轉(zhuǎn)化成點到直線的距離公式。【例題3】（2021秋?西湖區(qū)校級期末）函數(shù)y=cosα+2A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】分析可知函數(shù)y=cosα+2sinαt-2t-2cosα【詳解】解：函數(shù)y=的幾何意義為點0,0到直線t-2由直線t-2即為tx+由x+cosα+2則直線恒過定點P-由題意可得原點到定點P的距離即為所求最大值，可得OP=故選：B.【變式3-1】1.（2022?新疆模擬）若x12-lnxA．12 B．22 C．2【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為曲線y=x2-lnx上的點P到x-y-2=0的距離平方的最小值，需滿足函數(shù)fx=【詳解】解：由已知可得y1=x則x1-x22設(shè)fx=x2-lnxf1曲線y=x2-lnx則所求距離的最小值為點P1,1到直線x-y-2=0的距離的平方，即2故選：D.【變式3-1】2．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)點P在曲線y=12e(x-1)上，點Q在曲線A．1-ln2C．1+ln2【答案】B【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的對稱性，把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值即可.【詳解】令t=x-1，則y=12et，y=ln所以y=12e(x-1)與y=ln(2x-2)的圖象可以看成是由所以PQ的最小值即為曲線y=12e曲線y=12et上的點M設(shè)f(t)=12e由f'(t)=12et所以f(t)=12et-t(t>0)所以當(dāng)t=ln2時，函數(shù)f由圖象關(guān)于y=x對稱得：PQ的最小值為2d故選：B【變式3-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b，c，d滿足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，則A．22 B．8 C．4【答案】B【分析】利用絕對值的性質(zhì)及兩點間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-1)-b=0，c-d+2=0，即b=(a-c)2+(b-d)2的幾何意義為曲線b=ln(a-1)上的點不妨設(shè)曲線y=ln(x-1)，直線y=x+2，設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=ln顯然直線y=x+2與直線y=x+m的距離的平方即為所求，由y=ln(x-1)，得y'=1則1x0-1∴直線y=x+2與直線y=x+m的距離為|2+2|2∴(a-c)故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求曲線b=ln(a-1)上的點(a,b)到直線d=c+2上的點(c,d)連線的距離的平方，進而再轉(zhuǎn)化為求曲線y=ln【變式3-1】4.（2021春?北海期末）實數(shù)a,b,c,d滿足ea+1b=c-2dA．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】由題知b=ea＋1,d=c-2,進而將問題轉(zhuǎn)化為曲線y=ex+1上一點(a,b)與直線y=x-2上一點(c,d)【詳解】由ea+1b=故(a-c)2+(b-d)2幾何意義為曲線y=ex+1上一點對于函數(shù)y=ex＋1，令所以函數(shù)y=ex+1在(-1,1)處的切線方程為x-y＋2=0，切線方程與直線y=x-2平行，則函數(shù)y=ex+1在(-1,1)處的切線方程與直線y=x-2之間的距離故選:D【變式3-1】5.（2021?山東模擬）若x，y∈R，x>0，求x-y2+4A．5 B．55 C．165【答案】C【分析】根據(jù)x-y2【詳解】問題可以轉(zhuǎn)化為：Ax,4lnx-xBy,2y+1是函數(shù)y=2x+1上的點，AB當(dāng)與直線y=2x+1平行且與fx的圖象相切時，切點到直線y=2x+1的距離為ABf'又f1=-1，所以M1,-1到直線y=2x+1ABmin=4故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是理解x-y2題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，可以將方程解的問題，轉(zhuǎn)化成直線與曲線的位置關(guān)系問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，進行求解．【例題4】（2021秋?運城期中）直線y=kx-1與曲線y=-1-(x-2)2有兩個不同的公共點，則k【答案】k∈(0【詳解】作直線y=kx-1與曲線y=-1-(x-2)2，直線m的斜率k=0+1結(jié)合圖象可以知道,k的取值范圍是(0?,?點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【變式4-1】1.若關(guān)于x的方程x+b=3-4x-x2有解，則實數(shù)b【答案】3?b?5+2【分析】將方程變形，可得4x-x2=-x+3-b，等價于y=4x-x2與【詳解】解：關(guān)于x的方程x+b=3-4x-x2等價于y=4x-x2與y=-x+3-b∵y=4x-x2等價于y其圖象為(2,0作圖可得當(dāng)平行直線y=-x+3-b介于兩直線之間時滿足題意，易得直線m的截距為0，設(shè)直線n的截距為t，由直線與圓相切可得直線x+y-t=0到點(2,0可得|2-t|2=2，解得t=2+22∴0?b-3?2+22，解得3?b?5+2故答案為：3?b?5+22【變式4-1】2.（2022秋?吉州區(qū)校級期中）若方程1-x2x+a-1=0僅有一解，則實數(shù)【答案】-1<a≤1【詳解】試題分析：1-x2x+a-1=0即1-x2=x+a，所以，方程1-考點：本題主要考查方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系．點評：典型題，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程解的問題，轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，使問題得解．難度不大，貴在轉(zhuǎn)化．題型5類比和差距離問題雙根號問題，可以通過配方，轉(zhuǎn)化成距離之和問題?！纠}5】（2021?安徽開學(xué)）求函數(shù)y=x2-8x+17【答案】5【分析】將函數(shù)式表示為點點距的形式，可轉(zhuǎn)化為求距離之和的最小值，從而求出答案.【詳解】解：函數(shù)y=x2-8x+17+x2+4=(x-4)P為AB與x軸的交點時，函數(shù)取最小值|AB|=(4-0)故答案為：5題型6絕對值中的距離問題【例題6】（2021?杭州模擬）已知函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，當(dāng)實數(shù)a，b變化時，M最小值為，當(dāng)M取到最小值時，【答案】2-2【解析】f(x)=x2-4x-[-(a+4)x-b]，則M即為函數(shù)g(x)=x2-4x與函數(shù)h(x)=-(a+4)x-b【詳解】解：f(x)=x上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時，函數(shù)g(x)=x2-4x，x∈[0，4]與函數(shù)h(x)=-(a+4)x-b，x∈[0，則M即為函數(shù)g(x)=x2-4x與函數(shù)由圖象可知，當(dāng)函數(shù)h(x)的圖象剛好為y=-2時，M取得最小值為2，此時-(a+4)=0，且-b=-2，即a=-4，b=2，故a+b=-2.故答案為：2，-2.【點睛】本題考查絕對值函數(shù)中的最值問題，考查“平口單峰”函數(shù)的構(gòu)造，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.題型7兩曲線間點的距離【例題7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若x、a、b為任意實數(shù)，若(a+1)2+(b-2)A．22 B．9 C．9-42【答案】C【分析】由題可知，問題可轉(zhuǎn)化為圓(x+1)2+(y-2)2=1上動點到函數(shù)y＝lnx圖像上動點距離的最小值，即求函數(shù)y＝lnx上動點到圓心(-1,2)距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)y＝lnx在(m,【詳解】由(a+1)2+(b-2)2=1(x-a)2+(lnx-b)即表示圓(x+1)2+(y-2)設(shè)(m,lnm)為y＝lnx上一點，且在(m,lnm)處的y＝lnx的切線與(m,ln即有l(wèi)nm+由f(m)=lnm+m2+m在m>0圓心與切點的距離為d=(1+1)由此可得(x-a)2+(故選：C．

【變式7-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a,b,c,d滿足a=eb-1，c=lnA．12 B．1 C．2【答案】D【分析】理解原代數(shù)式的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】∵a=e令b-1=x1,d-1=其幾何意義為點Ax1,e設(shè)fx=ex,g顯然fx和g則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點A與點B關(guān)于y=x對稱，不妨設(shè)Bx,lnxAB2=2x-ln當(dāng)x>1,h'x>0，即hx≥1>0，∴當(dāng)hxAB2的最小值為故選：D.【變式7-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=e2x+1的圖象與函數(shù)y=lnx+1+1A．2ln22 B．2ln【答案】A【分析】由于Pa,b為函數(shù)y=e2x+1圖象上任意一點，關(guān)于直線y=x+1的對稱點為Qb-1,a+1在y=lnx+1+12的圖象上，所以函數(shù)y=e2x+1的圖象與y=ln【詳解】設(shè)Pa,b為函數(shù)y=e2x+1圖象上任意一點，則b=e2a+1，P設(shè)u=b-1，v=a+1，則a=v-1，b=u+1，所以u+1=e所以v=lnu+1+12，即函數(shù)y=e2x+1的圖象與所以這兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x+1距離最小值的2倍.函數(shù)y=e2x+1在點P(x0,y0)處的切線斜率為所以點P到直線y=x+1距離的最小值為d=-所以這兩點之間距離的最小值為2d=2故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查函數(shù)圖象的對稱問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)y=e2x+1的圖象與y=lnx+1+12的1.（2022?浙江模擬）已知x∈[-3，3]，y∈R+，則【答案】21-66##【分析】分別作y=3-x2，y=9x的圖象，取點(x,3-x【詳解】解：分別作y=3-x2，y=分別取點(x,3-x2)，設(shè)P為y=x與y=9∴PO2=當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，取等號.故得的最小值為(OP-3故答案為：21-66

2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知兩曲線y=ex與A．若兩曲線只有一個交點，則這個交點的橫坐標(biāo)x∈B．若a=3，則兩曲線只有一條公切線C．若a=2，則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為eD．若a=1,P,Q分別是兩曲線上的點，則P,Q兩點距離的最小值為1【答案】C【分析】對于選項A，由公切線斜率相等，可得關(guān)系x0ex對于選項B，由h(x)=e對于選項C，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，解方程組可判斷；對于選項D，由圖象，或找到兩曲線斜率相等的切線，求出切線間的距離，可判斷.【詳解】若兩曲線只有一個交點，記交點為Ax0,且在此處的切線為公切線，所以ex0=1x設(shè)fx=xex，則x∈-1,+

如上圖，a=3時，設(shè)h(x)=e則h'(x)=ex-所以存在x0∈(1那么當(dāng)x∈(0,x0)時，h當(dāng)x∈(x0,+∞)且h(12)=則兩曲線有兩個公共點，故沒有公切線，所以B錯誤.a=2時，設(shè)t,et是曲線y=e所以在點t,et處的曲線y=ex切線方程為y-設(shè)s,lns+2是曲線y=ln所以在點s,lns+2處的切線方程為y-所以et=1s所以所以兩斜率分別是1和e，所以C正確.

a=1時，曲線y=ex的一條切線為y=x+1，y=ln兩切線間的距離為最小值22，所以D故選：C3.（2022?成都模擬）已知lnx1-x1-yA．105 B．255 C．【答案】B【分析】(x1-x2)2+(【詳解】設(shè)Ax1,點Ax1,y1在函數(shù)y=∴(x1-x2)2+由y=lnx-x+2，可得y'=1令1x-1=-12，得切點到直線x+2y-4-2ln2=0的距離∴(x1故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為函數(shù)f(x)=lnx+e(x>2)圖像上任意一點，點Q為圓A．1+e2C