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基于能量守恒原理的樹葉質(zhì)量模型

1古樹生長(zhǎng)與環(huán)境關(guān)聯(lián)樹是我們周圍常見的植物,幾乎影響著我們的生活。例如,我們坐在的桌子和枕頭是由木材制成的,吸入的氧氣是由樹葉釋放的。自古以來(lái),樹木就是人類的好朋友,為人類的生活生產(chǎn)提供了大量原料。地球上現(xiàn)有的樹木種類共100000多種,根據(jù)不同分類方法,可分為闊葉林、針葉林、灌木和喬木等類型。一般來(lái)說(shuō),一棵樹通常包括樹根、樹干、樹冠、樹枝與樹葉等部分。通過(guò)幾千年甚至上億年的進(jìn)化,為了適應(yīng)外界環(huán)境和獲取樹木正常生長(zhǎng)所需求的養(yǎng)料,樹的各個(gè)組成部分已形成“各司其責(zé)、互相關(guān)聯(lián)”的有機(jī)體。例如,樹冠不宜太小,否則光和作用所得養(yǎng)分不夠整棵樹的生長(zhǎng)需求;樹冠不宜太大,否則樹干支撐不住,因此,它們之間保持著一種固有平衡。同樣,樹的外形與樹葉的形狀是否也有特定內(nèi)在聯(lián)系呢?闊葉林為什么多生長(zhǎng)在熱帶區(qū)域,而針葉林卻在熱帶區(qū)域很少見?為尋找這些問(wèn)題的答案,本文通過(guò)建立樹葉質(zhì)量的預(yù)估模型,在質(zhì)量守恒和能量守恒原理下,定性地回答了上述問(wèn)題。目前,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究和探索,人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)樹葉面積與樹葉質(zhì)量之間的定量關(guān)系。最近,也發(fā)現(xiàn)了一些葉脈與環(huán)境之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系等。為方便討論,我們假設(shè):1)樹的外形是軸對(duì)稱的;樹干為錐體;同一棵樹的樹葉的大小、厚度和形狀都是相同的;2)樹葉和樹干的含水比例是相同的;樹葉完全與樹冠外表面吻合。2數(shù)學(xué)建模2.1基本模型2.1.1單片落葉松面積與樹所覆蓋地表面面積的關(guān)系如圖1所示,假設(shè)樹的高度為H,cm,樹冠的高度為Hc,cm,樹的根直徑為d0,cm,樹干的平均密度為ρ,kg/cm3。記樹的理論高度為Hi,cm,由于在理想情形下,樹干直徑均勻變化,可知:,其中d為高度為h(<H-Hc)處的樹干直徑。因此,該樹的理論高度為從而樹干的總質(zhì)量為進(jìn)而可以計(jì)算出樹冠的質(zhì)量為其中dc為樹冠底面樹干的半徑。設(shè)單片樹葉的外表面面積為As,cm2,厚度為z,cm,樹葉表面周長(zhǎng)為l,cm,由Fick法則可知,單位時(shí)間單位面積上樹葉表面與外界交換某物質(zhì)的質(zhì)量滿足方程,其中,ΔC表示該物質(zhì)的濃度差,D表示擴(kuò)散系數(shù),δ表示葉邊層厚度,它可由近似計(jì)算。因此該棵樹的樹葉在時(shí)間τ內(nèi)交換的某物質(zhì)質(zhì)量為其中Atotal表示樹葉總面積,在稍后給出計(jì)算表達(dá)式。同時(shí),樹葉的質(zhì)量也可表示為Mleaf=Atotalzρleaf,其中ρleaf表示樹葉的平均密度。因此由于樹葉與外界交換的物質(zhì)主要是水和二氧化碳,其中水的質(zhì)量占了絕大部分,同樣水的質(zhì)量占樹冠的質(zhì)量的70%~80%。因此有QMc=Mτ,其中Q為比例系數(shù)。從而,可得由(1)式我們可以獲得如下定性結(jié)論:1)在d0,H,Atotal,l,τ等參數(shù)固定時(shí),單片樹葉面積As增加時(shí),樹冠高度Hc減小,即在相同根直徑的條件下,單片樹葉面積與樹所覆蓋地表面面積正相關(guān)。2)對(duì)于單葉面積相當(dāng)?shù)臉浞N來(lái)說(shuō),葉面周長(zhǎng)l長(zhǎng)的樹種與外界交換同等數(shù)量的物質(zhì)所用時(shí)間τ短,即具有鋸齒葉邊的樹種生長(zhǎng)快,成材周期短。3)在其它參數(shù)保持不變的條件下,樹葉總面積Atotal隨時(shí)間參數(shù)τ減少而增加,即為了在短時(shí)間獲取自身生長(zhǎng)所需養(yǎng)分,只有使得樹葉重疊率最少,裸露面積最大化。2.1.2樹冠表面面積由上面討論可知,樹冠的形狀是在樹冠質(zhì)量一定的條件下,由外表面面積的最大化決定。由于對(duì)稱性,假設(shè)樹冠由橢圓繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而得,其截面的邊界曲線的參數(shù)方程為其中b表示樹冠的底面圓半徑。因此,樹冠的體積為因此下面計(jì)算樹冠外表面面積,由旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式可知:體積和面積公式表明:當(dāng)樹冠的體積不變時(shí),樹冠所覆蓋的地表面面積隨樹冠的高度增加而減少。進(jìn)而,由方程(1)和(2)式可知,單葉面積大的對(duì)應(yīng)樹冠的寬度b也增大,即單片樹葉的面積某種程度決定了樹的形狀。因此,第k層樹冠面的面積為記樹葉在第k層樹冠面的覆蓋率為λk,重疊率為βk,則樹葉的總面積為其中Ac=A0c。從而,樹葉的總質(zhì)量為2.1.3單位古樹聚積現(xiàn)假設(shè)樹冠質(zhì)量Mc均勻分布在樹冠所謂立體內(nèi),由于樹冠中含水量約為QMc,將這些水量從地面均勻地吸收到樹冠中所做的功為另一方面,由于樹葉的光合作用,根據(jù)Stephen-Boltzmann法則,單位樹葉面積在單位時(shí)間內(nèi)聚積的能量約為其中,αleaf為吸收率,σ=5.67×1012W·cm-2·K-4表示Stephen-Boltzmann常數(shù),T表示光照溫度。從而,所有樹葉在時(shí)間τT內(nèi)聚積的能量約為由能量守恒原理可知,Jtotal≈Wc,即由(4)式可以認(rèn)識(shí)到:在一些參數(shù)保持不變時(shí),若溫度T增加,則樹葉厚度z將增厚,因此,高緯度區(qū)域生長(zhǎng)的樹種,通常樹葉較薄;在低緯度區(qū)域,常見樹葉肥厚的樹種。2.2模型分析2.2.1葉片總質(zhì)量的計(jì)算根據(jù)上述推導(dǎo)結(jié)果,直接計(jì)算可知:2.2.2熱帶地區(qū),單位面積內(nèi)所含樹冠質(zhì)量的變化情況從能量平衡角度出發(fā),探索樹冠質(zhì)量與樹冠投影面積的比值的變化規(guī)律,定性分析樹葉的分布規(guī)律。由方程(4)以及可知,由上述兩式可知,單位面積內(nèi)所含樹冠質(zhì)量主要受外界溫度等參數(shù)確定,單位面積內(nèi)所含樹葉質(zhì)量主要受樹葉厚度及樹的形狀等參數(shù)影響。因此,在熱帶地區(qū),樹葉會(huì)稠密些,因而常見具有肥厚寬大樹葉的樹種—闊葉樹種,卻很難發(fā)現(xiàn)針葉樹種;同樣,在寒帶地區(qū),樹葉會(huì)稀疏些,因而常見針葉樹種,卻很難發(fā)現(xiàn)厚闊葉樹種。2.2.3葉片形狀分析由此可見,樹葉形狀參數(shù)隨樹冠的高寬比r的變化而變化,即樹葉的形狀在一定意義下反映了樹冠的形狀。3生長(zhǎng)、形質(zhì)及生長(zhǎng)結(jié)果在這一節(jié)中,考慮如下三類樹葉的質(zhì)量計(jì)算、樹葉形狀與樹的形狀的關(guān)系等問(wèn)題:精選14棵樹對(duì)所需參數(shù)進(jìn)行了測(cè)量,它們分屬(a)、(b)、(c)三類樹種,并且在單葉面積、單葉周長(zhǎng)以及葉厚等參數(shù)有顯著差別。具體測(cè)量結(jié)果如表1。記k為樹葉形狀參數(shù)理論值(由公式(5)計(jì)算)與觀測(cè)值(據(jù)表1計(jì)算)的比值。容易獲得樹葉質(zhì)量M(kg)、樹葉數(shù)量N(萬(wàn))、樹冠質(zhì)量Mc(kg)以及k的計(jì)算結(jié)果如表3。由數(shù)值計(jì)算結(jié)果可見:1)樹葉的質(zhì)量約為樹冠的質(zhì)量的;2)單葉質(zhì)量相當(dāng)、粗細(xì)相當(dāng)?shù)膬深悩?如樣本4與14),由于單葉面積減少,導(dǎo)致樹葉數(shù)增加,因而樹葉總質(zhì)量較重;3)因?yàn)?故從平均意義上說(shuō),樹葉形狀參數(shù)理論值與觀測(cè)值是一致的,即公式(5)具有一定現(xiàn)實(shí)意義。4生長(zhǎng)參數(shù)確定本文建立了基于規(guī)范假設(shè)下的預(yù)估樹葉質(zhì)量模型,該模型定性給出了熱帶樹林生長(zhǎng)速度快于寒帶樹林的原因;揭示了樹葉形狀與樹的形狀之間的內(nèi)在聯(lián)系,得到了兩類樹種單葉面積的表達(dá)式:As≈0.5rl以及As≈0.45rl。同時(shí),對(duì)于樹葉特征參數(shù)的計(jì)算,測(cè)量值結(jié)果與理論結(jié)果一致,說(shuō)明由模型導(dǎo)出的公式(5)符合實(shí)際。若將樹葉看成是均勻分層排列在樹冠上,且樹葉層數(shù)為nc,則第k(≤nc)層覆蓋面是由如下參數(shù)方程曲線繞樹干軸旋轉(zhuǎn)而成的:從而,樹葉總面積為其中。因此,樹葉的總面積可由樹冠投影面積

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