簡單線性規(guī)劃問題

332-1簡單線性規(guī)劃問題復(fù)習(xí)：1、直線的截距：注意：截距不是距離，有正負(fù)y=x+1y=-x+3橫截距：直線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)縱截距：直線與Y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)在同一坐標(biāo)系上作出下列直線:2y=0；2y=1；2y=-3；2y=4；2y=7YoyO問題1:有無最大（?。┲担繂栴}2:y有無最大（?。┲?？問題3:=2y有無最大（?。┲?？在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域55x=1x－4y+3=03x+5y－25=01ABCC(1,4.4)A(5,2)B(1,1)Oxy求=2y的最大值和最小值。所以最大值12最小值為3這是斜率為-2，縱截距為的直線【解析】1線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．2線性目標(biāo)函數(shù);關(guān)于、y的一次式=2y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)3線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題概念4可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（,y）叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化四個步驟：1。畫（畫可行域）三個轉(zhuǎn)化4。答（求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解）3。移（平移直線L。尋找使縱截距取得最值時的點(diǎn)）2。作（作=ABy=0時的直線L。）圖解法結(jié)論:線性約束條件可行域線性目標(biāo)函數(shù)=ABy一組平行線最優(yōu)解尋找平行線組的

最大（?。┛v截距0xy4348M（4，2）問題：求利潤=23y的最值0xy4348N（2，3）變式：求利潤=3y的最值問題：

設(shè)=2-y，式中變量，y滿足下列條件求的最大值和最小值yO這是斜率為2，縱截距為-的直線【解析】兩個結(jié)論：2、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義y前系數(shù)為正y前系數(shù)為負(fù)1、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得。5非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題問題：默寫兩點(diǎn)間的斜率公式:。問題：說出上述目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:。探究一：對形如

目標(biāo)函數(shù)的最值可行域內(nèi)的任一點(diǎn)，y與定點(diǎn)Ma，b的連線的斜率C例2：變量,滿足;

1求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的表達(dá)式；2求的取值范圍。123456789-1-1123456yx0-2-3（2）因為表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率由圖觀察可知：變式：變量

滿足

；(1)設(shè),求

的取值范圍；(2)設(shè),求

的取值范圍。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M問題1：默寫兩點(diǎn)間的距離公式:。

默寫點(diǎn)到直線間的距離公式：。問題2：說出上述目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:。探究二：對形如

目標(biāo)函數(shù)的最值可行域內(nèi)的任一點(diǎn)，y到定點(diǎn)Ma，b的距離的平方例1：變量

滿足(1)求可行域內(nèi)的點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離的平方Z的表達(dá)式；(2)求Z的取值范圍。123456789-1-1123456yx0-2-3123456789-1-1123456yx0-2-3解:畫出可行域,如圖所示表示可行域內(nèi)的點(diǎn)，y到定點(diǎn)O0，0距離的平方所以，由圖觀察可知求出交點(diǎn)坐標(biāo)變式：設(shè)

滿足;

(1),求

的最小值；(2),求

的最值。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M【例2】解作出可行域如圖，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A1,3、B3,1、C7,9．規(guī)律方法非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的求解方法1非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，諸如兩點(diǎn)間的距離或平方，點(diǎn)到直線的距離，過已知兩點(diǎn)的直線斜率等，充分利用數(shù)形結(jié)合知識解題，能起到事半功倍的效果．2常見代數(shù)式的幾何意義主要有：線性規(guī)劃中最優(yōu)整數(shù)解的選取例3、要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型第一種鋼板第二種鋼板A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格212131今需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。解：設(shè)需截第一種鋼板張、第二種鋼板y張，可得x0y2y=153y=272y=18y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)B3,9和C4,8且和原點(diǎn)距離最近的直線是y=12，它們是最優(yōu)解作出一組平行直線=y，目標(biāo)函數(shù)=yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時=y=114,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線y=114繼續(xù)向上平移,2y=153y=272y=18y=0直線y=12經(jīng)過的整點(diǎn)是B3,9和C4,8，它們是最優(yōu)解作出一組平行直線=y，目標(biāo)函數(shù)=yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時=y=114,y=12y=12解得交點(diǎn)B,C的坐標(biāo)B3,9和C4,8調(diào)整優(yōu)值法2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*x0y15

練習(xí):例4某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t．甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少（精確到1t），能使利潤總額達(dá)到最大？分析：這是線性規(guī)劃的理論和方法的應(yīng)用中的第一類問題．即在人力、物力資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多任務(wù)．解題一般步驟為：①設(shè)出所求的未知數(shù)；②列出約束條件③建立目標(biāo)函數(shù)；④作出可行域；⑤運(yùn)用圖解法求出最優(yōu)解．依據(jù)題中已知條件，列表如下：

甲產(chǎn)品（1t）乙產(chǎn)品（1t）資源限額（t）A種礦石（t）104300B種礦石（t）54200煤（t）49360利潤（元）6001000

資源消耗品產(chǎn)品解：生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為t,yt,利潤總額為，由題意可得已知變量與y滿足約束條件利用圖解法可求出最大值此時，例5某公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)280t水泥的任務(wù)，已知該公司有6輛A型卡車和B型卡車，已知A型卡車每天每輛的運(yùn)載量為30t，成本費(fèi)為09千元，B型卡車每天每輛的運(yùn)載量為40t，成本費(fèi)為1千元（1）假如你是公司的調(diào)度員，請你按要求設(shè)計出公司每天的派車方案；（2）設(shè)每天派出A型卡車輛，B型卡車y輛，公司每天所花成本費(fèi)千元，寫出、y應(yīng)滿足的條件以及與、y之間的函數(shù)關(guān)系式；3如果你是公司的經(jīng)理，為使公司所花的成本費(fèi)最小，每天應(yīng)派出A型卡車、B型卡車各為多少輛？解：由已知條件可知，=y式中與y變量應(yīng)滿足：34y≥280≤≤60≤y≤4從而求出的最小值