第4節(jié)等式性質與不等式的性質市賽一等獎

第4節(jié)等式性質與不等式的性質考試要求梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質1兩個實數(shù)比較大小的方法知識梳理>＝<>＝<2等式的性質1對稱性：若a＝b，則b＝a2傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c3可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c4可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd3不等式的性質1對稱性：a＞b?b＜a；2傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；3可加性：a＞b?a＋c____b＋c；a＞b，c＞d?a＋c____b＋d；4可乘性：a＞b，c＞0?ac____bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac____bd；5可乘方：a＞b＞0?an____bnn∈N，n≥1；＞＞＞＞＞＞診斷自測1判斷下列結論正誤在括號內打“√”或“×”答案1×2×3×4√解析1由不等式的性質，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0時，a＞b?ac2＞bc22由等式的性質，a＝b?ac＝bc；反之，c＝0時，ac＝bc?a＝b2老教材必修5P74例1改編若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有答案B答案＞42020·廈門期末實數(shù)，y滿足>y，則下列不等式成立的是解析由>y，得－<－y，所以2－<2－y，故選B答案B52020·廣東執(zhí)信中學月考若a，b∈R，且a＞|b|，則解析由a＞|b|可知，當b≥0時，a＞b；當b＜0時，a＞－b，則a＞0＞b，綜上可知，當a＞|b|時，a＞b恒成立，故選B答案B6多選題2020·商丘九校聯(lián)考已知＞y＞，＋y＋＝0，則下列不等式不成立的是 ＞y ＞ ＞y D|y|＞|y| 解析因為＞y＞，＋y＋＝0，所以＞0，＜0，y的符號無法確定，對于A，因為＞，若y＜0，則y＜0＜y，故A不正確；對于B，因為y＞，＞0，所以y＞，故B正確；對于C，因為＞y，＜0，所以＜y，故C不正確；對于D，因為＞，當|y|＝0時，|y|＝|y|，故D不正確 答案ACD考點一比較兩個數(shù)式的大小當q>0且q≠1時，由f′>0，得0<<e；由f′<0，得>e∴f在0，e為增函數(shù)，在e，＋∞為減函數(shù)∴f3>f4>f5，即a>b>c規(guī)律方法1作差法一般步驟：1作差；2變形；3定號；4結論其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差2作商法一般步驟：1作商；2變形；3判斷商與1的大??；4結論3函數(shù)的單調性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調性得出大小關系4特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小解析1a3＋b3－a2b＋ab2＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2a－b－b2a－b＝a－ba2－b2＝a－b2a＋b，∵a>0，b>0且a≠b，∴a－b2>0，a＋b>0，∴a3＋b3－a2b－ab2>0，即a3＋b3>a2b＋ab2答案1＞2A考點二不等式的性質【例2】1多選題設b＞a＞0，c∈R，則下列不等式中正確的是顯然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②錯誤；因為lna2＝ln－12＝0，lnb2＝ln－22＝ln4＞0，所以④錯誤綜上所述，可排除A，B，D④中，因為b＜a＜0，根據(jù)y＝2在－∞，0上為減函數(shù)，可得b2＞a2＞0，而y＝ln在定義域0，＋∞上為增函數(shù)，所以lnb2＞lna2，故④錯誤由以上分析，知①③正確答案1ABC2C②中，因為b＜a＜0，所以－b＞－a＞0故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②錯誤；規(guī)律方法解決此類題目常用的三種方法：1直接利用不等式的性質逐個驗證；2利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；3利用函數(shù)的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調性進行判斷【訓練2】12020·綿陽診斷改編已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列選項中一定成立的是 ＞ac Bcb－a＜0 4＜ab4 a－c＞0 22019·武漢聯(lián)考下列命題中正確的是答案1A2D解析1因為a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜，因為b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正確；對于B，因為b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以cb－a＞0，故B不正確；對于C，因為c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正確；對于D，因為ac＜0，a－c＞0，所以aca－c＜0，故D不正確，故選A角度1不等式在實際問題中的應用【例3－1】2017·北京卷某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件： 1男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)； 2女學生人數(shù)多于教師人數(shù)； 3教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù) ①若教師人數(shù)為4，則女學生人數(shù)的最大值為________ ②該小組人數(shù)的最小值為________考點三不等式及其性質的應用多維探究解析令男學生、女學生、教師人數(shù)分別為，y，，且2>>y>，①若教師人數(shù)為4，則4<y<<8，當＝7時，y取得最大值6②當＝1時，1＝<y<<2，不滿足條件；當＝2時，2＝<y<<4，不滿足條件；當＝3時，3＝<y<<6，y＝4，＝5，滿足條件所以該小組人數(shù)的最小值為3＋4＋5＝12答案①6②12【例3－2】經(jīng)典母題已知－1<<4，2<y<3，則－y的取值范圍是________，3＋2y的取值范圍是________ 解析因為－1<<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<－y<2由－1<<4，2<y<3，得－3<3<12，4<2y<6，所以1<3＋2y<18 答案－4，21，18角度2利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍典例遷移【遷移1】將本例條件改為“－1<<y<3”，求－y的取值范圍解因為－1<<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，－4<－y<4①又因為<y，所以－y<0，②由①②得－4<－y<0，故－y的取值范圍是－4，0【遷移2】將本例條件改為“已知－1<－y<4，2<＋y<3”，求3＋2y的取值范圍解設3＋2y＝λ－y＋μ＋y，即3＋2y＝λ＋μ＋μ－λy，∵－1<－y<4，2<＋y<3，規(guī)律方法1解決有關不等關系的實際問題，應抓住關鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應的方程或不等式模型2利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍【訓練3】1已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：設用甲