直線、平面垂直的判定及其性質

直線、平面垂直的

判定及其性質23主要內容232平面與平面垂直的判定233直線與平面垂直的性質231直線與平面垂直的判定234平面與平面垂直的性質直線與平面垂直的

判定231直線和平面的位置關系復習1a

a

Aa

直線在平面內直線與平面相交直線與平面平行線面垂直大橋的橋柱與水面的位置關系思考2：旗桿與地面中的直線的位置關系如何？思考1：旗桿與地面的位置關系思考3：將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關系呈什么狀態(tài)？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關系如何？AB思考4：一條直線與一平面垂直的特征是什么？特征：直線垂直于平面內的任意一條直線．BAC直線和平面垂直的定義如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直平面的垂線直線

l的垂面垂足平面內任意一條直線思考5：如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？αl探究：如圖，準備一塊三角形的紙片，做一個試驗：過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC于桌面接觸）．（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直．思考6：有人說，折痕AD所在直線與桌面所在平面上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α，你同意他的說法嗎？思考7：如圖，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系不變，AD⊥CD，AD⊥BD．由此你能得到什么結論？當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面α垂直．線面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：證明直線與平面垂直．直線與平面垂直直線與直線垂直思想：la^練習：下列條件中可以證明的有例1如圖，已知a//b,a⊥α，求證b⊥α∴a⊥m,a⊥n

證明：在平面α內作直線m，n，且m∩n=P∵a//b∴b⊥m,b⊥n

∴b⊥α例2已知：正方體中，AC是面對角線，BD'是與AC異面的體對角線求證：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′

中，PA⊥平面ABC，B⊥BC，PA=AB，D為PB的中點，求證：AD⊥PCPABCD探究：如圖，直四棱柱ABCD-A'B'C'D中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A'C⊥B'D'？答：底面四邊形ABCD對角線相互垂直．是矩形,PA⊥平面AC,連PB,PC,PD,圖中直角三角形的個數(shù)有個練習1如圖,M是菱形ABCD在平面外一點,滿足MA=MC，求證:AC⊥平面BDM4AVBCK練習3如圖,在三棱錐V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC,是AC的中點求證：AC⊥平面VB．⑴若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VB的位置關系．AVBCEFK變式：⑵在⑴的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，對嗎？直線與平面垂直的判定定理可簡述為“線線垂直，則線面垂直”小結通過直線間的垂直，推證直線與平面垂直，即將直線與平面的垂直關系（空間問題）轉化為直線與直線的垂直關系（平面問題）思想方法直線與平面所成的角概念1：當直線與平面相交時，它們可能垂直，也可能不垂直，如果一條直線和一個平面相交但不垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足αlP斜線斜足概念2：過斜線上斜足外一點向平面引垂線，在平面α內的射影有幾條？αlPAB思考1：過一點作一個平面的斜線有幾條？過一點作一個平面的垂線有幾條？思考2:兩條平行直線、相交直線、異面直線在同一個平面內的射影可能是哪些圖形？斜線PA與平面所成的角為PAB平面的斜線αPlA斜足A斜線PA在平面內的射影垂足BB平面的垂線思考3：前面討論了直線與平面垂直的問題，那么直線與平面不垂直時又是如何來度量的呢？概念3：線面角1斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2平面的垂線與平面所成的角為直角3一條直線與平面平行或在平面內，則這條直線與平面所成的角為00角線面角的取值范圍是1中（1）求直線A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角D1ABA1CB1C1DO例2如圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面，垂足為O，直線BC在平面內，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角ABCOαD小結1直線與平面的位置關系可以用直線與平面所成的角來度量線面垂直和線面平行是特殊情況2斜線與平面所成的角是該斜線與平面內任意直線所成角中最小的角3求一斜線與平面所成的角的關鍵是找出該斜線在平面內的射影補充材料：三垂線定理及逆定理aAPoα回顧：什么叫平面的斜線、垂線、射影？

a平面的斜線αPlA斜足A斜線PA在平面內的射影垂足BB平面的垂線性質定理判定定理性質定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAOPaAoα1、三垂線定理描述的是PO斜線、AO射影、a直線之間的垂直關系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理。對三垂線定理的說明：三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PaAoαPA⊥αaα∪①PA⊥aPO⊥a②a⊥平面PAOAO平面PAO∪a⊥AO③PCBA是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得PC⊥BC例2如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC內，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于點A且都在平面AB1C內∴BD1⊥平面AB1C證明：連結BD，請同學思考：如何證明D1B⊥AB1連結A1BAH為PA在平面ABC內的射影∴BC⊥AH在Rt△PBC中，PE=------=----在Rt△APE中，AE=PA2+PE2=9+---=----4×642+6212131441322922913、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求點P到平面ABC的距離。APCBEH解:作PH⊥平面ABC，連AH交BC于E，連PE∵PA、PB、PC兩兩垂直∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC三垂線（逆）定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影（斜線）垂直，那么它也和這條斜線（斜線的射影）垂直。小結平面與平面垂直的判定（1）232水平面攔洪壩赤道平面衛(wèi)星軌道平面概念直線上的一點將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面半平面半平面射線射線從一點出發(fā)的兩條射線，構成平面角記作AOBABO同樣,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面

m記為：二面角-m-二面角的圖示二面角的記號（1）以直線為棱，以為半平面的二面角記為：（2）以直線AB為棱，以為半平面的二面角記為：AB思考14兩個相交平面有幾個二面角？如何用平面角來表示二面角的大小？探究lαβOABlαβOAB二面角-l-二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角∠AOB即為二面角α-AB-β的二面角的平面角的作法：1定義法：根據(jù)定義作出來2作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到3應用三垂線定理：應用三垂線定理或其逆定理作出來oABoAoABB思考15如圖，過二面角α-l-β一個面內一點A，作另一個面的垂線，垂足為B，過點B作棱的垂線，垂足為O，連結AO，則∠AOB是二面角的平面角嗎？為什么？ABOlαβ注意：二面角的平面角必須滿足：（1）角的頂點在棱上（2）角的兩邊分別在兩個面內（3）角的邊都要垂直于二面角的棱二面角的取值范圍0度角180度角lαβ00~1800例6在正方體中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小端點B1C1D1A1ABCDMN例7在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值AA1BCDB1C1D1O例8如圖所示，河堤斜面與水平面所成二面角為300，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為450，沿這條直道從堤腳C向上行走10m到達E處，此時人升高了多少m？ABCDEOF平面與平面垂直的判定（2）思考:空間兩條直線垂直是怎樣定義的？直線與平面垂直是怎樣定義的？思考:什么叫直二面角？如果兩個相交平面所成的四個二面角中，有一個是直二面角，那么其他三個二面角的大小如何？如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直什么叫兩個平面的垂直呢？αβ記為思考:根據(jù)定義判斷兩個平面是否垂直需要解決什么問題？思考:如圖，∠AOB為直二面角α-l-β的平面角，那么直線AO與平面α的位置關系如何？αβABOl思考：在二面角α-l-β中，直線m在平面β內，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角嗎？αβmla平面與平面垂直的判定定理αβaA文字語言：如果一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．你能寫出符號語言嗎？例9如圖，⊙O在平面α內，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBCPABCO證明:請問哪些平面互相垂直的,為什么探究：ABCD例12如圖，已知于點A，于點B，求證：ABCαβla線面垂直的性質平面與平面垂直的性質234復習αβlαβlγ兩個平面相互垂直三個平面兩兩垂直兩個平面垂直的判定定理：αβl如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直．1黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？αβ思考？2如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，其交線為AD，直線A1A，D1D都在平面A1ADD1內，且都與交線AD垂直，這兩條直線與平面ABCD垂直嗎？AA1BCDB1C1D13.設，,垂足為B，那么直線AB與平面

的位置關系如何？為什么？αβABDCE思考？兩個平面垂直的性質性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直αβaAl若α⊥β，過平面α內一點A作平面β的垂線a，那么垂線a與平面具有什么樣的位置關系BαβA思考？B’反證法證明點B在兩個平面的交線上注意：過一點只能作一條直線垂直于已知平面結論BαβA如果兩個平面互相垂直，那么經過一個平面內一點且垂直于另一個平面的直線，必在這個平面內αβAba解：設l在α內作直線b⊥l先獨立思考，可以和同桌互換意見，規(guī)范語言，寫出證明過程。初步應用練習：1、下列命題中錯誤的是（）A如果平面⊥平面,那么平面內一定存在直線平行于平面

B如果平面⊥平面,那么平面內所有直線都垂直于平面

C如果平面不垂直于平面，則平面內一定不存在直線垂直于平面

D如果平面、都垂直于平面M，且與交于直線a，則