第2章 工業(yè)機器人的運動學基礎《工業(yè)機器人》教學課件

《工業(yè)機器人》?精品課件合集第二章工業(yè)機器人的運動學基礎

2.1齊次坐標變換基礎2.2機械手位姿分析2.3機械手速度分析

機器人，特別是其中最有代表性的關節(jié)型機器人，實質上是由一系列關節(jié)連接而成的空間連桿開式鏈機構。要研究機器人，就必須對其運動學和動力學有一個基本的了解。本章主要討論機器人運動學的基本問題，引入齊次坐標、齊次變換，進行機器人的位姿分析，介紹機器人正向與逆向運動學的基本知識。2.1齊次坐標變換基礎

齊次坐標的定義:齊次坐標是指在原有三維坐標的基礎上，增加一維坐標而形成四維坐標。在選定的直角坐標系{A}中，空間任一點P的位置可以用3

1的位置矢量AP表示，其左上標表示選定的坐標系{A}，此時有

AP

=

[PX

PY

PZ]T(2.1)式中：PX、PY、PZ是點P在坐標系{A}中的三個位置坐標分量。

1.齊次坐標定義2.齊次坐標表示將一個n維空間的點用n

+

1維坐標表示，則該n

+

1維坐標即為n維坐標的齊次坐標。一般情況下w稱為該齊次坐標中的比例因子，當取w=1時，其表示方法稱為齊次坐標的規(guī)格化形式，即

P

=

[PX

PY

PZ

1]T (2.2)當w不為1時，則相當于將該列陣中各元素同時乘以一個非零的比例因子w，仍表示同一點P，即

P

=

[a

bc

w]T

(2.3)式中：a

=

wPX；b

=

wPY；c

=

wPZ。2.齊次坐標表示將一個n維空間的點用n

+

1維坐標表示，則該n

+

1維坐標即為n維坐標的齊次坐標。一般情況下w稱為該齊次坐標中的比例因子，當取w=1時，其表示方法稱為齊次坐標的規(guī)格化形式，即

P

=

[PX

PY

PZ

1]T (2.2)當w不為1時，則相當于將該列陣中各元素同時乘以一個非零的比例因子w，仍表示同一點P，即

P

=

[a

bc

w]T

(2.3)式中：a

=

wPX；b

=

wPY；c

=

wPZ。例如：

P(3,4,5)可表示為

P=[3451]T=[68102]T=[-3-4-5-1]T

增加一個比例因子w是為了方便坐標變換中的矩陣運算。2.1.1齊次坐標平移變換1.兩個坐標系之間的平移變換圖2.1如圖

2.1

所示，坐標系{A}和{B}的三個坐標軸相互平行，指向也一致，具有相同的方位，但是{A}和{B}的坐標原點不重合?？梢杂梦恢檬噶?/p>

來表示{B}相對于{A}的位置?？臻g某一個確定點P在{A}坐標系中對應表示為

，在{B}坐標系中對應表示為

，容易知道兩者之間的矢量關系如式2.4：

（2.4）2.齊次坐標平移變換矩陣對于{A}坐標系中點對應的齊次坐標為對于{B}坐標系中點對應的齊次坐標為

兩者之間的變化關系可以用齊次變換矩陣來描述如式2.5。（2.5）其中

表示從{B}到{A}的齊次平移變換矩陣對于空間某一由齊次坐標表示的某點，用進行平移變換后為（2.6）3.齊次平移變換應用舉例【例2.1】

如圖2.2所示的楔塊Q，在坐標系中的位置可用其上8個特征點完全確定，表示為圖2.2楔塊坐標變換①將楔塊沿向量進行平移，求平移后的楔塊Q在坐標系xyz中的表示②將坐標系

xyz

相對自身平移一個向量得到新坐標系

x

y

z

，求楔塊

Q

在坐標系x

y

z

中的表示【解】

①假想在楔塊上固定了某坐標系，將楔塊進行平移，即對該坐標系進行平移，顯然楔塊的特征點在平移后坐標系中的表示仍然為Q，而其在原坐標系xyz中的表示為②平移前的坐標系

xyz

相對于平移后的坐標系沿著向量反向移動，于是有2.1.2齊次坐標旋轉變換1.兩個坐標系之間的旋轉變換坐標系{A}和{B}具有相同的坐標原點，但坐標軸的方位不相同，如圖2.3所示。圖2.3坐標旋轉變換空間某一確定點P在{A}和{B}中的描述分別為和，不難理解，二者之間的關系仍然可用齊次坐標矩陣變換的形式表示：（2.7）稱為從坐標系{B}到坐標系{A}的齊次旋轉變換矩陣。稱為從

B

坐標系到A坐標系的旋轉矩陣。如何進行求解？具體分析如下.如圖2.4所示，向量在坐標軸上的投影，分別為：，于是有：圖2.4坐標旋轉變換分析在上的投影分別為。由和矢量投影定理有同理有于是有(2.8)令有把在{B}坐標系中的投影用{A}坐標系的投影來標記，與上上面過程類似，有（2.5）于是令有顯然與互為逆矩陣，觀察發(fā)現與同時互為轉置矩陣,與為正交矩陣。旋轉矩陣的幾何意義1）

可以表示固定于剛體上的坐標系{B}對參考坐標的姿態(tài)矩陣2）可以作為坐標變換矩陣，它使得坐標系{B}中的點的坐標變換成{A}中點的坐標3）可作為算子，將{B}中的矢量或物體變換到{A}中

補充思考題：問J1,J2,J0三個矩陣的行列式是否相等？2.繞坐標軸的旋轉變換繞x,y,z軸的旋轉變換稱為基本旋轉變換：任何旋轉變換可以由有限個基本旋轉變換合成得到。如圖

2.5

所示，坐標系{B}相對于坐標系{A}繞坐標原點旋轉到某一個位置，可以通過繞{A}坐標系中的xyz三個坐標軸的旋轉運動得到。假設坐標系{B}是坐標系{A}繞自身的z軸旋轉而得，對于空間某一確定點

P，其在兩個坐標系中的坐標關系可以確定為圖2.5坐標系旋轉所以式中，符號s，c分別代表sin，cos的簡寫，以后同于是可得繞（x或y或z）的旋轉算子如下。（2.9）3.齊次旋轉變換應用舉例【例

2.2】

如圖2.6所示楔塊Q，在坐標系xyz空間的位置可以用其上8個特征點完全確定，表示為圖2.6楔形塊旋轉變換分析①將楔塊繞坐標系xyz的z軸旋轉60

，求旋轉后的8個特征點在xyz中的表示②坐標系x

y

z

是坐標系xyz相對自身z軸逆時針旋轉

60

得到的新坐標系，現求楔塊的8個特征點在坐標系x

y

z

中的表示【解】

①假想在楔塊上固定了某坐標系，對楔塊進行旋轉，并對該坐標系進行旋轉，顯然楔塊的特征點Q在該旋轉后的坐標系中的表示仍然為Q，在原坐標系xyz中的表示為②旋轉前的坐標系xyz相對于平移后的坐標系x

y

z

繞z

軸反向旋轉60

，于是有2.1.3齊次坐標復合變換如圖

2.7

所示，坐標系{C}是由坐標系{A}平移變換得到的，坐標系{B}是由坐標系{C}旋轉變換得到的，那么從坐標系{A}到坐標系{C}之間的變換關系既有平移又有旋轉，這樣的變換稱為復合變換。圖2.7坐標系復合變換1.復合變換的齊次變換矩陣圖2.7中坐標系{A}經過復合變換到坐標系{B}的過程，可以分成兩步來實現：首先坐標系{A}經過平移變換到坐標系{C}，然后坐標系{C}繞自身坐標原點旋轉變換到坐標系{B}。設空間某一確定點P在{A}，{B}，{C}坐標系中的描述分別為，于是有（2.10）（2.11）由式（2.10）和（2.11）可得（2.12）其中，稱為從坐標系{C}到坐標系{A}的復合變換矩陣。2.復合變換的算子左右乘規(guī)則（1）算子右乘規(guī)則。復合變換是一系列的平移和旋轉變換的過程，如果在這一系列變換中，每次變換都是相對于上一次變換后的坐標系來進行的，那么適用于算子右乘規(guī)則，舉例說明如下：如圖2.8所示，某動坐標系初始時與坐標系{A}重合，該動坐標系相對于坐標系{A}經過旋轉或平移變換后與坐標系{B}重合，該動坐標系再相對于坐標系{B}經過旋轉或平移變換后與坐標系{C}重合，那么對于空間某一確定點P在{A}{B}{C}中的關系描述如下：圖2.8算子右乘分析第一次變換是從坐標系{A}運動到坐標系{B}的變換，其變換矩陣為，有第二次變換是將坐標系{B}相對于坐標系{B}自身運動到坐標系{C}的位姿，其變換矩陣為，有結合上面兩式有（2.13）從式（2.14）可以看出，該復合變換中后發(fā)生的變換算子乘在先發(fā)生的變換算子的右側，稱為算子右乘規(guī)則。（2）算子左乘規(guī)則。如果在這一系列變換中，每次變換都是相對于同一個固定的坐標系來進行的，那么適用于算子左乘規(guī)則，舉例說明如下：如圖

2.9

所示，某動坐標系初始時與坐標系{A}重合，該動坐標系相對于坐標系

{A}

經過旋轉或平移變換后與坐標系{B}重合，該動坐標系再相對于坐標系{A}經過旋轉或平移變換T后與坐標系{C}重合，那么對于動坐標系中某一確定點P在{A}{B}{C}中的關系描述如下：圖2.9算子左乘分析第一次變換是從坐標系{A}到坐標系{B}的變換，其變換矩陣為，第二次變換是將坐標系{B}相對于坐標系{A}變換到坐標系{C}的位姿，并同時將坐標系{B}中某點變換到了，設第二次變換矩陣為T，T是一個的齊次變換矩陣（T不等于，因為變換前坐標系{B}與{A}不重合），于是有因為，故有（2.14）從以上推導過程可以看出，該復合變換中后發(fā)生的變換算子

T

乘在先發(fā)生的變換算子的左側，稱為算子左乘規(guī)則。3.復合變換應用舉例【例2.3】

已知坐標系中點U的位置矢量U＝[8431]T，將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，如圖2.10所示，求旋轉變換后所得的點W?！窘狻?/p>

根據算子左乘規(guī)則有圖2.10復合應用舉例【例

2.4】

設某動坐標系固定在機械手的手腕上，并隨機械手運動，初始時該動坐標系到定坐標系的變換矩陣為①手臂繞Z0軸旋轉＋90°，動坐標系到達G2；②動坐標系繞Z1軸旋轉＋90°，到達G3。寫出手部坐標系{G2}及{G3}的矩陣表達式?！窘狻?/p>

①適用于算子左乘法則：②手部繞手腕軸旋轉是相對于動坐標系變換，所以適用于算子右乘法則：2.2機械手位姿分析位姿確定方法的定義：在該物體上建立某一坐標系，該坐標系的坐標原點用來確定物體的位置，該坐標系相對于固定坐標系的方位用來確定該物體的姿態(tài)的空間位置和姿態(tài)的確定方法。機械手位姿分析的目的是確定機械手末端執(zhí)行器的空間位置與各連桿之間空間位置的關系，是機械手空間位置分析的基礎。圖2.11所示的機械手是由轉動和移動關節(jié)副連接而成的多連桿機構圖2.11機械手位姿分析2.2.1機械手連桿坐標系的建立對于不同的機械手的各連桿之間位姿關系的分析很難找到一個通用的分析方法，為了解決這個問題，Denauit和Hartenbery在1956年提出了D-H廣義連桿以及相應坐標系的分析方法，該方法得到了廣泛的應用，在本節(jié)將對其進行具體介紹。2.2.1機械手連桿坐標系的建立對于不同的機械手的各連桿之間位姿關系的分析很難找到一個通用的分析方法，為了解決這個問題，Denauit和Hartenbery在1956年提出了D-H廣義連桿以及相應坐標系的分析方法，該方法得到了廣泛的應用，在本節(jié)將對其進行具體介紹。1.機械手連桿、關節(jié)和坐標系的編號機械手的各個連桿通過移動副或轉動副連接在一起，從基座到機械手末端執(zhí)行器需要對連桿、關節(jié)和連桿坐標系進行編號，基座的編號為0，末端執(zhí)行器的編號為n，連桿的編號是從1到n－1遞增的中間某個數i，每個連桿有前后兩個關節(jié)，前面一個關節(jié)軸線編號和連桿編號一致。如圖2.12所示：連桿i－1的前一個關節(jié)軸線編號為i－1，末端執(zhí)行器的前一個關節(jié)編號為n－1，連桿以及末端執(zhí)行器的位姿確定是由固定在其上的坐標系來確定的，按照D-H連桿坐標系的確定方法，該坐標系的z軸規(guī)定為通過關節(jié)軸線，規(guī)定該坐標系的編號與關節(jié)軸線編號一致。圖2.12機械手坐標系確定2.機械手連桿坐標系的D-H方法（1）連桿扭角和廣義連桿長度的定義。的長度稱為連桿

i－1的廣義連桿長度。公垂線夾角稱為連桿i－1的扭角。隨連桿形狀的確定而確定的，二者均是常量。圖2.13連桿扭角和長度定義（2）相鄰連桿間的夾角和距離的定義。夾角：連桿i－1的廣義長度和連桿的廣義長度之間存在的夾角。描述了相鄰兩個連桿間的角位移。距離和之間存在的距離。：描述了相鄰兩個連桿間的角位移。當連桿i是轉動關節(jié)時是變量，是常量，而當連桿i為移動關節(jié)時是變量，是常量。圖2.14連桿夾角和距離的定義（3）D-H連桿坐標系的確定。如圖2.15所示，連桿i－1的坐標系的z軸在關節(jié)i－1的軸線上，連桿i－1的坐標原點是公垂線和軸的垂足，坐標系的x軸沿著公垂線的方向指向軸線i。同理，連桿i的坐標系的z軸在關節(jié)i的軸線上，坐標原點為軸線i與軸線的公垂線的垂足，沿的方向。于是連桿

i－1

和連桿

i

之間的位置變換關系就可以完全通過坐標系與坐標系之間的變換關系來確定。圖2.15D-H連桿坐標系的確定對于基座而言，其坐標系的確定應該滿足這樣的原則：盡量使得從基座坐標系變換到連桿1的坐標系的過程計算越簡單越好，于是基座坐標系的確定應該盡量與連桿1的坐標系之間的位置常量（廣義長度、扭角、夾角或者距離之一）為零的個數越多越好，如圖2.16所示。圖2.16機座坐標系的確定（一）將圖2.16中基座的軸線Z調整為圖2.17所示。與重合之后，使得基座與連桿1的關節(jié)

1

之間的廣義連桿長度以及與之間的扭角均為零，如果連桿

1

是轉動關節(jié)，這時基座與連桿

1

之間的距離為常量，就讓連桿

1

的坐標原點與基座坐標原點重合使得；如果連桿1是移動關節(jié)，就將基座的X軸與連桿1的X軸（圖2.17中的方向）的方向一致，使得轉動常量圖2.17機座坐標系的確定（二）如圖2.18所示，對于最后一個關節(jié)（末端執(zhí)行器的關節(jié)）坐標系的確定，為便于計算，如果是轉動關節(jié)，就讓其坐標原點在前一個關節(jié)的X軸上，這樣使得常量d為零；如果是移動關節(jié)，就讓其坐標系的X軸與前一關節(jié)的X軸線平行，使得常量圖2.18末關節(jié)坐標系的確定對于末端執(zhí)行器而言，如果單獨指定了末端執(zhí)行器的坐標系，則需要確定末端執(zhí)行器與最后一個關節(jié)坐標系之間的變換關系，那么最后一個關節(jié)的坐標系的X

軸須是末端執(zhí)行器Z軸與最后一個關節(jié)軸線的公垂線。末端執(zhí)行器坐標系的確定方法如下：機器人手部的位置和姿態(tài)也可以用固連于手部的坐標系{B}的位姿來表示，如圖2.19所示。坐標系{B}可以這樣來確定：取手部的中心點為原點

OB；關節(jié)軸為

ZB軸，ZB

軸的單位方向矢量a稱為接近矢量，指向朝外；兩手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量O稱為姿態(tài)矢量，指向可任意選定；XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法向矢量，且n＝o×a，指向符合右手法則。圖2.19末端執(zhí)行器坐標系的確定3.相鄰兩關節(jié)軸線相交或者重合的情況如果某連桿的相鄰關節(jié)軸線相交，如圖

2.20

所示，和相交，的方向應該是向的右手螺旋方向，如果不采用這個方向，約定扭角取負值。圖2.20軸線相交或者重合時坐標軸的確定當相鄰兩關節(jié)軸線重合或平行時，公垂線x軸線的方向和坐標原點由下一個關節(jié)的軸線的坐標原點來確定，如圖2.21所示。連桿的坐標系原點和x軸由連桿的坐標原點到的垂線和垂足來確定。圖2.21軸線平行時坐標軸的確定2.2.2機械手連桿坐標變換機械手連桿坐標變換：代表從一個連桿的位姿變換到另外一個連桿的位姿的過程。采用了D-H連桿坐標系的構建方法相鄰連桿坐標系的變換如下：如圖2.22所示，連桿和i的坐標系分別為和設空間有某一點P在坐標系中描述為，在坐標系i中描述為，那么二者的關系為；其中是從

i

坐標系到坐標系的變換矩陣。變換矩陣的求解過程如下：有某一個動坐標系與坐標系重合，動坐標系繞自身X軸旋轉到達坐標系{R}，動坐標系再沿自身

x

軸移動距離，到達圖2.22中所示坐標系{q}，動坐標系再繞自身z軸轉動角度到達坐標系{P}，動坐標系再沿自身z軸移動距離最終到達坐標系這個變換過程中動坐標系始終是相對于自身坐標系在做旋轉或者平移運動，根據算子右乘法則可以得到式（2.15）的變換關系：圖2.22相鄰連桿坐標變換（2.15）其中表示繞x軸旋轉的變換為（2.16）表示沿x軸移動距離的變換為（2.17）表示繞z軸旋轉的變換為（2.18）表示沿z軸移動距離的變換為（2.19）由式（2.15）～（2.19）可得（2.20）通過前面的分析可知，要確定機械手相鄰連桿的位姿變換關系，如圖2.23所示需要用到4個參數，，，。根據前面對機械手連桿和關節(jié)以及坐標系的編號規(guī)則知道：為與之間的扭角；為與之間的長度；為與之間的距離；為與之間的扭角。圖2.23相鄰連桿坐標變換2.2.3機械手正向運動學分析機器人正向運動學分析的定義：已知機械手各個關節(jié)的旋轉或者移動變量，要求獲取機械手末端執(zhí)行器在空間的位姿。正向運動學分析過程以6連桿機械手為例。設有一個六連桿機械手，機械手末端執(zhí)行器坐標系（即連桿6的坐標系6）到連桿5的變換矩陣為，連桿1的坐標系1到基座0的變換矩陣為，中間相鄰連桿i到連桿i－1的變換矩陣為，可知：（2.21）根據算子右乘法則可知，空間某點P在末端執(zhí)行器中描述為，在基座坐標系中描述為，那么有其中，就是從連桿6到基座坐標系的轉換矩陣。推廣之，可知如果有P點在連桿3中描述為，則有

（2.22）【例2.5】

如圖2.24所示，平面三自由度機械手，三個關節(jié)均為轉動關節(jié)（RRRarm），已知連桿長度分別為L1，L2，L3。求：各個相鄰連桿之間的變換矩陣Ai，以及末端連桿（執(zhí)行器）L3到機座的變換矩陣。圖2.24三自由度機械手示例【解】

首先需要確定連桿1-3的坐標系，按照D-H坐標系的方法確定，如圖2.25所示，連桿1，2，3對應坐標系1，2，3，坐標系1，2，3的z軸分別為關節(jié)1，2，3的軸線垂直紙面朝外，x1，x2，x3分別是三個關節(jié)軸線的公垂線，基座坐標系

0

的坐標原點與坐標系

1的坐標原點重合，z0軸與z1軸重合，使得d1＝0。根據下面的關系可得：為與之間的扭角；為與之間的長度；為與之間的距離；為與之間的扭角。由此可以得到表2.1。表2.1序號i連桿編號i－1連桿扭角

連桿長度

連桿間距

連桿夾角

基座到連桿1之間的參數0000連桿1到連桿2之間的參數10L10連桿2到連桿3之間的參數20L20連桿1到基座的變換矩陣：連桿2到連桿1的變換矩陣：連桿3到連桿2的變換矩陣：從連桿3到基座0的變換矩陣為【例2.6】

圖2.26所示為RPRR型機械手，末端夾持器的關節(jié)坐標系已經確定為坐標系5，求各相鄰連桿的齊次變換矩陣和坐標系5到基座之間的變換矩陣?！窘狻?/p>

如圖2.27～圖2.30所示，圖中，d2為變量，L2～L4為常量。注意x的方向與扭角正負之間的關系。圖2.26RPRR型機械手分析圖2.27RPRR型機械手連桿編號圖2.28RPRR型機械手坐標系z軸和坐標原點的確定圖2.29連桿間距離的確定圖2.30x軸的確定各連桿參數的確定如表2.2所示。表2.2各連桿參數的確定序號i連桿編號i－1連桿扭角

連桿長度

連桿間距

連桿夾角：

1.基座到連桿1之間的參數00

002.連桿1到2之間的參數1－90

0d2－90

3.連桿2到3之間的參數2－90

L204.連桿3到4之間的參數390

005.連桿3到4之間的參數40

L4L50

【例2.7】

如圖2.31（a）所示的斯坦福機械手，其機構簡圖如圖2.31（b）所示。求各相鄰連桿的齊次變換矩陣。（a）（b）圖2.31斯坦福機械手機構簡圖【解】

Z軸及坐標原點的確定如圖2.32、圖2.33所示。圖2.32Z軸及相鄰連桿距離的確定圖2.33機械手各坐標系的確定相鄰連桿間參數的確定如表2.3所示。表2.3相鄰連桿間的參數序號i連桿編號i－1連桿扭角

連桿長度

連桿間距

連桿夾角

1.基座到連桿1之間的參數00

002.連桿1到2之間的參數1－90

0d23.連桿2到3之間的參數290

0d304.連桿3到4之間的參數30

005.連桿4到5之間的參數4－90

006.連桿5到6之間的參數590

00由相鄰連桿間變換矩陣變換公式：得到相鄰連桿之間的變換矩陣：式中，，表示對該關節(jié)i的變量求余弦值和正弦值。從而得到各連桿到基座的變換矩陣：其中符號項：2.2.4機械手逆向運動學分析機械手逆向運動學分析的定義：已知手部到達某確定位姿的前提下，求解各個關節(jié)的變量值的問題。以斯坦福機械手的手部位姿為例進行分析已知斯坦福機械手的手部位姿矩陣：求各關節(jié)變量值：求解過程如下：由機器人運動學可知求用左乘上式，對比左右等式的第3行、第4列元素，可得采用三角代換令：，式中，；進行三角代換后解得式中，正、負號對應的兩個解對應于的兩個可能解。根據同樣的方法，分別用的逆矩陣左乘兩側，利用矩陣元素相等建立相關的方程組，可得到其他各關節(jié)變量如下：機械手逆向求解的注意事項：（1）在求解關節(jié)變量的過程中如出現反正切函數的分子和分母太小，則計算結果誤差會很大，此時應重新選擇矩陣元素建立新的方程組后再進行計算，直到獲得滿意的結果為止。同樣，如果計算結果超出了機械手關節(jié)的運動范圍，也需要重新計算，直到符合機械手關節(jié)的運動范圍。機械手逆向求解的注意事項：（1）在求解關節(jié)變量的過程中如出現反正切函數的分子和分母太小，則計算結果誤差會很大，此時應重新選擇矩陣元素建立新的方程組后再進行計算，直到獲得滿意的結果為止。同樣，如果計算結果超出了機械手關節(jié)的運動范圍，也需要重新計算，直到符合機械手關節(jié)的運動范圍。（2）由于機械手各關節(jié)變量相互耦合，后面計算的關節(jié)變量與前面的關節(jié)變量有關，因此，當前面關節(jié)變量的計算結果發(fā)生變化時，后面關節(jié)變量計算的結果也會發(fā)生變化，所以逆運動方程的解不是唯一的，我們應該根據機械手的組合形態(tài)和各關節(jié)的運動范圍，經過多次反復計算，從中選擇一組合理的解。由此可見，求解機械手的逆運動方程是一個十分復雜的過程。2.3機械手速度分析機械手瞬時速度分析的定義：對某一時刻機械手運動速度和關節(jié)速度之間的關系進行轉換和分析對機械手位姿的齊次變換矩陣作微分可以用來分析機械手某連桿坐標系微小運動到另一連桿坐標系微小運動之間的轉換關系。分別就機械手雅克比矩陣的速度分析方法和機械手矢量積的速度分析方法進行分析并用實例進行講解分析。2.3.1機械手雅克比矩陣的速度分析方法機械手的運動可以看做是一個剛體的運動，設機械手最末端的連桿坐標系為坐標系

6，那么該連桿的速度可以表示為坐標系6坐標原點的速度矢量及其平移運動矢量，以及坐標系6轉動角速度矢量，這兩部分速度稱為連桿6的廣義速度。其中坐標原點速度矢量可以表示為，表示其在基坐標系中的

xyz

三個方向的速度投影分量。轉動角速度矢量可以表示為，表示連桿6在某時刻繞瞬時軸轉動的角速度矢量，二者合并起來表示為稱為該連桿的廣義速度矢量。機械手末端連桿的運動速度可以完全由各個關節(jié)的速度來確定，設某6自由度機械手關節(jié)變量為，則（2.23）于是有

（2.24）J稱為從關節(jié)空間到操作空間的雅可比矩陣。其中：（2.25）（2.26）分別表示平移速度雅可比矩陣和旋轉速度雅可比矩陣。（1）雅可比矩陣平移速度部分的求解。平移速度可以表示為由于（其中表示從連桿6到基座0的變換矩陣的第1行4列），可得（2.27）由此可見，可以通過對連桿變換矩陣中的位置變換部