空間向量及其線性運算課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性3

通過“平面向量及應(yīng)用”的學(xué)習(xí)，我們知道，平面內(nèi)、點直線可以通過平面向量及其運算來表示，它們之間的平行、垂直、夾角、距離等關(guān)系可以通過平面向量運算而得到.從而有關(guān)平面圖形的問題可以利用平面向量的方法解決.

在“立體幾何初步”中，我們用綜合幾何方法研究了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間點、直線、平面的位置關(guān)系.一個自然的想法是，能否把平面向量推廣到空間向量.從而利用空間向量表示空間中點、直線、平面等基本元素，通過空間向量運算解決立體幾何問題.

在本章，我們就來研究這些問題.

在本章的學(xué)習(xí)中，我們要注意利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理及其坐標表示，在此過程中體會平面向量與空間向量的共性和差異；

在運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系的過程中，體會向量方法與綜合幾何方法的共性和差異；

通過用向量方法解決數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟向量在研究幾何問題中的作用。情景引入章前圖展示的是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等.顯然，這些力不在同一個平面內(nèi).聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運動呢？下面我們類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念和表示開始.空間向量及其線性運算學(xué)習(xí)目標1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運算.4.理解向量共線、向量共面的定義.5.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會證明空間三點共線、四點共面.起點終點一、空間向量的有關(guān)概念定義：既有大小又有方向的量。表示幾何表示法：有向線段符號表示法：a

，bAB長度（模）向量的大小，記作問題

你能類比平面向量和表示給出空間向量的概念和空間向量的表示嗎？正方體中，過同一個頂點的三條棱上的三條有向線段表示三個向量，它們是不共面的向量。平面向量空間向量零向量單位向量相反向量相等向量共線向量一、空間向量的有關(guān)概念A(yù)Ba

對于任意一個空間向量，我們都可以將其放在一個平面內(nèi)研究，這時這個空間向量就是我們熟悉的平面向量了.思考：任意兩個空間向量是否可以成為同一平面內(nèi)的兩個向量？

α空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合.如圖所示，已知向量a,b，以任意點O為起點，作向量.思考：在同一平面α內(nèi)嗎？baOba因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.探究：數(shù)學(xué)中，引進一種量后，一個很自然的問題就是研究它們的運算.那可以把平面向量的線性運算和運算律推廣到空間向量嗎？我們把平面向量的線性運算及運算律推廣到空間，定義空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運算：(1)(2)(3)aba+bOABCa-baOAλa(λ>0)PQλa(λ<0)NM二、空間向量的線性運算及其運算律探究：在平行六面體

中（如圖），分別標出表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？ABC'B'A'DCD'可以發(fā)現(xiàn)，利用向量的交換律和結(jié)合律，可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.

三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的體對角線所表示的向量.Ol

我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

.這樣,直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示,也就是說,直線可以由其上一點和它的方向向量確定.

如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,存在實數(shù)λ,使得.方向向量

發(fā)現(xiàn)：類似于平面向量共線的充要條件，對于任意兩個空間向量a,b(b≠0)，a,b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a=λb.探究：對任意兩個空間向量a,b，如果a=λb(λ∈R)，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b有什么位置關(guān)系時，a=λb?aPa如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

αaalaOA思考：我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情況下三個空間向量共面呢？探究：對平面內(nèi)任意兩個不共線向量a,b，由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量p可以寫成p=xa+yb，其中(x,y)a,b，如果p=xa+yb，那么向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系?反過來，向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系時，p=xa+yb?發(fā)現(xiàn)：

如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使p=xa+yb.

例1如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA,OB,OC,OD，在四條射線上分別取點E,F,G,H，使求證：E,F,G,