專題拓展集合中?？紖?shù)問(wèn)題

集合中?？紖?shù)問(wèn)題一、根據(jù)集合中元素的互異性求參數(shù)集合具有三特性質(zhì)確定性、互異性、無(wú)序性，其中互異性即各元素之間互不相同。解決此類問(wèn)題時(shí)，既要利用集合中元素的確定性，又要注意對(duì)元素互異性的檢驗(yàn)與分類討論思想的應(yīng)用。二、已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的思路當(dāng)時(shí)，若集合A是用描述法表示的，則一定滿足集合中元素的共同特征，任意滿足方程（組）、不等式（組）等；若集合A是用列舉法表示的，則一定等于集合中的某個(gè)元素，反之，當(dāng)時(shí)，結(jié)論相反。利用上述結(jié)論建立方程（組）或不等式（組）求解參數(shù)即可，注意根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)。三、利用集合間的包含關(guān)系確定參數(shù)范圍的方法由集合間關(guān)系求解參數(shù)的三部曲第一步：弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.[四、已知集合相等求參數(shù)的方法從集合相等的概念入手，尋找兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系，先分析一個(gè)集合中元素與另一個(gè)集合中的哪個(gè)元素相等，共有幾種情況，然后通過(guò)列方程或方程組求解。當(dāng)集合中未知元素不止一個(gè)時(shí)，往往要分類討論，求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn)是否使集合中的元素滿足互異性。五、根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍方法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.[來(lái)方法二：（1）化簡(jiǎn)所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；（3）根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗(yàn).【注意】（1）確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　?”；（2）千萬(wàn)不要忘記考慮空集。題型一根據(jù)集合的互異性求參數(shù)【例1】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．a(chǎn)可取全體實(shí)數(shù)B．a(chǎn)可取除去0以外的所有實(shí)數(shù)C．a(chǎn)可取除去3以外的所有實(shí)數(shù)D．a(chǎn)可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)【答案】D【解析】由集合中元素的互異性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)，故選：D.【變式11】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，求的取值范圍．【答案】【解析】，得綜上，且即的取值范圍為【變式12】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合}中各元素之和等于3，求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合.【答案】答案見解析【解析】根據(jù)集合中元素的互異性知，當(dāng)方程有重根時(shí)，重根只能算作集合的一個(gè)元素，由，當(dāng)時(shí)，可得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，符合題意；當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，可得，解得，此時(shí)，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【變式13】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個(gè)集合A，A中元素個(gè)數(shù)不是2，因?yàn)闊o(wú)解，故由，，3組成的集合A的元素個(gè)數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D題型二根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【例2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】由于，所以，解得，故答案為：【變式21】（2023春·天津北辰·高一?？茧A段練習(xí)）已知，求實(shí)數(shù)x的值．【答案】【解析】由題意可知：，，令，解得；令，解得或，不符合題意.故答案為：.【變式22】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值不可以為（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榧?，且，則或，解得.當(dāng)時(shí)，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時(shí)，，合乎題意.綜上所述，.故選：ACD.【變式23】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）已知集合A中有3個(gè)元素2，4，6，且當(dāng)時(shí)，，則a可能為（）A．2B．4C．6D．2或4或6【答案】AB【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，不合題意，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由ABC知：或4，D錯(cuò)誤．故選：AB．題型三根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)【例3】（2023春·河北石家莊·高一校考期中）若，則的值是（）A．0B．1C．1D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以①或②，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，符合題意，由②得，符合題意，兩種情況代入，答案相同.故選：B【變式31】（2022秋·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合，若，則.【答案】或【解析】由集合知，是方程的兩根，則，由，或解得或，則或.故答案為：或.【變式32】（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，．若，則值為．【答案】5【解析】依題意，，所以1和2為方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.故答案為：5【變式33】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）由三個(gè)數(shù)a，，1組成的集合與由，a＋b，0組成的集合相等，求的值．【答案】1【解析】由a，，1組成一個(gè)集合，可知，由題意可得或,解得或（不滿足集合元素的互異性，舍去）.所以.題型四根據(jù)元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例4】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合含有兩個(gè)元素和，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】根據(jù)集合中元素的互異性可知：，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式41】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且A中只有一個(gè)元素，求a的值．【答案】a＝±2【解析】當(dāng)Δ＝a2－4＝0，即a＝±2時(shí)，方程x2＋ax＋1＝0有兩個(gè)相同解，即A中只有一個(gè)元素，所以a＝±2．【變式42】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若集合恰有8個(gè)整數(shù)元素，寫出a的一個(gè)值：．【答案】7（答案不唯一，實(shí)數(shù)a滿足即可）【解析】依題意可得，解得，則．所以集合的整數(shù)元素的最小值為3，從而最大值為10，所以，解得．故答案為：7（答案不唯一）.【變式43】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）關(guān)于的方程的解集中只含有一個(gè)元素，則的可能取值是（）A．B．0C．1D．5【答案】ABD【解析】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個(gè)元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個(gè)不為和的解，，解得：，此時(shí)的解為，滿足題意；②方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為；由得：，，此時(shí)方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為，另一根不為；由得：，，此時(shí)方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD題型五根據(jù)子集與真子集求參數(shù)【例5】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合至多有一個(gè)真子集，求a的取值范圍．【答案】或.【解析】①當(dāng)A無(wú)真子集時(shí)，即時(shí)，則方程無(wú)實(shí)根，所以，解之得.②當(dāng)A只有一個(gè)真子集時(shí)，即A為單元素集，這時(shí)有兩種情況：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得，符合題意.綜上，當(dāng)集合A至多有一個(gè)真子集時(shí)，a的取值范圍是或.【變式51】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若集合的所有子集個(gè)數(shù)是，則的取值是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】因?yàn)榧系乃凶蛹瘋€(gè)數(shù)是，則集合有且只有一個(gè)元素，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則，解得.綜上所述，或.故選：D.【變式52】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合恰有8個(gè)子集，則a的取值范圍是．【答案】【解析】集合恰有8個(gè)子集，故集合中有3個(gè)元素，即有三個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不為0的解,即，且，解得且，，所以.故答案為：【變式53】（2022秋·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）若集合至多有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】或．【解析】若集合至多有兩個(gè)子集，則集合中至多有一個(gè)元素．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合為，符合題意，當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，時(shí)，解得，，此時(shí)集合為，符合題意，時(shí)，解得，此時(shí)集合為空集，符合題意，綜上，的取值范圍是或．故答案為：或．題型六根據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)【例6】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）A．0B．2C．1D．3【答案】AB【解析】由，，得或．所以實(shí)數(shù)m的取值可以是0，2，.故選：AB【變式61】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．0B．1C．D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，滿足條件，當(dāng)時(shí)，若，則，無(wú)解，若，則，無(wú)解，若，則，無(wú)解，若，則，得，綜上可知，或，只有AC符合條件.故選：AC【變式62】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）設(shè)集合，若，則a的可能取值為（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】因?yàn)?，如圖：所以，所以，故a的可能取值為，.故選：CD.【變式63】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集，集合，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即，可得，滿足；當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型七根據(jù)集合的交集求參數(shù)【例7】（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）若，則實(shí)數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，解得，此時(shí)，，合乎題意.故選：B.【變式71】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，，符合題意，②當(dāng)時(shí)，，，則有或，解得：或，綜上所述，實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為故選：D【變式72】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，若，則k的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，故答案為：【變?3】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知：，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因集合，，由得：，當(dāng)，即時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型八根據(jù)集合的并集求參數(shù)【例8】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，集合，，求k的值．【答案】3【解析】由題意可知，解得.所以k的值為3.【變式81】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）集合，，若，則，.【答案】5；6【解析】由題意知，由可知，故2,3為的兩根，則，即，故答案為：5；6【變式82】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，且，試求k的取值范圍．【答案】【解析】由可得，若時(shí)，，解得；若時(shí)，則，解得；綜上所述，【變式83】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合．（1）求；（2）若集合滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由條件可得，∴．（2）由條件可得，而，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．題型九根據(jù)集合的補(bǔ)集求參數(shù)【例9】（2023秋·江蘇南通·高一校考開學(xué)考試）設(shè)全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意集合，，又因?yàn)?，且全集，所以，解得，但?dāng)時(shí)，集合違背了元素之間的互異性，而當(dāng)時(shí)，集合，，滿足題意,綜上所述：.故選：A.【變式91】（2022秋·浙江舟山·高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，則的值為（）A．B．和C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，集合，，由補(bǔ)集的定義可知的可能取值為3或4，當(dāng)即時(shí)，不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)滿足題意，綜上，故選：C【變式92】（2022秋·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】，.，，即.當(dāng)時(shí)，得，分別代入集合與集合中得：，，此時(shí)不符合題意，舍去；當(dāng)，得或，將分別代入集合與集合中得：，，不符合題意，舍去；將分別代入集合與集合中得：，，符合題意.綜上所述：.故答案為：.【變式93】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，全集，，或，則.【答案】1【解析】因?yàn)?，，所以?又或，所以，，所以.故答案為：1.題型十根據(jù)集合的交并補(bǔ)求參數(shù)【例10】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合或，，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合或，則，又集合且，則，故選：B.【變式101】（2022秋·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，集合,.（1）當(dāng)時(shí)求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值.【答案】（1）；（2）或2.【解析】（1），解得：或2，所以，當(dāng)時(shí)，，故；（2）的根的判別式，當(dāng)時(shí)，解為，故，此時(shí)滿足，符合要求，當(dāng)時(shí)，的兩根為，，此時(shí)，要想，則，解得：，綜上：或2.【變式1