小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題 周長、面積課件

第9講周長、面積、體積、表面積梁碧湘2021/12/21小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積第一節(jié)巧求周長

專題簡析：對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準的長方形或正方形，然后再利用周長公式進行計算。將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就會增加幾個長或?qū)挘环粗?，將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或?qū)挕?021/12/22小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題1：下圖是一個樓梯的側(cè)面圖，求此圖形的周長。2021/12/23小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積2021/12/24小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題2：下圖是由6個邊長2厘米的正方形拼成的，這個圖形的周長是多少厘米？2021/12/25小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積

分析：這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化為一個長方形，如下圖：2021/12/26小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題3：兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減少了6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘？2021/12/27小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積

例題4：將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？2021/12/28小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積2021/12/29小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積第二節(jié)組合圖形的面積第一專題簡析：組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合，二是重疊組合。要正確解答組合圖形的面積，應(yīng)該注意以下幾點：1，切實掌握有關(guān)簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；2，仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；3，適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題；4，采用割、補、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問題變得簡單。2021/12/210小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例1：一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？2021/12/211小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析與解答：由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米，所以，不能用三角形的面積公式來計算它的面積。我們可以假設(shè)有4個這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個正方形的面積是12×12，那么，一個三角形的面積就是12×12÷4=36平方厘米。2021/12/212小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例3：四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方厘米。三角形CDH的面積是多少平方厘米？2021/12/213小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：設(shè)大正方形的邊長是a，小正方形的邊長是b。（1）梯形EFAD的面積是（a+b）×b÷2，三角形EFC的面積也是（a+b）×b÷2。所以，兩者的面積相等。（2）因為三角形AFH的面積=梯形EFAD的面積－梯形EFHD的面積，而三角形CDH的面積=三角形EFC的面積－梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。2021/12/214小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例4下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？2021/12/215小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底FD的長度。連接FC后就能得到一個三角形EFC，用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積：8×20÷2－8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面積就是（4.8＋8）×8÷2=51.2平方厘米。2021/12/216小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例5圖中ABCD是長方形，長為6，寬為4，三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，求ED的長。2021/12/217小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積

分析：因為三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以，三角形BCE的面積比長方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形BCE的面積是6×4＋6=30平方厘米，EC的長則是30×2÷6=10厘米。因此，ED的長是10－4=6厘米。2021/12/218小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積組合圖形的面積（二）專題簡析：在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：1，兩個三角形等底、等高，其面積相等；2，兩個三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系；3，兩個三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系。2021/12/219小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題2下圖中，邊長為10和15的兩個正方體并放在一起，求三角形ABC（陰影部分）的面積。2021/12/220小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析三角形ADC的面積是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它們都以BC為邊為底，所以，三角形ABC的面積是三角形BCD的1.5倍。陰影部分的面積是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。2021/12/221小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題3：兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形。已知兩個三角形的面積（如圖所示），求另兩個三角形的面積各是多少？（單位：平方厘米）2021/12/222小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：1，因為三角形ABD與三角形ACD等底等高，所以面積相等。因此，三角形ABO的面積和三角形DOC的面積相等，也是6平方厘米。2，因為三角形BOC的面積是三角形DOC面積的2倍，所以BO的長度是OD的2倍，即三角形ABO的面積也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面積是6÷2=3平方厘米。2021/12/223小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題4：在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。2021/12/224小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析（1）因為CE=3AE，所以，三角形ADC的面積是三角形ADE面積的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘為；（2）又因為DC=2BD，所以，三角形ABD的面積是三角形ADC面積的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面積是80＋40=120平方厘主。2021/12/225小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積復(fù)雜面積問題專題簡析：解答有關(guān)“圖形面積”問題時，應(yīng)注意以下幾點：1，細心觀察，把握圖形特點，合理地進行切拼，從而使問題得以順利地解決；2，從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。2021/12/226小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例4：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？2021/12/227小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例1：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？2021/12/228小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析與解答：

把水泥路分成四個同樣大小的長方形（如下圖）。因此，一個長方形的面積是12÷4=3平方米。因為水泥路寬1米，所以小長方形的長是3÷1=3米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長是小長方形長與寬的差，所以小正方形的邊長是3－1=2米。中間花壇的面積是2×2=4平方米。2021/12/229小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例2：一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形（如圖），面積比原來的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長是多少？2021/12/230小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積2021/12/231小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析與解答：

把陰影部分剪下來，并把剪下的兩個小長方形拼起來（如圖），再被上長、寬分別是8分米、5分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是181+8×5=221平方分米，長是原來正方形的邊長，寬是8+5=13分米。所以，原來正方形的邊長是221÷13=17分米。2021/12/232小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積第三節(jié)體積專題簡析：解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。2021/12/233小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積解答立體圖形的體積問題時要注意：（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。（4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。2021/12/234小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題1：有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？2021/12/235小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。

3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）

2021/12/236小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題2：一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？2021/12/237小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是8×8×15=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米高的鐵塊，水面就要上升15—8=7（厘米），需要排開水的體積是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。2021/12/238小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14×10×10—8×8=250（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048（厘米）3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8=2512÷250—8=10.048—8=2.048（厘米）2021/12/239小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題3：某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖28-1所示）。2021/12/240小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的高和寬也都是r，長是2r。長方體的容積是2r×r×r=24，即r的立方=12。這個半圓錐體的體積是1/3×∏r的平方×r÷2=1/6∏r的立方，將r的立方=12代入，就可以求得面粉的體積。設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的容積是2r×r×r=24，r的立方=12。1/3×3.14×r的平方×r÷2=1/6×3.14×r的立方=1/6×3.14×12=6.28（立方米）2021/12/241小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題4：如果把12件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？2021/12/242小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積2021/12/243小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：設(shè)長方體物品的長、寬、高分別是a、b、c，并且a＞b＞c（入土28-4）。比較“3×4”和“2×6”兩種包法。圖28-5中大長方體表面積為6ab+8ac+24bc①，圖28-6中大長方體的表面積為4ab+12ac+24bc②，兩個式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式與②式的大小要看2ab與4ac的大小。（1）當(dāng)b=2c時，2ab=￥ac，兩種包法相同。（2）當(dāng)b＜2c時，“3×4”的包法表面積最小。（3）當(dāng)b＞2c時，“2×6”的包法表面積最小。2021/12/244小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題5：一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18×18×18?，F(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1×4×9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？2021/12/245小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：因為集裝箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在18×16×18的空間放貨箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。這時還有18×2×18的空間，但只能在18×2×16的空間放貨箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空間無法再放貨箱，所以最多能裝144+16=160（只）。18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16=160（只）2021/12/246小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積第4講表面積2021/12/247小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積專題簡析：

小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：（1）充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。2021/12/248小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題1：從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？2021/12/249小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積這是一道開放題，分幾種情況考慮：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。②按圖27-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。2021/12/250小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題2：把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表面積。2021/12/251小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積要求這個復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。2021/12/252小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用（S上+S左+S前）×2來計算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90）×2=243×2=486（平方厘米）2021/12/253小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題3：把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？2021/12/254小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積分析：把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2=（63+36+28）×4—126=508—126=382（平方厘米）2021/12/255小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題周長、面積例題4：一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加