第04講解三角形（原卷版）

第04講解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．常用推論sinA=sin(B+C)cosA=cos(B+C)tanA=tan(B+C)sinB=sin(A+C)cosB=cos(A+C)tanB=tan(A+C)sinC=sin(A+B)cosC=cos(A+B)tanC=tan(A+B)一．利用正弦、余弦定理解三角形例1．（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（

）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°（2）如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．（3）在中，,BC=1,AC=5，則AB=（）A． B． C． D．（4）（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.（5）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=_____________.（6）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．二．正弦定理、余弦定理的應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀例2．（1）在中，角A、B、C所對(duì)的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：(1)化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；②eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；(2)化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)；②eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(3)如果所知條件方便求角，只需判斷最大的角是鈍角，直角，銳角；(4)如果方便求邊，假設(shè)最大邊為c，可用a2＋b2－c2來(lái)判斷cosC的正負(fù).而判斷邊或角是否相等則一目了然，不需多說(shuō).（2）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足，且，且的形狀是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形（3）在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形（4）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則為（

）A．鈍角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形（5）在中，若，則這個(gè)三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形（6）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角滿足，又，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題，一般有兩條思考路線①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系．②化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．(2)判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).命題點(diǎn)2判斷三角形解的個(gè)數(shù)例3．（1）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列條件使得無(wú)法唯一確定的是（

）A． B．C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)(1)正弦定理法：已知△ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(bsinA,a).若sinB>1，三角形無(wú)解；若sinB＝1，三角形有且只有一解；若0<sinB<1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對(duì)大角)，從而確定B的兩個(gè)解的取舍.(2)余弦定理法：已知△ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得c2－2bccosA－a2＋b2＝0.適合問(wèn)題的上述一元二次方程的解c便為此三角形的解.(3)公式法當(dāng)已知△ABC的兩邊a，b和角A時(shí)，通過(guò)前面的分析可總結(jié)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA一解二解一解無(wú)解一解無(wú)解（2）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，那么下列給出的各組條件能確定三角形有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，（3）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無(wú)解 B．有兩解 C．有一解 D．有無(wú)數(shù)解（4）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④（5）已知中，，，若有兩解，則邊長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．命題點(diǎn)3三角形面積的計(jì)算例4．（1）中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若則的面積為（

）A． B． C． D．（2）橢圓的左右焦點(diǎn)為?，為橢圓上的一點(diǎn)，，則△的面積為（

）A．1 B． C． D．2（3）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為________．（4）已知中角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，，則______．（5）已知外接圓的半徑為，且，若的面積為，則的值為________．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角形面積計(jì)算問(wèn)題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．命題點(diǎn)4求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍例5．（1）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．=1\*GB3①求B；=2\*GB3②若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．（2）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．=1\*GB3①求角B的大小；=2\*GB3②若，求周長(zhǎng)的取值范闈．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：=1\*GB2⑴高考中考查求解三角形的范圍問(wèn)題時(shí)：方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二：采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三：巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問(wèn)題.=2\*GB2⑵解三角形范圍問(wèn)題要注意以下內(nèi)容：=1\*GB3①運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=，大邊對(duì)大角．=2\*GB3②已知條件中的范圍限制要留意，如：已知△ABC為銳角三角形，則要求三個(gè)角均為銳角之外，還要求A+B＞，解題時(shí)要盡量把范圍縮到最小限度．=3\*GB3③涉及求范圍的問(wèn)題，一定要搞清已知量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解．已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．（3）在中，的對(duì)邊分別為，且滿足.=1\*GB3①求；=2\*GB3②若，求的取值范圍.命題點(diǎn)5求三角形面積的最值或范圍例6．（1）在銳角中，分別為角的對(duì)邊，已知，則的面積S的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）若在中，，則面積S的取值范圍是___________．（3）記的面積為S，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知①求角C.②求面積的最大值.（4）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.①求B；②若為銳角三角形，且，求的面積S的取值范圍.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時(shí)，主要有兩大方法：=1\*GB3①利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來(lái)，結(jié)合三角形中邊角的取值范圍、函數(shù)值域求法求解范圍即可。=2\*GB3②利用余弦定理公式進(jìn)行合理變形，巧妙結(jié)合基本不等式求最值，特別提醒不要忽略三角形三邊的關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊。三．解三角形應(yīng)用舉例命題點(diǎn)1測(cè)量距離問(wèn)題例7．（1）如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB．a(chǎn)kmC．a(chǎn)kmD．2akm（2）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測(cè)得點(diǎn)A的在東偏南方向上過(guò)一分鐘后測(cè)得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（

）A．15米/秒B．15米/秒C．20米/秒D．20米/秒（3）為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)A，B處分別測(cè)得，，則間的距離為________.命題點(diǎn)2測(cè)量高度問(wèn)題例8．（1）東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對(duì)，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級(jí)，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點(diǎn)測(cè)得：塔在北偏東30°的點(diǎn)處，塔頂?shù)难鼋菫?0°，且點(diǎn)在北偏東60°．相距80（單位：），在點(diǎn)測(cè)得塔在北偏西60°，則塔的高度約為（

）A．69 B．40 C．35 D．23（2），如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米（3）如圖，在離地面高400的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度__________..【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：測(cè)量高度此類問(wèn)題特點(diǎn)：底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測(cè)者兩次觀測(cè)點(diǎn)所在直線不經(jīng)過(guò)“目標(biāo)物”，解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問(wèn)題.命題點(diǎn)3測(cè)量角度問(wèn)題例9．（1）一艘船航行到點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．（2）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測(cè)得小車在A處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得俯角為45°.已知此山的高，小車的速度是，則（

）A． B． C． D．（3）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對(duì)于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）A． B． C．－1 D．－1【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解一個(gè)三角形需要已知三個(gè)幾何元素（邊和角），且至少有一個(gè)為邊長(zhǎng)，對(duì)于未知的幾何元素，放到其它三角形中求解.1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=（）A． B． C． D．2．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．23．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．34．在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形5．在中，若，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則7．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定為直角三角形D．若，則可以是鈍角三角形8．在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形9．已知△ABC滿足，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的為（

）A．不可能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)B．可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)C．可以構(gòu)成一個(gè)銳角三角形的三邊長(zhǎng)D．可以構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形的三邊長(zhǎng)11．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．12．在中，角的對(duì)邊分別為，當(dāng)?shù)耐饨訄A半徑時(shí)，面積的最大值為（

）A． B． C． D．13．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．14．如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向AB成角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來(lái)的飛行方向AB成角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程500km大約多飛了（）（，）A．10kmB．20kmC．30kmD．40km15．如圖，一座垂直建于地面的信號(hào)發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號(hào)塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計(jì)，則他的步行速度為（

）A． B． C． D．16．已知在中，，且，則該的形狀為（

）[附：]A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形17．在中，若，，則C的取值范圍是（

）．A．B．C．D．18．已知橢圓的方程為，若點(diǎn)在第二象限，且，則的面積（

）．A． B． C． D．19．在中，若，則的面積是（

）A．1 B． C． D．20．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．（多選）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則為等腰直角三角形C． D．若，則為鈍角三角形22．（多選）對(duì)于，角的對(duì)邊分別為，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則是鈍角三角形23．（多選）在中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．24．（多選）已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的值可能為（

）A．1 D．225．（多選）在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（

）A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a(chǎn)＝6，b＝3，B＝60° D．a(chǎn)＝20，b＝30，A＝30°26．（多選）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若a=4，b=6，A=30°，則三角形有一解 B．a(chǎn)＝bcosC+ccosBC．若sin2A＝sin2B，則△ABC一定為等腰三角形 D．若A＝60°，a＝5，則△ABC面積的最大值為27．（多選）在中，角,,所對(duì)的邊分別為,,，下列四個(gè)命題中，正確的命題為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則這個(gè)三角形有兩解28．已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則面積為___________.29．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法正確的是________．①若A＝30°，b＝5，a＝2，則有2解

②若，則③若，則為銳角三角形

④若，則為等腰三角形或直角三角形30．如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高_(dá)_________．31．如圖，隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距km的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面內(nèi)），則AB=______